Exercices corrigés — Nombres complexes

Pour un quotient, multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Conjugué de $3-4i$ ?

Au dénominateur, $(3-4i)(3+4i)=3^2+4^2$ (réel).

Un quotient de complexes n'est pas une forme algébrique. « Forme algébrique » veut dire $a+bi$ avec $a$ et $b$ réels — or ici le $i$ est coincé au dénominateur, et tant qu'il y est, on ne peut lire ni la partie réelle, ni la partie imaginaire, ni rien.

Toute la question est donc : comment faire disparaître le $i$ du dénominateur ?

👉 Et la réponse tient dans une identité qu'on connaît depuis le lycée :

Le produit d'un complexe par son conjugué est un RÉEL, et même un réel positif. C'est la seule chose à retenir de cet exercice — le reste est du calcul.

⚠️ Le $+$ à l'arrivée surprend toujours : il vient de $-(bi)^2=-b^2i^2=+b^2$. Deux signes moins qui s'annulent.

Le conjugué de $3-4i$ est $3+4i$ — on change le signe de la partie imaginaire, et rien d'autre.

⚠️ On multiplie par $\dfrac{3+4i}{3+4i}$, c'est-à-dire par $1$. C'est ce qui rend l'opération légitime : on ne change pas la valeur, seulement l'écriture. Multiplier le seul numérateur serait une faute — on obtiendrait un autre nombre.

Un réel, comme annoncé. On peut appliquer l'identité directement, sans développer — c'est tout l'intérêt de la reconnaître.

⚠️ L'erreur ici est d'écrire $9-16=-7$, en appliquant $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ sans voir que $b$ vaut $4i$ et non $4$ :

👉 Un dénominateur négatif après cette opération est toujours une faute : $a^2+b^2$ est une somme de carrés, donc positif. Contrôle gratuit.

On regroupe, en remplaçant $i^2$ par $-1$ à la fin, quand tous les produits sont posés :

⚠️ La faute la plus fréquente du chapitre : traiter $i^2$ comme $+1$. On trouverait $9+24=33$ au lieu de $-15$ — un résultat qui n'a plus rien à voir.

On sépare en partie réelle et partie imaginaire, en divisant chaque morceau :

⚠️ Ne pas s'arrêter à $\dfrac{-15+30i}{25}$ : ce n'est pas encore une forme algébrique, on ne lit pas $a$ et $b$ directement. Simplifier chaque fraction fait partie de la réponse.

Conjugué et forme algébrique

$$\overline{a+bi}=a-bi\qquad z\bar z=a^2+b^2=|z|^2$$

Méthode du quotient, toujours la même :

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\,\overline{z_2}}{z_2\,\overline{z_2}}=\frac{z_1\,\overline{z_2}}{|z_2|^2}$$

Le dénominateur devient réel et positif, et il n'y a plus qu'à distribuer.

Propriétés utiles : $\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$, $\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$, $z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)$, $z-\bar z=2i\,\mathrm{Im}(z)$, et $z$ réel $\iff z=\bar z$.

Par le produit inverse — le plus direct : si $z=\dfrac{3+6i}{3-4i}$, alors $z\times(3-4i)$ doit redonner $3+6i$.

✓ exactement le numérateur de départ.

Par le module — plus rapide, et il attrape les fautes de signe :

et $\left|-\tfrac35+\tfrac65i\right|=\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{36}{25}}=\tfrac{3\sqrt5}{5}$ ✓

👉 Le contrôle par le module est plus rapide que le produit inverse, et il suffit ici.

⚠️ Multiplier le seul NUMÉRATEUR par le conjugué. On change alors le nombre — le dénominateur reste $3-4i$, donc complexe, et rien n'a été gagné.

⚠️ Traiter $i^2$ comme $+1$ au numérateur : on trouverait $9+24=33$ au lieu de $9-24=-15$.

