Transformée de Fourier

Transformée de Fourier — définition, propriétés, convolution & Parseval

Idée. La série de Fourier décompose un signal périodique en raies (harmoniques). La transformée de Fourier étend cela aux signaux non périodiques (impulsion, transitoire) : le spectre devient continu. C'est l'outil central du traitement du signal — il transforme une convolution (donc un filtrage) en simple produit, et révèle le contenu fréquentiel d'un signal.

A. Définition et transformées usuelles

Pour un signal $f(t)$ intégrable, sa transformée de Fourier (convention pulsation $\omega$ , en rad/s) :

\boxed{\ \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt\ }\qquad\text{inverse}\quad f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.

\hat f(\omega)

est en général complexe : son module

\lvert\hat f\rvert

est le spectre d'amplitude, son argument le spectre de phase.

Signal $f(t)$	Transformée $\hat f(\omega)$
porte $\mathbf 1_{[-T,T]}$	$\dfrac{2\sin(\omega T)}{\omega}$ (sinc)
$e^{-at}\,u(t)$ , $a>0$	$\dfrac1{a+i\omega}$
$e^{-a\lvert t\rvert}$	$\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$
$e^{-t^2/2}$	$\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^2/2}$
$\delta(t)$	$1$
$\delta(t-t_0)$	$e^{-i\omega t_0}$
$1$	$2\pi\,\delta(\omega)$

À gauche une fonction porte rectangulaire centrée sur l'axe du temps ; à droite sa transformée de Fourier en forme de sinus cardinal (sinc), avec un lobe central et des lobes latéraux décroissants ; flèche reliant les deux domaines. — Transformée de Fourier de la **porte** : un signal **rectangulaire** dans le temps (à gauche) a pour spectre un **sinc** $\dfrac{2\sin(\omega T)}{\omega}$ (à droite). Plus la porte est **étroite** dans le temps, plus son spectre est **large** (principe d'incertitude temps-fréquence) — le lobe central s'étale.

B. Propriétés fondamentales (par changement de variable)

Linéarité : $\widehat{\alpha f+\beta g}=\alpha\hat f+\beta\hat g$ .
Retard : $\widehat{f(t-t_0)}=e^{-i\omega t_0}\,\hat f(\omega)$ (déphasage pur, module inchangé).
Modulation : $\widehat{e^{i\omega_0 t}f(t)}=\hat f(\omega-\omega_0)$ (translation en fréquence ; d'où $\widehat{f(t)\cos\omega_0 t}=\tfrac12[\hat f(\omega-\omega_0)+\hat f(\omega+\omega_0)]$ , base de la modulation d'amplitude).
Changement d'échelle : $\widehat{f(at)}=\dfrac1{\lvert a\rvert}\,\hat f\!\left(\dfrac\omega a\right)$ (compression temporelle $\iff$ dilatation spectrale).
Dérivation : $\widehat{f'(t)}=i\omega\,\hat f(\omega)$ — dériver = multiplier par $i\omega$ (algébrise les équations différentielles). De même $\widehat{t\,f(t)}=i\,\hat f'(\omega)$ .

Deux paires signal-spectre : une impulsion large en temps a un spectre etroit en frequence, une impulsion etroite en temps a un spectre large ; les largeurs sont reperees de part et d'autre et leur produit reste constant. — La loi qui borne toute analyse temps-fréquence : **comprimer** le signal **dilate** son spectre, dans le rapport exactement inverse. Sur les gaussiennes $e^{-at^2}$ , de transformée $\sqrt{\pi/a}\,e^{-\omega^2/4a}$ , on a $\sigma_t=1/\sqrt{2a}$ et $\sigma_\omega=\sqrt{2a}$ : le produit $\sigma_t\sigma_\omega=1$ **ne dépend pas** de $a$ . Tracé pour $a=\tfrac12$ ( $\sigma_t=\sigma_\omega=1$ ) et $a=4$ ( $\sigma_t=0{,}354$ , $\sigma_\omega=2{,}83$ ) — d'où le fait qu'une impulsion brève occupe beaucoup de bande.

C. Convolution et énergie

Théorème de convolution : $\boxed{\widehat{f*g}=\hat f\cdot\hat g}$ — une convolution (donc tout filtrage linéaire) devient un produit en fréquence. Réciproquement $\widehat{fg}=\tfrac1{2\pi}\,\hat f*\hat g$ .
Parseval-Plancherel (conservation de l'énergie) :
$\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert f(t)\rvert^2\,dt=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert\hat f(\omega)\rvert^2\,d\omega.$
L'énergie se calcule indifféremment dans le temps ou en fréquence ; $\lvert\hat f(\omega)\rvert^2$ est la densité spectrale d'énergie.

Lien Laplace. $\hat f$ de $e^{-at}u(t)$ vaut $\dfrac1{a+i\omega}$ : c'est la transformée de Laplace $\dfrac1{p+a}$ évaluée en $p=i\omega$ . La transformée de Fourier est la « Laplace sur l'axe imaginaire ».