Corps finis

Corps finis : caractéristique, cardinal, groupe multiplicatif, construction

Idée. Un corps fini est un corps à un nombre fini d'éléments. Leur théorie, d'une grande élégance, classe tous ces corps (un par cardinal $p^n$) et sous-tend l'arithmétique, la cryptographie et les codes correcteurs. Ce chapitre prolonge Polynômes ($\mathbb{F}_p[X]/(m)$), Arithmétique ($\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$) et Théorie des groupes ($\mathbb{F}_q^\times$ cyclique, Galois).

Note (L3, démonstratif). Les exercices sont des preuves ; les énoncés numériques sont vérifiés machine sur des corps finis concrets (GF(4), GF(8), …).

A. Caractéristique & cardinal

La caractéristique d'un corps $K$ est le plus petit entier $p>0$ tel que $\underbrace{1+\dots+1}_{p}=0$ (ou $0$ si jamais). Pour un corps fini, elle est un nombre premier $p$ (sinon $p=ab$ donnerait des diviseurs de zéro). Le sous-corps premier $\{0,1,2\cdot 1,\dots\}$ est alors isomorphe à $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

$K$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{F}_p$ ; s'il est de dimension $n$, il a

B. Groupe multiplicatif & élément primitif

$\mathbb{F}_q^\times=\mathbb{F}_q\setminus\{0\}$ (où $q=p^n$) est un groupe pour $\times$, d'ordre $q-1$. Théorème fondamental :

• $\operatorname{ord}(x)\mid q-1$ pour tout $x\neq 0$ ; il y a exactement $\varphi(q-1)$ éléments primitifs ;
• $x^{q-1}=1$ pour $x\neq 0$, donc $x^{q}=x$ pour tout $x\in\mathbb{F}_q$ (analogue du petit théorème de Fermat).

Exemple. Dans $\mathrm{GF}(8)$, $\alpha=X$ est primitif d'ordre $7$ : $\{\alpha^0,\dots,\alpha^6\}$ énumère les $7$ éléments non nuls (table des logarithmes discrets). Il y a $\varphi(7)=6$ éléments primitifs ; dans $\mathrm{GF}(16)$, $\varphi(15)=8$.

C. Construction $\mathbb{F}_p[X]/(m)$

Si $m$ est irréductible de degré $n$, le quotient est un corps à $p^n$ éléments (les restes, polynômes de degré $<n$), noté $\mathrm{GF}(p^n)$ ou $\mathbb{F}_{p^n}$. L'inverse d'un élément non nul se calcule par Bézout ($\gcd(a,m)=1$), ou comme $a^{q-2}$.

Exemples. $\mathrm{GF}(4)=\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)$ : avec $\alpha=X$, $\alpha^2=\alpha+1$ et $\alpha^3=1$. $\mathrm{GF}(8)=\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)$ : $\alpha^3=\alpha+1$, $\alpha^{-1}=\alpha^6$.

Table de $\mathrm{GF}(4)=\{0,1,\alpha,\alpha+1\}$ (caractéristique $2$, donc $x+x=0$) :

Existence & unicité. Pour tout premier $p$ et tout $n\geq 1$, il existe un corps à $p^n$ éléments (un polynôme irréductible de degré $n$ existe), et deux corps de même cardinal sont isomorphes : on parle du corps $\mathbb{F}_{p^n}$.