⚠️ Écrire $(3-4i)(3+4i)=9-16=-7$, en appliquant $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ sans voir que $b=4i$ et que $(4i)^2=-16$.

👉 Le contrôle par le module refuse les trois d'un coup :

Aucune des trois fautives ne vaut $1{,}342$ — un seul calcul de module les élimine toutes.

Multiplier par le conjugué rend le dénominateur RÉEL — c'est le geste fondateur de tout le chapitre, et il repose sur $z\bar z=a^2+b^2$.

Haut ET bas. On multiplie par une fraction qui vaut $1$ ; toucher un seul côté change le nombre.

$i^2=-1$, et on ne le remplace qu'à la fin, une fois tous les produits développés.

Un dénominateur négatif après conjugaison est une faute — $a^2+b^2$ est positif. Contrôle gratuit, à faire systématiquement.

Quel lien entre les deux termes ?

Le second est le conjugué du premier ; or $z+\bar z=2\Re(z)$.

Calcule la partie réelle du premier terme, puis double.

Avant de calculer, regarder. Les deux fractions ne sont pas quelconques :

Le numérateur de la seconde est le conjugué de celui de la première ; son dénominateur aussi. Or le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués :

La somme est donc de la forme $z+\bar z$. Et $z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)$ : c'est un réel, et on n'a besoin que de la partie réelle de $z$.

👉 On vient de diviser le travail par deux — une seule fraction à réduire au lieu de deux — et de savoir la réponse avant de la calculer : ce sera un réel. C'est un contrôle qu'on s'offre gratuitement.

Dénominateur : $(1-i)(1+i)=1^2+1^2=2$.

Numérateur : $(2+5i)(1+i)=2+2i+5i+5i^2=2+7i-5=-3+7i$.

Le résultat est réel, comme le premier pas l'annonçait — la partie imaginaire $+\tfrac72i$ du premier terme est exactement compensée par le $-\tfrac72i$ du second ✓

Les quatre identités du conjugué qui servent tout le temps

$$z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)\qquad z-\bar z=2i\,\mathrm{Im}(z)$$

$$z\bar z=|z|^2\qquad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\bar z_1}{\bar z_2}$$

Conséquences immédiates, à reconnaître d'un coup d'œil :

forme	résultat
$z+\bar z$	réel
$z-\bar z$	imaginaire pur
$z\bar z$	réel positif

⚠️ La conjugaison traverse les sommes, produits et quotients ; elle laisse inchangés la partie réelle et le module (qui sont déjà réels).

C'est le contrôle qui vaut ici, parce qu'il emprunte un autre chemin : calculer les deux fractions séparément.

✓ Même résultat. Les parties imaginaires se détruisent, ce qui est exactement ce que la structure prévoyait.

👉 Et cette voie longue a une valeur pédagogique : elle montre pourquoi le raccourci marche, au lieu de demander qu'on le croie. À faire une fois, puis à ne plus refaire.

⚠️ Croire que le second terme est l'OPPOSÉ du premier, et conclure que la somme vaut $0$.

C'est le conjugué, pas l'opposé. L'opposé de $-\tfrac32+\tfrac72i$ serait $+\tfrac32-\tfrac72i$ ; son conjugué est $-\tfrac32-\tfrac72i$. La partie réelle est conservée, seule la partie imaginaire change de signe.

Le contrôle : la voie longue donne $-3$, pas $0$ ✗

⚠️ Confondre $z+\bar z$ et $z-\bar z$ : le premier vaut $2\,\mathrm{Re}(z)$, le second $2i\,\mathrm{Im}(z)$. Ici la différence vaudrait $7i$ — un imaginaire pur, alors que l'énoncé demande une somme.

Le repère qui ne trompe pas : une somme de conjugués est réelle, une différence est imaginaire pure. Si ton résultat est réel là où il devrait être imaginaire pur, tu as interverti.

