Systèmes différentiels & stabilité

Systèmes différentiels linéaires — résolution

Idée. Un système différentiel linéaire couple plusieurs fonctions inconnues du temps :

\vec X\,'(t)=A\,\vec X(t),\qquad \vec X=\begin{pmatrix}x(t)\\ y(t)\end{pmatrix},\ A\in\mathcal M_2(\mathbb R).

C'est l'analogue vectoriel de

y'=ay

(dont la solution est

y=c\,e^{at}

). La clé : diagonaliser $A$ ramène le système couplé à des équations scalaires

y'=\lambda y

découplées — exactement le prolongement de l'exercice

X'=AX

du chapitre Diagonalisation.

A. Du scalaire au système

Toute équation d'ordre $2$ se réécrit en système d'ordre $1$ : $y''+py'+qy=0$ devient, en posant $x_1=y$ , $x_2=y'$ ,

\vec X\,'=\begin{pmatrix}0&1\\-q&-p\end{pmatrix}\vec X.

Les valeurs propres de cette matrice sont les racines de l'équation caractéristique

\lambda^2+p\lambda+q=0

— le pont avec le chapitre Équations différentielles.

B. Résolution par diagonalisation (valeurs propres réelles distinctes)

Si $A$ a deux valeurs propres réelles distinctes $\lambda_1,\lambda_2$ de vecteurs propres $\vec v_1,\vec v_2$ , la solution générale est

\boxed{\ \vec X(t)=c_1\,e^{\lambda_1 t}\,\vec v_1+c_2\,e^{\lambda_2 t}\,\vec v_2\ }

Chaque mode propre

e^{\lambda_i t}\vec v_i

évolue le long de sa direction propre.

Exemple. $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ : $\lambda=3$ ( $\vec v=\binom11$ ) et $\lambda=-1$ ( $\vec v=\binom1{-1}$ ), d'où $\vec X(t)=c_1e^{3t}\binom11+c_2e^{-t}\binom1{-1}$ .

C. Valeurs propres complexes (oscillations)

Si $\lambda=a\pm ib$ ( $b\neq0$ ), les exponentielles complexes se recombinent en solutions réelles oscillantes modulées par $e^{at}$ :

\vec X(t)=e^{at}\big(c_1(\cos bt\ \cdots)+c_2(\sin bt\ \cdots)\big).

Le signe de

a=\operatorname{Re}\lambda

décide :

a<0

oscillations amorties,

a=0

oscillations entretenues,

a>0

divergentes.

Exemple. $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ : $\lambda=\pm i$ , $\vec X(t)=c_1\binom{\cos t}{\sin t}+c_2\binom{-\sin t}{\cos t}$ (rotation pure).

D. Exponentielle de matrice & problème de Cauchy

La solution du problème de Cauchy $\vec X\,'=A\vec X$ , $\vec X(0)=\vec X_0$ est

\boxed{\ \vec X(t)=e^{tA}\,\vec X_0\ },\qquad e^{tA}=P\,e^{tD}\,P^{-1}\ \text{si}\ A=PDP^{-1}.

e^{tA}

est l'unique matrice

M(t)

vérifiant

M'(t)=A\,M(t)

M(0)=I

Exemple. Pour la rotation ci-dessus, $e^{tA}=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t\end{pmatrix}$ .

Systèmes différentiels linéaires — résolution

A. Du scalaire au système

B. Résolution par diagonalisation (valeurs propres réelles distinctes)

C. Valeurs propres complexes (oscillations)

D. Exponentielle de matrice & problème de Cauchy

Dans le palier approfondissement (Pro) : Points d'équilibre, classification & stabilité

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