Théorie des groupes

Groupes, sous-groupes, ordre, Lagrange & morphismes

Idée. Un groupe est la structure qui formalise la symétrie et le calcul réversible : addition modulaire, permutations, rotations, matrices inversibles obéissent toutes aux mêmes lois. La théorie des groupes en dégage les conséquences communes — d'où sa centralité en algèbre, arithmétique, géométrie et physique.

Note de niveau (L3). Ce chapitre est démonstratif : les exercices sont des preuves. Les énoncés numériques (ordres, sous-groupes, classes…) sont vérifiés machine sur des groupes finis ; les raisonnements, eux, se rédigent.

A. Définition & exemples

Un groupe $(G,\cdot)$ est un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre $e$ , et où tout élément $a$ admet un inverse $a^{-1}$ :

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c),\qquad a\cdot e=e\cdot a=a,\qquad a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e.

Si de plus

a\cdot b=b\cdot a

pour tous

a,b

, le groupe est abélien (commutatif).

Groupe	Loi	Neutre	$\lvert G\rvert$	Abélien ?
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	$+$	$0$	$n$	oui
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ (inversibles)	$\times$	$1$	$\varphi(n)$	oui
$\mathbb{U}_n$ (racines $n$ -ièmes de l'unité)	$\times$	$1$	$n$	oui
$S_n$ (permutations)	$\circ$	$\mathrm{id}$	$n!$	non si $n\geq 3$
$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ (matrices inversibles)	$\times$	$I_n$	$\infty$	non si $n\geq 2$

L'ordre du groupe est son cardinal $\lvert G\rvert$ . Le neutre et l'inverse sont uniques.

Pentagone regulier portant ses cinq axes de symetrie, chacun passant par un sommet et par le milieu du cote oppose, et une fleche circulaire figurant la rotation d'un cinquieme de tour ; les dix isometries qui laissent le pentagone en place forment un groupe. — L'origine géométrique de la notion : le **groupe diédral** $D_5$ **est** l'ensemble des isométries du plan qui laissent le pentagone régulier en place — $5$ rotations (multiples de $\tfrac{2\pi}{5}$ ) et $5$ réflexions, donc $\lvert D_5\rvert=10$ . La loi est la composition, le neutre l'identité, l'inverse le mouvement inverse. Chaque axe passe par un sommet et le milieu du côté opposé, parce que $5$ est impair.

B. Sous-groupes

$H\subseteq G$ est un sous-groupe ( $H\leq G$ ) s'il est non vide et stable par produit et par inverse. Critère pratique : $H\neq\varnothing$ et $\forall a,b\in H,\ a\,b^{-1}\in H$ .

L'ordre d'un élément $g$ est le plus petit entier $k\geq 1$ tel que $g^k=e$ (ou $\infty$ ). L'ensemble des puissances $\langle g\rangle=\{g^k\}$ est le sous-groupe engendré par $g$ , et $\lvert\langle g\rangle\rvert=\operatorname{ord}(g)$ .

C. Théorème de Lagrange

\boxed{\ \text{Si }G\text{ est fini et }H\leq G,\text{ alors }\lvert H\rvert\ \text{divise}\ \lvert G\rvert.\ }

Idée de preuve. Les classes à gauche $gH=\{gh:h\in H\}$ partitionnent $G$ , et la translation $h\mapsto gh$ est une bijection de $H$ sur $gH$ : toutes les classes ont $\lvert H\rvert$ éléments. Donc $\lvert G\rvert=[G:H]\cdot\lvert H\rvert$ , où $[G:H]$ (l'indice) est le nombre de classes.

Conséquences. (i) $\operatorname{ord}(g)$ divise $\lvert G\rvert$ ; (ii) $g^{\lvert G\rvert}=e$ ; (iii) tout groupe d'ordre premier est cyclique ; (iv) petit théorème de Fermat : $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ pour $p\nmid a$ (car $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ a $p-1$ éléments).

D. Groupes cycliques

$G$ est cyclique s'il est engendré par un seul élément : $G=\langle g\rangle$ . Alors $G\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (où $n=\lvert G\rvert$ ) ou $\cong\mathbb{Z}$ (cas infini). Exemple fondamental : $\mathbb{U}_n\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (les racines $n$ -ièmes de l'unité, cf. chapitre Nombres complexes).

E. Morphismes

Un homomorphisme $f:G\to H$ vérifie $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ . Alors automatiquement $f(e_G)=e_H$ et $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ .

Le noyau $\ker f=\{g:f(g)=e_H\}$ est un sous-groupe de $G$ (et même distingué) ; l'image $\operatorname{im} f$ est un sous-groupe de $H$ .
$f$ est injectif $\iff\ker f=\{e_G\}$ .
Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif ; $G\cong H$ signifie « même structure ».

Exemple. $f:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ , $x\mapsto x\bmod 6$ est un homomorphisme surjectif de noyau $\{0,6\}$ .