⚠️ Réduire les deux fractions au même dénominateur $(1-i)(1+i)$ sans voir la structure. Ce n'est pas faux — c'est deux fois plus long, avec deux fois plus d'occasions de se tromper. Regarder avant de calculer est une méthode, pas un luxe.

Regarder la structure avant de calculer. Ici, reconnaître $z+\bar z$ divise le travail par deux et donne la nature du résultat à l'avance.

$z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)$ est RÉEL ; $z-\bar z=2i\,\mathrm{Im}(z)$ est IMAGINAIRE PUR. Ne pas les intervertir.

Conjugué ≠ opposé. Le conjugué garde la partie réelle.

Savoir la NATURE du résultat avant de le calculer est un contrôle : un résultat complexe là où on attendait un réel signale une faute, sans qu'on ait besoin de la chercher.

Traite chaque terme séparément (pour les quotients : multiplier par le conjugué).

Réduis $\dfrac{1+i}{2-i}$ avant d'élever au carré.

Même dénominateur 25 pour additionner.

Deux termes, deux traitements séparés, puis une addition. Rien de nouveau — mais l'ordre des opérations décide du temps qu'on y passe.

👉 Réduire la fraction AVANT de l'élever au carré. Élever d'abord donnerait $\dfrac{(1+i)^2}{(2-i)^2}$, un quotient à conjuguer ensuite — ce qui marche aussi, mais fait manipuler des nombres plus gros.

⚠️ Et il faut le dire honnêtement : les deux chemins donnent le MÊME résultat. Ce n'est pas une question de justesse mais d'économie d'erreurs. Réduire d'abord, c'est travailler sur $\tfrac{1+3i}{5}$ plutôt que sur $\tfrac{2i}{3-4i}$.

Second terme : c'est exactement l'exercice A1, déjà fait. On le réutilise.

Dénominateur : $2^2+1^2=5$.

Numérateur : $(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=2+3i-1=1+3i$.

⚠️ C'est ici qu'on perd des points : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, il y a trois termes. Oublier le double produit $6i$ donnerait $1-9=-8$ tout court, c'est-à-dire un réel — et la partie imaginaire disparaîtrait entièrement.

Le second terme, calculé en A1, vaut $-\dfrac35+\dfrac65i$. On le met sur le dénominateur $25$ pour additionner :

On additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles — jamais en mélangeant.

Identités remarquables dans $\mathbb{C}$ — elles valent toutes

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\qquad (a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

$\mathbb{C}$ est un corps commutatif : tout ce qui vaut dans $\mathbb{R}$ pour les sommes, produits et puissances y vaut encore. La seule nouveauté est $i^2=-1$.

⚠️ Ce qui ne se transporte PAS : l'ordre. Il n'y a pas de $<$ dans $\mathbb{C}$, donc pas de signe, pas de tableau de variations, pas de $\sqrt{\ }$ canonique.

Puissances de $i$, cycliques de période $4$ :

$$i^0=1\quad i^1=i\quad i^2=-1\quad i^3=-i\quad i^4=1$$

Terme à terme, sur les numérateurs — c'est le contrôle le moins cher :

✓ les deux composantes concordent

Par le module, pour attraper une faute sur le carré :

À comparer aux deux termes séparés : $\left|\tfrac{-8+6i}{25}\right|=\tfrac{10}{25}=0{,}4$ et $\left|-\tfrac35+\tfrac65i\right|\approx1{,}342$.

👉 L'inégalité triangulaire donne un contrôle immédiat : le module d'une somme est au plus la somme des modules. Ici $1{,}709\leq0{,}4+1{,}342=1{,}742$ ✓ — et de peu, ce qui est cohérent avec deux termes presque alignés.

⚠️ Un module de somme supérieur à la somme des modules serait une faute certaine, sans même savoir laquelle.

⚠️ Oublier le double produit : écrire $(1+3i)^2=1+9i^2=1-9=-8$.

