Nombres complexes

Nombres complexes — socle

Forme algébrique. Tout $z\in\mathbb{C}$ s'écrit $z = a + ib$ avec $a=\Re(z)$, $b=\Im(z)$, $i^2=-1$. Le conjugué est $\bar z = a-ib$, et $z\bar z = a^2+b^2 \in\mathbb{R}^+$.

Exemple. $(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=5+i$.

Exemple. $\dfrac{3+i}{2-i}=\dfrac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{5+5i}{5}=1+i$ (on multiplie haut et bas par le conjugué $2+i$ ; dénominateur $2^2+1^2=5$).

Plan complexe. À $z=a+ib$ on associe le point $M(a,b)$ — son affixe.

Module et argument. $r = |z| = \sqrt{a^2+b^2} = OM$ ; l'argument $\theta = \arg(z)$ vérifie $a = r\cos\theta$, $b = r\sin\theta$ (défini modulo $2\pi$).

Exemple. $|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Exemple. Pour $z=-1+i$ : $|z|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$ et, $z$ étant au 2e quadrant, $\arg z=\tfrac{3\pi}{4}\;[2\pi]$.

Forme trigonométrique. $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

Forme exponentielle. $z = r\,e^{i\theta}$ — à privilégier pour produits, quotients et puissances.

Exemple. $\sqrt3+i=2\,e^{i\pi/6}$ : module $\sqrt{3+1}=2$, et $\cos\theta=\tfrac{\sqrt3}{2},\ \sin\theta=\tfrac12 \Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{6}$.

Propriétés multiplicatives. Pour $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ :

Exemple. $2\,e^{i\pi/3}\cdot 3\,e^{i\pi/6}=6\,e^{i(\pi/3+\pi/6)}=6\,e^{i\pi/2}=6i$.

Rotation-homothétie. Multiplier par $w = r\,e^{i\theta}$ = rotation d'angle $\theta$ (centre $O$) + homothétie de rapport $r$. Cas clé : multiplier par $i = e^{i\pi/2}$ est une rotation de $+\tfrac{\pi}{2}$.

Formule de de Moivre. $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

Exemple. $(1-i)^4$ : $(1-i)^2=-2i$, donc $(1-i)^4=(-2i)^2=-4$.

Exemple. $(1+i)^6$ : comme $1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$, on a $(1+i)^6=(\sqrt2)^6\,e^{i\,6\pi/4}=8\,e^{i\,3\pi/2}=-8i$.

Formules d'Euler. $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\quad\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.