Théorie des groupes

Groupes, sous-groupes, ordre, Lagrange & morphismes

Idée. Un groupe est la structure qui formalise la symétrie et le calcul réversible : addition modulaire, permutations, rotations, matrices inversibles obéissent toutes aux mêmes lois. La théorie des groupes en dégage les conséquences communes — d'où sa centralité en algèbre, arithmétique, géométrie et physique.

Note de niveau (L3). Ce chapitre est démonstratif : les exercices sont des preuves. Les énoncés numériques (ordres, sous-groupes, classes…) sont vérifiés machine sur des groupes finis ; les raisonnements, eux, se rédigent.

A. Définition & exemples

Un groupe $(G,\cdot)$ est un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre $e$ , et où tout élément $a$ admet un inverse $a^{-1}$ :

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),\qquad a\cdot e=e\cdot a=a,\qquad a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e.

Si de plus

a\cdot b=b\cdot a

pour tous

a,b

, le groupe est abélien (commutatif).

Groupe	Loi	Neutre	$\lvert G\rvert$	Abélien ?
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	$+$	$0$	$n$	oui
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ (inversibles)	$\times$	$1$	$\varphi(n)$	oui
$\mathbb{U}_n$ (racines $n$ -ièmes de l'unité)	$\times$	$1$	$n$	oui
$S_n$ (permutations)	$\circ$	$\mathrm{id}$	$n!$	non si $n\geq 3$
$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ (matrices inversibles)	$\times$	$I_n$	$\infty$	non si $n\geq 2$

L'ordre du groupe est son cardinal $\lvert G\rvert$ . Le neutre et l'inverse sont uniques.

B. Sous-groupes

$H\subseteq G$ est un sous-groupe ( $H\leq G$ ) s'il est non vide et stable par produit et par inverse. Critère pratique : $H\neq\varnothing$ et $\forall a,b\in H,\ a\,b^{-1}\in H$ .

L'ordre d'un élément $g$ est le plus petit entier $k\geq 1$ tel que $g^k=e$ (ou $\infty$ ). L'ensemble des puissances $\langle g\rangle=\{g^k\}$ est le sous-groupe engendré par $g$ , et $\lvert\langle g\rangle\rvert=\operatorname{ord}(g)$ .

C. Théorème de Lagrange

\boxed{\ \text{Si }G\text{ est fini et }H\leq G,\text{ alors }\lvert H\rvert\ \text{divise}\ \lvert G\rvert.\ }

Idée de preuve. Les classes à gauche $gH=\{gh:h\in H\}$ partitionnent $G$ , et la translation $h\mapsto gh$ est une bijection de $H$ sur $gH$ : toutes les classes ont $\lvert H\rvert$ éléments. Donc $\lvert G\rvert=[G:H]\cdot\lvert H\rvert$ , où $[G:H]$ (l'indice) est le nombre de classes.

Conséquences. (i) $\operatorname{ord}(g)$ divise $\lvert G\rvert$ ; (ii) $g^{\lvert G\rvert}=e$ ; (iii) tout groupe d'ordre premier est cyclique ; (iv) petit théorème de Fermat : $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ (car $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ a $p-1$ éléments).

D. Groupes cycliques

$G$ est cyclique s'il est engendré par un seul élément : $G=\langle g\rangle$ . Alors $G\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (où $n=\lvert G\rvert$ ) ou $\cong\mathbb{Z}$ (cas infini). Exemple fondamental : $\mathbb{U}_n\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (les racines $n$ -ièmes de l'unité, cf. chapitre Nombres complexes).

E. Morphismes

Un homomorphisme $f:G\to H$ vérifie $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ . Alors automatiquement $f(e_G)=e_H$ et $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ .

Le noyau $\ker f=\{g:f(g)=e_H\}$ est un sous-groupe de $G$ (et même distingué) ; l'image $\operatorname{im} f$ est un sous-groupe de $H$ .
$f$ est injectif $\iff\ker f=\{e_G\}$ .
Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif ; $G\cong H$ signifie « même structure ».

Exemple. $f:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ , $x\mapsto x\bmod 6$ est un homomorphisme surjectif de noyau $\{0,6\}$ .