On perd toute la partie imaginaire du premier terme. Le résultat final deviendrait $\tfrac{-23}{25}+\tfrac{30}{25}i$ au lieu de $\tfrac{-23+36i}{25}$.

Le contrôle : le vrai carré vaut $-8+6i$, de module $10$ ; la version fautive vaut $-8$, de module $8$. Et surtout, un carré de complexe non réel n'a aucune raison d'être réel — $(1+3i)^2$ réel serait un accident, à vérifier avant de l'accepter ✗

⚠️ Additionner sans mettre au même dénominateur : $\tfrac{-8+6i}{25}+(-\tfrac35+\tfrac65i)$ en ajoutant $-8$ et $-3$. Une fraction ne s'additionne pas à un entier terme à terme.

⚠️ Mélanger parties réelle et imaginaire dans l'addition finale : $-8+30$ au lieu de $-8-15$. Le contrôle terme à terme l'attrape en deux secondes.

Réduire avant d'élever à une puissance — même résultat, moins d'occasions de se tromper.

$(a+b)^2$ a TROIS termes. Le double produit est ce qui porte l'information imaginaire.

On additionne réel avec réel, imaginaire avec imaginaire, jamais en travers.

L'inégalité triangulaire $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$ est un contrôle gratuit : elle refuse tout résultat trop grand, sans dire lequel des deux termes est fautif.

Conjugué de $1-i\sqrt3$ ?

Dénominateur : $1^2+(\sqrt3)^2$.

Simplifie.

Même méthode qu'en A1 — mais le numérateur est un réel, ce qui simplifie tout, et le dénominateur contient un radical, ce qui ne change rien du tout.

⚠️ Le $\sqrt3$ n'est pas une difficulté supplémentaire. Dans $a-bi$, on a ici $a=1$ et $b=\sqrt3$ ; le conjugué est $1+i\sqrt3$ et le dénominateur deviendra $1^2+(\sqrt3)^2=1+3=4$. Un radical au carré redevient un entier — c'est même plus simple qu'avec un entier quelconque.

👉 Anticipons : le résultat sera de module $\dfrac{2}{2}=1$. Un complexe de module $1$, donc un point du cercle unité — on verra que ce n'est pas un hasard.

Conjugué de $1-i\sqrt3$ : c'est $1+i\sqrt3$.

Dénominateur :

⚠️ Le carré de $\sqrt3$ vaut $3$, pas $\sqrt3$ ni $9$. C'est l'étourderie du chapitre sur les radicaux.

On simplifie par $2$ avant de distribuer — moins de fractions à écrire.

⚠️ Le signe moins porte sur les DEUX parties. $-(1+i\sqrt3)$ vaut $-1-i\sqrt3$, pas $-1+i\sqrt3$.

Son module vaut $\sqrt{\tfrac14+\tfrac34}=1$, et son argument $-\dfrac{2\pi}{3}$.

C'est $j^2$, où $j=e^{2i\pi/3}$ est la racine cubique de l'unité qui reviendra tout au long du chapitre. On vérifie :

👉 Reconnaître $j$ et $j^2$ fait gagner du temps partout : ce sont les deux solutions non réelles de $z^3=1$, elles apparaissent dans les racines cubiques, les équations du troisième degré, et l'exercice B4 de ce chapitre.

Module et conjugué avec des radicaux

$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\qquad\text{donc}\qquad |1-i\sqrt3|=\sqrt{1+3}=2$$

⚠️ $b$ est le coefficient de $i$, radical compris. Dans $1-i\sqrt3$, on a $b=-\sqrt3$ et $b^2=3$.

Le module d'un quotient est le quotient des modules :

$$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$

Ici $\dfrac{|-2|}{|1-i\sqrt3|}=\dfrac{2}{2}=1$ — le résultat était prévisible avant tout calcul, et c'est le contrôle le plus rapide de l'exercice.

Par le module, comme annoncé au premier pas :

et $\dfrac{|-2|}{|1-i\sqrt3|}=\dfrac22=1$ ✓ — les deux voies concordent.

