Anneaux & idéaux

Anneaux, idéaux, quotients : intègres, unités, premiers & maximaux, théorème chinois

Idée. L'anneau est la structure qui unifie l'algèbre déjà rencontrée : $\mathbb{Z}$ (Arithmétique) et $K[X]$ (Polynômes) en sont les exemples fondamentaux ; $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et $K[X]/(P)$ — manipulés depuis le début — sont des anneaux quotients ; $\mathbb{F}_p[X]/(m)$ (Corps finis) est un quotient par un idéal maximal. Ce chapitre nomme et démontre ce qui était jusque-là implicite.

Note (L2/L3, démonstratif). Les exercices sont des preuves ; les énoncés numériques sont vérifiés machine sur des anneaux finis concrets ($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $\mathbb{F}_p[X]/(f)$, produits, $\mathbb{Z}[i]/(n)$, $M_2(\mathbb{F}_2)$…).

A. Anneaux, anneaux intègres

Un anneau $(A,+,\cdot)$ est un groupe abélien pour $+$, muni d'une multiplication associative, distributive sur $+$, avec un élément neutre $1$ (anneau unitaire). Il est commutatif si $ab=ba$. Règles immédiates : $0\cdot a=0$ et $(-a)b=-(ab)$.

• Un diviseur de zéro est un $a\neq 0$ tel que $ab=0$ pour un $b\neq 0$.
• Un anneau commutatif sans diviseur de zéro (et $1\neq 0$) est intègre.
• Une unité est un élément inversible ; les unités forment un groupe $A^\times$.

Exemples : $\mathbb{Z}$, $K[X]$, $K$ sont intègres ; $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ ne l'est pas ($3\cdot 4=0$) — ses unités sont $\{1,5,7,11\}$ ($\varphi(12)=4$), ses diviseurs de zéro $\{2,3,4,6,8,9,10\}$. $M_2(\mathbb{F}_2)$ est non commutatif et a des diviseurs de zéro.

Deux faits clés (anneau fini). Dans un anneau commutatif fini, tout $a\neq 0$ est soit une unité soit un diviseur de zéro. En particulier :

B. Idéaux, quotients, morphismes

Un idéal $I$ de $A$ est un sous-groupe additif absorbant : $a\in A,\ x\in I\Rightarrow ax\in I$ (et $xa\in I$). L'idéal engendré par $a$ est $(a)=aA=\{ax:x\in A\}$ (idéal principal).

• Le noyau d'un morphisme d'anneaux $f:A\to B$ est un idéal ; son image, un sous-anneau.
• On forme l'anneau quotient $A/I$ (classes $a+I$, opérations induites — bien définies car $I$ absorbant).
• 1er théorème d'isomorphisme : $\boxed{\,A/\ker f\ \cong\ \operatorname{im} f\,}$.

Exemples. $\mathbb{Z}$ est principal : ses idéaux sont les $(n)$, et $(n)\subseteq(m)\iff m\mid n$. Le treillis des idéaux de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ est celui des diviseurs de $12$. L'évaluation $K[X]\to K,\ P\mapsto P(0)$ a pour noyau $(X)$, d'où $K[X]/(X)\cong K$.

E. Idéaux premiers & maximaux, théorème chinois

Un corps est intègre, donc maximal $\Rightarrow$ premier. Concrètement :

• dans $\mathbb{Z}$ : idéaux premiers $=(0)$ et les $(p)$ ($p$ premier) ; maximaux $=$ les $(p)$ ;
• dans $K[X]$ : $(P)$ maximal $\iff P$ irréductible (alors $K[X]/(P)$ est un corps — c'est la construction des corps finis $\mathbb{F}_p[X]/(m)$).

Théorème chinois (CRT). Si $I+J=A$ (idéaux comaximaux), alors $I\cap J=IJ$ et