Intégrale de Lebesgue

Tribus, mesures, intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence

Idée. L'intégrale de Riemann découpe l'axe des $x$ (sommes de Darboux verticales) ; l'intégrale de Lebesgue découpe l'axe des $y$ : on mesure les ensembles $\{f\approx c\}$ et on somme $c\cdot\mu(\{f\approx c\})$. Cette bascule rend intégrables des fonctions très irrégulières (Dirichlet) et donne des théorèmes de convergence souples (passage limite/intégrale).

Note (L2/L3, périmètre de vérification). Une partie du chapitre est certifiée machine (_verif_lebesgue.py) : tout ce qui concerne les tribus et mesures finies ($\#\text{tribus}=$ nombre de Bell, additivité, $\int f\,d\mu=\sum f(\text{atome})\,\mu(\text{atome})$, linéarité) et de nombreuses instances ($\lambda(\mathbb{Q})=0$ et Dirichlet, intégrales concrètes, suites de Fatou/DCT). Les grands théorèmes à objets infinis (Carathéodory, Fubini-Tonelli général, Radon-Nikodym, Riesz-Fischer) sont admis : ils sont signalés « ADMIS » dans les exercices (honnêteté du périmètre).

A. Tribus et mesures

• Une tribu (ou $\sigma$-algèbre) $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ : contient $\varnothing$, stable par complémentaire et par réunion dénombrable (donc par intersection dénombrable). Le couple $(\Omega,\mathcal{A})$ est un espace mesurable.
• Sur $\Omega$ fini, une tribu $\leftrightarrow$ une partition (ses atomes) ; il y a $\#\text{tribus}(n)=B_n$ (nombre de Bell : $1,2,5,15,52$ pour $n=1..5$).
• Une mesure $\mu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ : $\mu(\varnothing)=0$ et $\sigma$-additivité $\mu\!\left(\bigsqcup_n A_n\right)=\sum_n\mu(A_n)$ (réunion disjointe dénombrable). Conséquences : monotonie $A\subseteq B\Rightarrow\mu(A)\leq\mu(B)$, continuité croissante/décroissante. Une mesure de probabilité vérifie $\mu(\Omega)=1$.
• Une partie $N$ est négligeable si $\mu(N)=0$. Une propriété vaut presque partout (p.p.) si elle est vraie hors d'un négligeable. La mesure de Lebesgue $\lambda$ sur $\mathbb{R}$ vérifie $\lambda([a,b])=b-a$, $\lambda(\{x\})=0$, et $\lambda$ d'un ensemble dénombrable est nulle : en particulier $\boxed{\lambda(\mathbb{Q})=0}$.

B. Fonctions mesurables et intégrale

• $f:(\Omega,\mathcal{A})\to\mathbb{R}$ est mesurable si $f^{-1}(]a,+\infty[)\in\mathcal{A}$ pour tout $a$ (préimage des boréliens dans $\mathcal{A}$). Sur $\Omega$ fini : mesurable $\iff$ constante sur chaque atome.
• Étagées : $\varphi=\sum_{i=1}^n c_i\,\mathbf 1_{A_i}$ ($A_i\in\mathcal{A}$), d'intégrale $\int\varphi\,d\mu=\sum_i c_i\,\mu(A_i)$. Pour $f\geq0$ mesurable : $\int f\,d\mu=\sup\{\int\varphi\,d\mu:0\leq\varphi\leq f\text{ étagée}\}$.
• Intégrable ($f\in L^1$) : $\int|f|\,d\mu<+\infty$ ; on pose $\int f=\int f^+-\int f^-$. L'intégrale est linéaire, monotone, et $\int\mathbf 1_A\,d\mu=\mu(A)$. Si $f=g$ p.p. alors $\int f=\int g$ : modifier sur un négligeable ne change rien.
• Riemann vs Lebesgue : une fonction Riemann-intégrable sur $[a,b]$ l'est au sens de Lebesgue, avec même valeur. Mais $\mathbf 1_{\mathbb{Q}}$ (Dirichlet) est Lebesgue-intégrable ($\int\mathbf 1_{\mathbb{Q}}\,d\lambda=\lambda(\mathbb{Q})=0$) et pas Riemann-intégrable (sommes inf $=0$, sup $=1$).

E. Théorèmes de convergence

Pour des fonctions mesurables $f_n\to f$ (p.p.) :

• Convergence monotone (Beppo Levi) : si $0\leq f_n\uparrow f$, alors $\int f_n\uparrow\int f$. (Ex. $f_n=\mathbf 1_{[0,1-1/n]}$, $\int f_n=1-\tfrac1n\uparrow1$.) Permet l'interversion $\sum/\int$ pour des termes $\geq0$.
• Lemme de Fatou : $\int\liminf f_n\leq\liminf\int f_n$ (pour $f_n\geq0$). L'inégalité peut être stricte : « masse fuyante » $f_n=n\,\mathbf 1_{(0,1/n)}$, $\int f_n=1$ mais $f_n\to0$ p.p., $\int\liminf f_n=0<1$.
• Convergence dominée (Lebesgue) : si $f_n\to f$ p.p. et $|f_n|\leq g$ avec $g\in L^1$ (dominante intégrable), alors $f\in L^1$ et $\int f_n\to\int f$. (Ex. $f_n=x^n$ sur $[0,1]$ : $\to0$ p.p., dominée par $1$, $\int f_n=\tfrac1{n+1}\to0$.) Sans domination, c'est faux (la masse fuyante de Fatou : $\int f_n=1\not\to0$).