Par le produit inverse, plus complet :

✓ on retrouve le numérateur. Noter que les deux termes en $i$ se détruisent — c'est ce qui rend le résultat réel, comme il doit l'être.

⚠️ Écrire le dénominateur $1-3=-2$, en appliquant $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ sans traiter le $i$.

On trouverait $\dfrac{-2(1+i\sqrt3)}{-2}=1+i\sqrt3$ — de module $2$ au lieu de $1$, et de signe opposé sur les deux parties.

Le contrôle par le module la refuse sans calcul : le résultat doit être de module $1$ ✗

⚠️ Perdre le signe moins en simplifiant $\dfrac{-2(1+i\sqrt3)}{4}$, et écrire $\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$. Le module est correct, donc ce contrôle-là ne l'attrape pas — c'est le produit inverse qui tranche : $\big(\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}2i\big)(1-i\sqrt3)=+2$, pas $-2$ ✗

👉 Deux contrôles, deux portées. Le module attrape les erreurs de taille, le produit inverse attrape les erreurs de signe. Le module seul ne suffit pas — et c'est vrai partout dans ce chapitre.

⚠️ Écrire $(\sqrt3)^2=\sqrt3$ ou $9$. Le contrôle par le module l'attrape aussi.

Un radical au carré redevient un entier : $(\sqrt3)^2=3$. Aucune difficulté ajoutée.

Le module se calcule AVANT par $\left|\tfrac{z_1}{z_2}\right|=\tfrac{|z_1|}{|z_2|}$ : on connaît la taille du résultat avant de l'avoir.

Module et produit inverse ont des portées différentes : l'un attrape la taille, l'autre le signe. Faire les deux.

$j=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$ et $j^2=\bar j$ sont à reconnaître d'un coup d'œil : $|j|=1$, $j^3=1$, $1+j+j^2=0$.

Développe le produit du dénominateur.

Tu obtiens $5+5i$ : factorise par 5.

Termine avec le conjugué de $1+i$.

Le dénominateur est un produit, pas une somme. Deux chemins s'ouvrent, et les deux sont corrects — il faut le savoir pour ne pas croire qu'on s'est trompé.

Chemin 1 — développer d'abord. On calcule $(1+2i)(3-i)$, on obtient un seul complexe, et on applique la méthode du conjugué une fois.

Chemin 2 — conjuguer chaque facteur. On multiplie haut et bas par $(1-2i)(3+i)$, et le dénominateur devient $|1+2i|^2\times|3-i|^2=5\times10=50$.

👉 Le chemin 1 est plus court ici, parce que le produit se simplifie joliment. Mais le chemin 2 vaut d'être connu : il devient meilleur dès que les facteurs sont nombreux, puisqu'il évite de développer.

⚠️ Le $-2i^2$ devient $+2$ : deux signes moins, celui du $-i$ et celui de $i^2$.

Sortir le $5$ divise par cinq la taille des nombres à manipuler ensuite. C'est le geste qui distingue un calcul propre d'un calcul lourd.

Le module est multiplicatif

$$|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|\qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\qquad |z^n|=|z|^n$$

C'est ce qui rend le chemin 2 possible : $z\bar z=|z|^2$ appliqué à chaque facteur.

⚠️ L'argument, lui, est ADDITIF :

$$\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2\qquad \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$$

Module multiplicatif, argument additif — c'est la structure de tout le lot B, et elle commence ici.

Chemin 2, qui n'emprunte rien au chemin 1 :

✓ Même résultat, chemin indépendant. C'est le contrôle le plus fort de cet exercice : il ne rejoue pas le calcul, il en fait un autre.

