Méthodes numériques

Méthodes numériques — racines, intégration, équations différentielles

Idée. En pratique, l'ingénieur ne calcule presque jamais en exact : les équations n'ont pas de solution explicite, les intégrales pas de primitive, les équations différentielles pas de formule close. On les résout numériquement, par des algorithmes itératifs qui produisent une suite d'approximations $\to$ la solution, avec une erreur contrôlée. Deux questions guident tout le chapitre : l'algorithme converge-t-il ? et à quelle vitesse (ordre) ?

A. Résolution numérique d'équations $f(x)=0$

Dichotomie : si $f(a)f(b)<0$ , on coupe $[a,b]$ en deux et on garde la moitié qui change de signe. L'erreur est divisée par 2 à chaque étape (convergence linéaire), sûre mais lente.
Point fixe : réécrire $f(x)=0$ en $x=g(x)$ et itérer $x_{n+1}=g(x_n)$ . Converge si $|g'(\text{racine})|<1$ (contraction).
Méthode de Newton : $\boxed{\,x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\,}$ — on suit la tangente jusqu'à l'axe. Convergence quadratique (le nombre de décimales exactes double à chaque pas).
Sécante : Newton sans dérivée, $x_{n+1}=x_n-f(x_n)\dfrac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ .

Courbe d'une fonction et sa racine ; depuis un point x0 sur l'axe, la tangente à la courbe coupe l'axe en x1, puis la tangente en x1 coupe l'axe en x2, de plus en plus près de la racine ; illustration de la méthode de Newton. — Méthode de Newton : depuis $x_0$ , on trace la **tangente** à la courbe $y=f(x)$ ; elle coupe l'axe des abscisses en $x_1$ , plus proche de la racine $r$ . On recommence en $x_1$ → $x_2$ … La convergence est **quadratique** (le nombre de décimales exactes double à chaque pas).

Exemple. $f(x)=x^2-2$ , Newton donne $x_{n+1}=\tfrac12\!\left(x_n+\tfrac2{x_n}\right)$ : de $x_0=1$ , $x_1=\tfrac32$ , $x_2=\tfrac{17}{12}$ , $x_3=\tfrac{577}{408}\approx1{,}4142157$ — déjà $6$ décimales de $\sqrt2$ .

B. Intégration numérique (quadrature)

On approche $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ en remplaçant $f$ par des morceaux simples ( $h=\tfrac{b-a}{n}$ , $x_i=a+ih$ ) :

Rectangles (gauche/droite/point milieu) — ordre $1$ .
Trapèzes : $\displaystyle T=h\Big[\tfrac{f(x_0)+f(x_n)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\Big]$ — erreur en $O(h^2)$ .
Simpson (paraboles, $n$ pair) :
$\displaystyle S=\tfrac h3\Big[f(x_0)+f(x_n)+4\!\!\sum_{i\text{ impair}}\!\!f(x_i)+2\!\!\sum_{i\text{ pair}}\!\!f(x_i)\Big]$
— erreur en $O(h^4)$ , exacte sur les polynômes de degré $\le 3$ .

Courbe d'une fonction sur un intervalle découpé en sous-intervalles ; sous la courbe, des trapèzes verticaux dont les sommets suivent la courbe approchent l'aire ; illustration de l'intégration numérique par la méthode des trapèzes. — Méthode des trapèzes : l'aire sous la courbe $y=f(x)$ sur $[a,b]$ est approchée par la somme des aires de **trapèzes** appuyés sur les points $x_0,x_1,\dots,x_n$ . Plus les sous-intervalles sont fins (pas $h$ petit), plus l'approximation est précise (erreur en $O(h^2)$ ).

Exemple. $\int_0^1 x^3\,dx=\tfrac14$ : Simpson avec $n=2$ donne $\tfrac16\big(0+4\cdot\tfrac18+1\big)=\tfrac14$ — exact (cubique !).

C. Équations différentielles numériques

Pour $y'=f(t,y)$ , $y(t_0)=y_0$ , on avance par pas $h$ :

Euler explicite : $y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)$ — ordre $1$ , simple mais peu précis ; stable seulement si $h$ est assez petit (ex. $y'=\lambda y$ : $|1+h\lambda|<1$ ).
Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) : moyenne pondérée de $4$ pentes, ordre $4$ — le standard. Pour $y'=y$ , un pas RK4 reproduit le développement de Taylor $1+h+\tfrac{h^2}2+\tfrac{h^3}6+\tfrac{h^4}{24}$ .

Exemple. $y'=y$ , $y(0)=1$ (solution $e^t$ ). À $t=1$ : Euler ( $h=\tfrac12$ ) donne $\big(\tfrac32\big)^2=2{,}25$ ; RK4 ( $h=1$ ) donne $\tfrac{65}{24}\approx2{,}708$ — bien plus proche de $e\approx2{,}718$ .