Topologie générale

Espaces métriques et topologiques : ouverts, continuité, connexité, compacité

Idée. La topologie axiomatise les notions de proximité, de limite et de continuité sans recourir à une distance : on déclare quels ensembles sont « ouverts ». Tout se déduit alors de cette famille d'ouverts.

Note (L2/L3, périmètre de vérification). Une partie du chapitre est certifiée machine (_verif_topologie.py) : tout ce qui concerne les espaces finis (topologies, séparation, connexité, continuité, homéomorphisme) et les métriques concrètes (complétude de $\mathbb{Q}$ , point fixe de Banach). Les grands théorèmes infinis (Tychonoff, Baire, Bolzano-Weierstrass, Heine-Borel) sont admis : leur preuve générale n'est pas certifiable par instances finies — ils sont signalés « ADMIS » dans les exercices.

A. Espaces métriques

Un espace métrique $(X,d)$ est un ensemble muni d'une distance $d:X\times X\to\mathbb{R}_+$ : $d(x,y)=0\iff x=y$ , $d(x,y)=d(y,x)$ , $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

Boule ouverte $B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}$ . Un ouvert est une réunion de boules ; $A$ est ouvert $\iff\forall x\in A,\ \exists r>0,\ B(x,r)\subseteq A$ .
Adhérence $\overline{A}$ (plus petit fermé $\supseteq A$ ), intérieur $\mathring{A}$ (plus grand ouvert $\subseteq A$ ), frontière $\partial A=\overline{A}\setminus\mathring{A}$ . En métrique : $x\in\overline{A}\iff$ limite d'une suite d'éléments de $A$ .
Continuité $f:(X,d)\to(Y,\delta)$ en $a$ : $\forall\varepsilon>0,\exists\eta>0,\ d(x,a)<\eta\Rightarrow\delta(f(x),f(a))<\varepsilon$ — équivalent à : préimage de tout ouvert ouverte, et à la continuité séquentielle.
Deux distances sont équivalentes si elles définissent les mêmes ouverts. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes ( $\lVert\cdot\rVert_\infty\leq\lVert\cdot\rVert_2\leq\sqrt n\,\lVert\cdot\rVert_\infty$ ).

Disque ferme accompagne d'un point isole a l'ecart ; trois vignettes montrent successivement l'interieur, reduit au disque ouvert, l'adherence, qui ajoute le bord et le point isole, et la frontiere, formee du cercle et du point isole seul. — Le vocabulaire de base sur le cas qui pique. $A$ est un disque fermé **plus** un point isolé $p=(2,0)$ : l'intérieur $\mathring A$ est le disque **ouvert** (le point isolé n'en fait pas partie, aucune boule autour de lui n'est incluse dans $A$ ) ; l'adhérence $\overline A$ est le disque fermé $\cup\,\{p\}$ ; la frontière $\partial A=\overline A\setminus\mathring A$ est le cercle $\cup\,\{p\}$ . Un point de $A$ peut donc être **à lui seul** un morceau de frontière — l'intuition « la frontière borde l'objet » est fausse. Contrôle : $d(p,\text{disque})=2>1$ , $p$ n'est adhérent à aucun point du disque.

B. Espaces topologiques

Un espace topologique $(X,\mathcal{T})$ : $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)$ (les ouverts) avec

\boxed{\begin{aligned}&\varnothing,X\in\mathcal{T};\\ &\text{réunion QUELCONQUE d'ouverts} \in\mathcal{T};\\ &\text{intersection FINIE d'ouverts}\in\mathcal{T}.\end{aligned}}

Les fermés sont les complémentaires d'ouverts. Exemples : discrète (

\mathcal{T}=\mathcal{P}(X)

), grossière (

\{\varnothing,X\}

), Sierpiński (

X=\{0,1\}

\mathcal{T}=\{\varnothing,\{1\},X\}

). Sur

n

points il y a

1,4,29,355

topologies pour

n=1,2,3,4

Continuité : $f$ continue $\iff$ préimage de tout ouvert est ouverte. Un homéomorphisme est une bijection continue d'inverse continu (« même topologie »).
Sous-espace $A\subseteq X$ : ouverts de $A$ = traces $U\cap A$ des ouverts de $X$ .

Trois schémas en ligne illustrant T0 (un point dans un ouvert qui exclut l'autre), T1 (chaque singleton entouré d'un ouvert excluant l'autre point) et T2/Hausdorff (deux points x et y entourés de deux ouverts disjoints U et V), avec les flèches d'implication T2 ⇒ T1 ⇒ T0 en dessous. — **Axiomes de séparation $T_0$ , $T_1$ , $T_2$ .** $T_0$ : deux points distincts sont distinguables par un ouvert ; $T_1$ : les singletons sont fermés ; $T_2$ (**Hausdorff**) : deux points distincts ont des voisinages **disjoints**. Hiérarchie $T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$ . L'espace de **Sierpiński** est $T_0$ mais pas $T_1$ ; la topologie **discrète** est $T_2$ ; en **fini**, séparé $\iff$ discret.

E. Connexité et compacité

$X$ est connexe s'il n'est PAS réunion de deux ouverts non vides disjoints (pas de « coupure »). Les intervalles sont les connexes de $\mathbb{R}$ . L'image continue d'un connexe est connexe (d'où le théorème des valeurs intermédiaires).
$X$ est compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini. Tout espace fini est compact. Dans $\mathbb{R}^n$ : Heine-Borel — compact $\iff$ fermé borné (ADMIS). L'image continue d'un compact est compacte → théorème des bornes atteintes (une fonction continue sur un compact atteint ses bornes).

Espaces métriques et topologiques : ouverts, continuité, connexité, compacité

A. Espaces métriques

B. Espaces topologiques

E. Connexité et compacité

Dans le palier approfondissement (Pro) : Séparation, complétude et grands théorèmes (Tychonoff, Baire, Bolzano-Weierstrass)

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