Par le module : $\dfrac{1}{|1+2i|\,|3-i|}=\dfrac{1}{\sqrt5\times\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt2}{10}\approx0{,}1414$

et $\left|\tfrac1{10}-\tfrac1{10}i\right|=\tfrac{\sqrt2}{10}$ ✓

Par le produit inverse : $(5+5i)\times\dfrac{1-i}{10}=\dfrac{5-5i+5i-5i^2}{10}=\dfrac{10}{10}=1$ ✓

⚠️ Conjuguer le dénominateur SANS l'avoir développé : écrire $\dfrac{(1-2i)(3+i)}{(1+2i)(3-i)}$ et croire le dénominateur réel.

Il ne l'est pas : $(1+2i)(3-i)=5+5i$, toujours complexe. Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués — encore faut-il l'écrire au dénominateur aussi.

Le contrôle : un dénominateur réel après conjugaison, sinon la méthode n'a pas fonctionné ✗

⚠️ Oublier que $-2i^2=+2$ et écrire $(1+2i)(3-i)=3+5i-2=1+5i$.

Le contrôle par le module l'attrape : $|1+5i|=\sqrt{26}\approx5{,}10$, alors que $|1+2i|\times|3-i|=\sqrt5\times\sqrt{10}=\sqrt{50}\approx7{,}07$ ✗

👉 Le module multiplicatif est un contrôle systématique du produit : on connaît le module du résultat avant de développer, donc toute erreur de développement se voit.

⚠️ Ne pas simplifier $\dfrac{5-5i}{50}$ et rendre la réponse sous cette forme. Ce n'est pas encore la forme algébrique : il faut lire $a$ et $b$.

Développer le dénominateur d'abord quand c'est un produit — sauf s'il a beaucoup de facteurs, auquel cas conjuguer chacun devient plus rapide. Les deux chemins sont justes.

Factoriser avant de conjuguer : sortir le $5$ de $5+5i$ divise par cinq les nombres manipulés.

Module multiplicatif, argument additif. Le module donne le contrôle du produit avant tout développement.

$-2i^2=+2$ : deux signes moins. C'est l'étourderie qui coûte le plus dans ce lot.

Forme algébrique par le conjugué.

Pour le module, utilise $\left|\tfrac{z_1}{z_2}\right|=\tfrac{|z_1|}{|z_2|}$ (ne repasse pas par l'algébrique).

Vérifie la cohérence.

Deux questions, et la seconde ne doit pas se traiter comme une conséquence de la première.

La forme algébrique demande la méthode du conjugué — rien de neuf depuis A1.

Le module, lui, se calcule directement sur le quotient, sans attendre la forme algébrique :

👉 C'est tout l'intérêt de l'exercice. Repasser par la forme algébrique pour calculer le module, c'est faire dépendre un résultat simple d'un calcul compliqué : si l'on s'est trompé sur $a$ et $b$, le module sera faux aussi, et l'on ne pourra plus s'en servir comme contrôle.

Calculer le module par la propriété rend les deux résultats INDÉPENDANTS — donc mutuellement vérifiables.

Dénominateur : $1^2+2^2=5$.

Numérateur : $(2+5i)(1+2i)=2+4i+5i+10i^2=2+9i-10=-8+9i$.

⚠️ La rationalisation $\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{145}}{5}$ n'est pas obligatoire mathématiquement, mais c'est la forme attendue : pas de radical au dénominateur.

Aucune trace de $-\tfrac85$ ni de $\tfrac95$ dans ce calcul — c'est ce qui en fait un contrôle indépendant.

Maintenant, et seulement maintenant, on peut confronter les deux résultats :

✓ Identiques. Deux calculs sans aucune étape commune donnent la même valeur.

👉 C'est la structure de tout bon contrôle : deux chemins qui ne se croisent pas. Si l'on avait calculé le module depuis la forme algébrique, on n'aurait rien vérifié du tout — une erreur sur $-8$ ou $9$ se serait propagée sans se signaler.

