Équations aux dérivées partielles

EDP — classification, équation de la chaleur & des ondes

Idée. Une EDP relie une fonction de plusieurs variables (espace + temps) à ses dérivées partielles. Elles modélisent la physique des milieux continus : diffusion de la chaleur, vibrations, ondes, potentiels. La méthode reine — la séparation des variables — cherche des solutions produit $u(x,t)=X(x)\,T(t)$ et reconstruit la solution générale comme série de Fourier des modes propres.

A. Vocabulaire et classification

Ordre = ordre de dérivation le plus élevé ; linéaire si $u$ et ses dérivées apparaissent au premier degré (alors le principe de superposition s'applique).
Une EDP linéaire du 2nd ordre $A\,u_{xx}+B\,u_{xy}+C\,u_{yy}+\dots=0$ se classe par le discriminant $B^2-4AC$ :
- $B^2-4AC<0$ → elliptique (Laplace — régime permanent) ;
- $B^2-4AC=0$ → parabolique (chaleur — diffusion) ;
- $B^2-4AC>0$ → hyperbolique (ondes — propagation).
Conditions : aux limites (Dirichlet $u$ imposée au bord ; Neumann $\partial_n u$ imposée — bord isolé) et initiales (la valeur, plus la vitesse pour les ondes).
Transport (1er ordre) : $u_t+c\,u_x=0$ a pour solutions les ondes voyageuses $u(x,t)=f(x-ct)$ — le profil $f$ se déplace sans déformation à la vitesse $c$ .

B. Équation de la chaleur (parabolique)

\boxed{\ u_t=c^2\,u_{xx}\ }\qquad(\text{sur }[0,L],\ u(0,t)=u(L,t)=0).

Séparation $u=X(x)T(t)$ : en divisant, $\dfrac{T'}{c^2T}=\dfrac{X''}{X}=-\lambda$ (constante). Le problème spatial $X''+\lambda X=0$ , $X(0)=X(L)=0$ donne les modes propres

\lambda_n=\Big(\tfrac{n\pi}L\Big)^2,\qquad X_n(x)=\sin\tfrac{n\pi x}L,\qquad T_n(t)=e^{-c^2\lambda_n t}.

Solution générale = série de Fourier sinus de la condition initiale

f=u(\cdot,0)

, chaque mode amorti :

u(x,t)=\sum_{n\ge1}b_n\sin\tfrac{n\pi x}L\;e^{-c^2(n\pi/L)^2 t},\qquad b_n=\frac2L\int_0^L f(x)\sin\tfrac{n\pi x}L\,dx.

Les hautes fréquences (

n

grand) disparaissent le plus vite ⟹ lissage ; en Dirichlet homogène,

u\to0

Plusieurs courbes de température sur un intervalle [0,L], nulles aux deux bords ; la courbe initiale est marquée et oscillante, les suivantes (à des instants croissants) sont de plus en plus plates et basses, illustrant le lissage et l'amortissement de la chaleur. — **Diffusion de la chaleur** : un profil de température initial (courbe foncée, $t=0$ ) s'**aplatit** au cours du temps ( $t$ croissant, courbes de plus en plus claires). Les **hautes fréquences** (irrégularités) disparaissent les premières — la solution est la série de Fourier de la donnée, chaque mode amorti par $e^{-c^2(n\pi/L)^2 t}$ . En Dirichlet homogène, $u\to0$ .

C. Équation des ondes (hyperbolique)

\boxed{\ u_{tt}=c^2\,u_{xx}\ }\qquad(\text{corde vibrante, célérité }c).

Modes propres (ondes stationnaires) : $u_n=\sin\tfrac{n\pi x}L\cos\tfrac{n\pi c t}L$ — pulsations $\omega_n=\tfrac{n\pi c}L$ (le fondamental $n=1$ et ses harmoniques). Solution de d'Alembert :

u(x,t)=\tfrac12\big[f(x-ct)+f(x+ct)\big]+\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds

(

f

= position initiale,

g

= vitesse initiale) : la perturbation se propage à vitesse

c

dans les deux sens. Une onde stationnaire est la somme de deux ondes voyageuses.

En haut une bosse centrale unique (profil initial d'une corde) ; en dessous, à un instant ultérieur, deux bosses de moitié plus petites s'éloignant symétriquement vers la gauche et la droite ; illustration de la décomposition de d'Alembert en deux ondes voyageuses. — **Solution de d'Alembert** : une perturbation initiale (bosse centrale) se **scinde en deux ondes** identiques de demi-amplitude, l'une se propageant vers la **gauche** ( $x+ct$ ), l'autre vers la **droite** ( $x-ct$ ), à la célérité $c$ . C'est le contenu de $u(x,t)=\tfrac12[f(x-ct)+f(x+ct)]$ .

EDP — classification, équation de la chaleur & des ondes

A. Vocabulaire et classification

B. Équation de la chaleur (parabolique)

C. Équation des ondes (hyperbolique)

Dans le palier approfondissement (Pro) : Laplace, Poisson & problème de Sturm-Liouville

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