Topologie générale

Espaces métriques et topologiques : ouverts, continuité, connexité, compacité

Idée. La topologie axiomatise les notions de proximité, de limite et de continuité sans recourir à une distance : on déclare quels ensembles sont « ouverts ». Tout se déduit alors de cette famille d'ouverts.

Note (L2/L3, périmètre de vérification). Une partie du chapitre est certifiée machine (_verif_topologie.py) : tout ce qui concerne les espaces finis (topologies, séparation, connexité, continuité, homéomorphisme) et les métriques concrètes (complétude de $\mathbb{Q}$, point fixe de Banach). Les grands théorèmes infinis (Tychonoff, Baire, Bolzano-Weierstrass, Heine-Borel) sont admis : leur preuve générale n'est pas certifiable par instances finies — ils sont signalés « ADMIS » dans les exercices.

A. Espaces métriques

Un espace métrique $(X,d)$ est un ensemble muni d'une distance $d:X\times X\to\mathbb{R}_+$ : $d(x,y)=0\iff x=y$, $d(x,y)=d(y,x)$, $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

• Boule ouverte $B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}$. Un ouvert est une réunion de boules ; $A$ est ouvert $\iff\forall x\in A,\ \exists r>0,\ B(x,r)\subseteq A$.
• Adhérence $\overline{A}$ (plus petit fermé $\supseteq A$), intérieur $\mathring{A}$ (plus grand ouvert $\subseteq A$), frontière $\partial A=\overline{A}\setminus\mathring{A}$. En métrique : $x\in\overline{A}\iff$ limite d'une suite d'éléments de $A$.
• Continuité $f:(X,d)\to(Y,\delta)$ en $a$ : $\forall\varepsilon>0,\exists\eta>0,\ d(x,a)<\eta\Rightarrow\delta(f(x),f(a))<\varepsilon$ — équivalent à : préimage de tout ouvert ouverte, et à la continuité séquentielle.
• Deux distances sont équivalentes si elles définissent les mêmes ouverts. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes ($\lVert\cdot\rVert_\infty\leq\lVert\cdot\rVert_2\leq\sqrt n\,\lVert\cdot\rVert_\infty$).

B. Espaces topologiques

Un espace topologique $(X,\mathcal{T})$ : $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)$ (les ouverts) avec

• Continuité : $f$ continue $\iff$ préimage de tout ouvert est ouverte. Un homéomorphisme est une bijection continue d'inverse continu (« même topologie »).
• Sous-espace $A\subseteq X$ : ouverts de $A$ = traces $U\cap A$ des ouverts de $X$.

E. Connexité et compacité

• $X$ est connexe s'il n'est PAS réunion de deux ouverts non vides disjoints (pas de « coupure »). Les intervalles sont les connexes de $\mathbb{R}$. L'image continue d'un connexe est connexe (d'où le théorème des valeurs intermédiaires).
• $X$ est compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini. Tout espace fini est compact. Dans $\mathbb{R}^n$ : Heine-Borel — compact $\iff$ fermé borné (ADMIS). L'image continue d'un compact est compacte → théorème des bornes atteintes (une fonction continue sur un compact atteint ses bornes).