Ordre de grandeur : $\sqrt{145}\approx12{,}04$, donc $|z|\approx2{,}41$. Et $\sqrt{29}\approx5{,}39$, $\sqrt5\approx2{,}24$ : leur quotient vaut bien $2{,}41$ ✓

Module : définition et propriétés

$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\qquad |z|^2=z\bar z\qquad |z|\geq0$$

$$|z_1z_2|=|z_1||z_2|\qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\qquad |z^n|=|z|^n\qquad |\bar z|=|z|$$

⚠️ Ce qui n'est PAS vrai :

$$|z_1+z_2|\neq|z_1|+|z_2|\quad\text{en général}$$

On a seulement l'inégalité triangulaire $|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$, avec égalité uniquement si les deux ont le même argument (ou si l'un d'eux est nul).

Le module se comporte bien avec ×, ÷ et les puissances ; mal avec + et −. C'est la règle qui décide quand on peut l'utiliser comme raccourci.

⚠️ Calculer le module en additionnant les parties : $|z|=-\tfrac85+\tfrac95=\tfrac15$.

Un module est une distance à l'origine, donc une racine de somme de carrés — jamais une somme algébrique. La version fautive donne $0{,}2$ au lieu de $2{,}41$, et elle pourrait même donner un nombre négatif, ce qu'aucun module ne peut valoir ✗

⚠️ Croire que $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$. Faux dès que les deux complexes ne pointent pas dans la même direction. Contre-exemple d'une ligne : $|1+(-1)|=0$ alors que $|1|+|-1|=2$.

⚠️ Oublier de rationaliser et rendre $\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt5}$. Ce n'est pas faux, c'est incomplet — et cela masque que $\sqrt{29}/\sqrt5$ et $\sqrt{145}/5$ sont le même nombre, ce qui rend le recoupement moins lisible.

⚠️ Calculer le module DEPUIS la forme algébrique, puis annoncer qu'on a vérifié. On n'a rien vérifié : les deux calculs partagent alors leurs erreurs. Un contrôle qui repart du résultat à contrôler n'est pas un contrôle.

Le module d'un quotient se calcule SANS passer par la forme algébrique. C'est plus rapide, et surtout cela rend les deux résultats indépendants.

Un bon contrôle emprunte un chemin disjoint. Recalculer le module depuis la forme algébrique ne vérifie rien.

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, jamais $a+b$. Un module est positif ou nul, toujours.

Le module se comporte bien avec × et ÷, mal avec + et − — on n'a que l'inégalité triangulaire.

Calcule d'abord le module $r=|z|$.

Factorise $z$ par $r$ pour lire $\cos\theta$ et $\sin\theta$.

Quel angle a $\cos\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=\tfrac12$ ?

La forme exponentielle ne remplace pas la forme algébrique : elle sert à autre chose.

👉 Savoir cela avant de commencer est ce qui rend le lot B rapide : dès qu'un exercice demande une grande puissance ou un quotient de puissances, on passe en exponentielle sans hésiter.

La méthode, en deux temps : d'abord le module $r$, ensuite l'angle $\theta$ — et jamais dans l'autre sens, parce que c'est en factorisant par $r$ qu'on fait apparaître le cosinus et le sinus.

⚠️ $(\sqrt3)^2=3$, pas $\sqrt3$. Et le module vaut $2$, pas $4$ : on prend la racine de la somme des carrés.

C'est le geste qui fait apparaître l'angle. On met $r$ en facteur :

Et l'on identifie avec $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ :

👉 Il faut les DEUX. Le cosinus seul laisserait deux angles possibles ($\pm\tfrac\pi6$), le sinus seul aussi. C'est leur conjonction qui détermine $\theta$ sans ambiguïté — et c'est pour cette raison qu'on ne passe pas par $\arctan$.

$\cos\theta>0$ et $\sin\theta>0$ : premier quadrant. Et les valeurs $\tfrac{\sqrt3}{2}$ et $\tfrac12$ sont celles du triangle de référence :

Le tableau des valeurs remarquables, à savoir de mémoire :