Représentations & caractères

Représentations linéaires : Maschke, Schur, caractères et relations d'orthogonalité

Idée. Linéariser un groupe : le faire agir sur un espace vectoriel pour l'étudier par l'algèbre linéaire. Toute l'information se condense dans une seule fonction numérique, le caractère $\chi(g)=\operatorname{tr}\rho(g)$. C'est le sommet de la théorie des groupes finis, qui mobilise groupes (classes de conjugaison), matrices/diagonalisation (trace, valeurs propres) et cplx_coeur (racines de l'unité).

Note (L2/L3, démonstratif). Exercices = preuves + calculs de tables de caractères, vérifiés machine sur $C_n,S_3,D_4,Q_8,A_4,S_4$ (_verif_representations.py construit les $\rho$ explicitement).

A. Représentations

Une représentation (complexe) de $G$ est un morphisme $\rho:G\to GL(V)$, $V$ un $\mathbb{C}$-espace de dimension finie ; son degré est $\dim V$. De façon équivalente, $\rho:G\to GL_d(\mathbb{C})$ avec $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$.

• triviale ($\rho(g)=1$), régulière ($G$ agit sur $\mathbb{C}[G]$ par translation, degré $\lvert G\rvert$), de permutation ($G$ agit sur $\mathbb{C}^{X}$, $\rho(g)e_x=e_{g\cdot x}$), signature ($\varepsilon:S_n\to\{\pm1\}$).
• Une sous-représentation est un sous-espace $W\subseteq V$ stable par tous les $\rho(g)$. $V$ est irréductible si $V\neq0$ et ses seules sous-représentations sont $0$ et $V$.
• Deux représentations sont équivalentes s'il existe $P$ inversible avec $\rho'(g)=P\rho(g)P^{-1}$ pour tout $g$.

B. Maschke & Schur

Preuve (moyennage). D'un produit hermitien quelconque on fabrique $\langle u,v\rangle_G=\frac1{\lvert G\rvert}\sum_{g}\langle\rho(g)u,\rho(g)v\rangle$, $G$-invariant ; l'orthogonal d'une sous-représentation est alors une sous-représentation supplémentaire. On récurre. (Tout $\rho(g)$ devient unitaire, donc diagonalisable ; comme $g$ est d'ordre fini, ses valeurs propres sont des racines de l'unité.)

Conséquence. Si $G$ est abélien, toutes ses représentations irréductibles sont de degré 1 (chaque $\rho(h)$ commute à tous les $\rho(g)$, donc est scalaire par Schur). Les irréductibles de degré 1 sont exactement les morphismes $G\to\mathbb{C}^\times$.

E. Caractères & orthogonalité

Le caractère de $\rho$ est $\chi_\rho(g)=\operatorname{tr}\rho(g)$. Propriétés : $\chi(e)=\deg\rho$ ; $\chi$ est une fonction de classe ($\chi(hgh^{-1})=\chi(g)$, invariance de la trace par conjugaison) ; $\chi(g^{-1})=\overline{\chi(g)}$ (les $\rho(g)$ unitaires ont des valeurs propres de module 1).

Sur l'espace des fonctions de classe, le produit hermitien

Exemple — $S_3$ (classes : $\{e\}$, transpositions, $3$-cycles). Trois irréductibles : triviale, signature (degré 1), standard (degré 2). $\sum\dim^2=1+1+4=6=\lvert S_3\rvert$.