Théorie de Galois

Extensions de corps, groupe de Galois et correspondance de Galois

Idée. Étudier une équation polynomiale via la symétrie de ses racines : à une extension de corps on associe un groupe (le groupe de Galois), et la correspondance de Galois traduit la structure des sous-corps en celle des sous-groupes. C'est le sommet de l'arc algèbre : il relie groupes, corps_finis, polynomes, anneaux et complexes.

Note (L2/L3, démonstratif). Exercices = preuves + calculs de groupes de Galois, vérifiés machine sur des extensions concrètes (_verif_galois.py : degrés, galois_group, correspondance sur $\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$ ).

A. Extensions de corps & degrés

Une extension $L/K$ est une inclusion de corps $K\subseteq L$ ; $L$ est un $K$ -espace vectoriel, de dimension le degré $[L:K]$ . L'extension est finie si $[L:K]<\infty$ .

\boxed{\textbf{Tour des degrés : } [M:K]=[M:L]\,[L:K].}

Un élément

\alpha\in L

est algébrique sur

K

s'il annule un polynôme de

K[X]

; son polynôme minimal

\mu_\alpha

(unitaire, irréductible) vérifie

[K(\alpha):K]=\deg\mu_\alpha

. Toute extension finie est algébrique. Le corps de décomposition d'un

P\in K[X]

est le plus petit corps où

P

est scindé.

Exemples. $[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}]=2$ ( $\mu=X^2-2$ ), $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]=3$ ( $\mu=X^3-2$ ), $[\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}]=2\cdot2=4$ .

B. Groupe de Galois & extension galoisienne

Le groupe de Galois $\operatorname{Gal}(L/K)$ est le groupe des $K$ -automorphismes de $L$ (les automorphismes de corps de $L$ fixant $K$ ). Un tel automorphisme permute les racines d'un polynôme de $K[X]$ , d'où $\lvert\operatorname{Gal}(L/K)\rvert\leq[L:K]$ .

\boxed{L/K \text{ finie}:\ \textbf{galoisienne} \iff \lvert\operatorname{Gal}(L/K)\rvert=[L:K] \iff \text{normale et séparable.}}

(En caractéristique $0$ , toute extension finie est séparable : galoisienne $\iff$ normale, i.e. corps de décomposition d'un polynôme.) Le corps fixe $L^G=\{x:\sigma(x)=x\ \forall\sigma\in G\}$ vaut alors exactement $K$ (lemme d'Artin).

$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id},\ \sqrt2\mapsto-\sqrt2\}\cong C_2,$
$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/2)^2$ (Klein), ordre $4$ .
$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q}$ n'est pas galoisienne : un seul automorphisme ( $\sqrt[3]2$ n'a pas d'autre conjugué réel), $\lvert\operatorname{Gal}\rvert=1<3$ .
Corps finis : $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ est cyclique d'ordre $n$ , engendré par le Frobenius $x\mapsto x^p$ .

E. Correspondance de Galois

Soit $L/K$ galoisienne de groupe $G$ . Il y a une bijection décroissante entre sous-groupes de $G$ et corps intermédiaires :

\boxed{H\ \longmapsto\ L^H,\qquad M\ \longmapsto\ \operatorname{Gal}(L/M),\qquad [L:L^H]=\lvert H\rvert,\quad [L^H:K]=[G:H].}

De plus :

\boxed{H\triangleleft G \iff L^H/K \text{ galoisienne},\ \text{et alors } \operatorname{Gal}(L^H/K)\cong G/H.}

Deux treillis en losange côte à côte reliés par des flèches : à gauche les sous-groupes du groupe de Klein (le groupe entier en bas, les trois sous-groupes d'ordre 2 au milieu, le sous-groupe trivial en haut), à droite les corps intermédiaires correspondants (Q en bas, Q(√2), Q(√3), Q(√6) au milieu, Q(√2,√3) en haut), illustrant la bijection décroissante de la correspondance de Galois. — **Correspondance de Galois pour $\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}$ .** À gauche, le treillis des **sous-groupes** de $G=(\mathbb{Z}/2)^2$ ; à droite, le treillis (renversé) des **corps intermédiaires**. La bijection est **décroissante** : $\{\mathrm{id}\}\leftrightarrow L$ (en haut à droite), $G\leftrightarrow\mathbb{Q}$ (en bas à droite). $[L:L^H]=\lvert H\rvert$ et $[L^H:\mathbb{Q}]=[G:H]$ . $G$ étant abélien, tous les sous-groupes sont normaux, donc tous les corps intermédiaires sont galoisiens sur $\mathbb{Q}$ .

Exemple — $\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}$ , $G=(\mathbb{Z}/2)^2$ . Les $5$ sous-groupes ↔ $5$ corps intermédiaires :

sous-groupe $H$	$\lvert H\rvert$	corps fixe $L^H$	$[L^H:\mathbb{Q}]$
$G$	$4$	$\mathbb{Q}$	$1$
$\langle\sigma\rangle$ ( $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$ )	$2$	$\mathbb{Q}(\sqrt3)$	$2$
$\langle\tau\rangle$ ( $\sqrt3\mapsto-\sqrt3$ )	$2$	$\mathbb{Q}(\sqrt2)$	$2$
$\langle\sigma\tau\rangle$	$2$	$\mathbb{Q}(\sqrt6)$	$2$
$\{\mathrm{id}\}$	$1$	$\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$	$4$

( $G$ abélien $\Rightarrow$ tous les sous-groupes normaux $\Rightarrow$ tous les corps intermédiaires galoisiens sur $\mathbb{Q}$ .)

Extensions de corps, groupe de Galois et correspondance de Galois

A. Extensions de corps & degrés

B. Groupe de Galois & extension galoisienne

E. Correspondance de Galois

Dans le palier approfondissement (Pro) : Élément primitif, cyclotomie, constructibilité (Gauss-Wantzel), résolubilité par radicaux (Abel-Ruffini)

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