Exercices corrigés — Nombres complexes

Pour un quotient, multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Conjugué de $3-4i$ ?

Au dénominateur, $(3-4i)(3+4i)=3^2+4^2$ (réel).

$\dfrac{(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}$.

$(3-4i)(3+4i)=9+16=25$.

$(3+6i)(3+4i)=9+30i+24i^2=-15+30i$.

$\dfrac{-15+30i}{25}=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i$.

Quel lien entre les deux termes ?

Le second est le conjugué du premier ; or $z+\bar z=2\Re(z)$.

Calcule la partie réelle du premier terme, puis double.

La somme vaut $2\Re\!\left(\dfrac{2+5i}{1-i}\right)$.

$\dfrac{(2+5i)(1+i)}{2}=\dfrac{-3+7i}{2}$.

$\Re=-\dfrac{3}{2}$.

Somme $=2\times(-\tfrac32)=-3$.

Traite chaque terme séparément (pour les quotients : multiplier par le conjugué).

Réduis $\dfrac{1+i}{2-i}$ avant d'élever au carré.

Même dénominateur 25 pour additionner.

$\dfrac{1+i}{2-i}=\dfrac{(1+i)(2+i)}{5}=\dfrac{1+3i}{5}$.

$\left(\dfrac{1+3i}{5}\right)^2=\dfrac{-8+6i}{25}$.

$-\dfrac35+\dfrac65i=\dfrac{-15+30i}{25}$.

$\dfrac{-8+6i}{25}+\dfrac{-15+30i}{25}=\dfrac{-23+36i}{25}$.

Conjugué de $1-i\sqrt3$ ?

Dénominateur : $1^2+(\sqrt3)^2$.

Simplifie.

$\dfrac{-2(1+i\sqrt3)}{(1-i\sqrt3)(1+i\sqrt3)}$.

$1+3=4$.

$\dfrac{-2(1+i\sqrt3)}{4}=\dfrac{-(1+i\sqrt3)}{2}$.

$-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i$.

Développe le produit du dénominateur.

Tu obtiens $5+5i$ : factorise par 5.

Termine avec le conjugué de $1+i$.

$(1+2i)(3-i)=5+5i$.

$\dfrac{1}{5+5i}=\dfrac{1}{5(1+i)}$.

$\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1-i}{2}=\dfrac{1-i}{10}$.

$\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{10}i$.

Forme algébrique par le conjugué.

Pour le module, utilise $\left|\tfrac{z_1}{z_2}\right|=\tfrac{|z_1|}{|z_2|}$ (ne repasse pas par l'algébrique).

Vérifie la cohérence.

$z=\dfrac{(2+5i)(1+2i)}{5}=\dfrac{-8+9i}{5}=-\dfrac85+\dfrac95i$.

$|z|=\dfrac{|2+5i|}{|1-2i|}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{145}}{5}$.

$\dfrac{\sqrt{(-8)^2+9^2}}{5}=\dfrac{\sqrt{145}}{5}$ ✓.

Calcule d'abord le module $r=|z|$.

Factorise $z$ par $r$ pour lire $\cos\theta$ et $\sin\theta$.

Quel angle a $\cos\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=\tfrac12$ ?

$r=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=2$.

$z=2\left(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac12 i\right)$.

1er quadrant : $\theta=\tfrac{\pi}{6}$.

$z=2\,e^{i\pi/6}$.

Module d'abord.

$\cos\theta$ et $\sin\theta$ tous deux négatifs : quel quadrant ?

La calculatrice donnerait $\tfrac{\pi}{3}$ : ajuste au quadrant.

$r=\sqrt{1+3}=2$.

$\cos\theta=-\tfrac12$, $\sin\theta=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ → 3e quadrant.

$\theta=\pi+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{4\pi}{3}$.

$z=2\,e^{i\,4\pi/3}$.

Numérateur et dénominateur en forme expo.

Module = quotient des modules ; argument = différence des arguments.

Pour $z^{32}$ : de Moivre, puis réduis modulo $2\pi$.

$1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$, $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$.

$z=e^{i\pi/2}=i$, donc $|z|=1$, $\arg z=\tfrac{\pi}{2}$.

$z^{32}=e^{i\,16\pi}$.

$16\pi\equiv0\;[2\pi]$, donc $z^{32}=1$.

Reconnais la base : module ? argument ?

Module 1 — c'est un $e^{i\theta}$ pur.

Après de Moivre, réduis $2000\theta$ modulo $2\pi$.

Module 1, $\theta=\tfrac{\pi}{3}$ : base $=e^{i\pi/3}$.

$\left(e^{i\pi/3}\right)^{2000}=e^{i\,2000\pi/3}$.

$\tfrac{2000\pi}{3}=666\pi+\tfrac{2\pi}{3}\equiv\tfrac{2\pi}{3}\;[2\pi]$.

$e^{i\,2\pi/3}=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$.

Forme expo de chaque facteur avant les puissances.

$1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$, $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$.

Sépare modules et arguments.

Num. $(\sqrt2)^9 e^{i\,9\pi/4}$, dén. $(\sqrt2)^7 e^{-i\,7\pi/4}$.

$(\sqrt2)^2=2$.

$\tfrac{9\pi}{4}+\tfrac{7\pi}{4}=4\pi\equiv0$.

$z=2$.

Forme expo de chacun.

$\tfrac{a_1}{a_2}$ fait apparaître l'argument $\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{12}$.

Calcule $\tfrac{a_1}{a_2}$ aussi en algébrique, puis identifie.

$a_1=2\,e^{i\pi/3}$, $a_2=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$.

$\tfrac{a_1}{a_2}=\sqrt2\,e^{i\pi/12}=\sqrt2(\cos\tfrac{\pi}{12}+i\sin\tfrac{\pi}{12})$.

$\tfrac{1+i\sqrt3}{1+i}=\tfrac{(1+\sqrt3)+i(\sqrt3-1)}{2}$.

$\cos\tfrac{\pi}{12}=\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$, $\sin\tfrac{\pi}{12}=\tfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.

Multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Conjugué de $2+i$ ?

Au dénominateur, $(2+i)(2-i)=2^2+1^2$ (réel).

$\dfrac{(4+3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$.

$(2+i)(2-i)=4+1=5$.

$(4+3i)(2-i)=8-4i+6i-3i^2=11+2i$.

$\dfrac{11+2i}{5}=\dfrac{11}{5}+\dfrac{2}{5}i$.

Forme algébrique par le conjugué du dénominateur.

Pour le module, utilise $\left|\tfrac{z_1}{z_2}\right|=\tfrac{|z_1|}{|z_2|}$ (sans repasser par l'algébrique).

Compare les deux résultats.

$z=\dfrac{(5-i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\dfrac{(5-i)(2+3i)}{13}$.

$(5-i)(2+3i)=10+15i-2i-3i^2=13+13i$.

$z=\dfrac{13+13i}{13}=1+i$.

$|z|=\dfrac{|5-i|}{|2-3i|}=\dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{13}}=\sqrt2$.

Calcule d'abord le module $r=|z|$.

Factorise $z$ par $r$ pour lire $\cos\theta$ et $\sin\theta$.

$\cos\theta$ négatif et $\sin\theta$ positif : quel quadrant ?

$r=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$.

$z=2\sqrt2\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}i\right)$.

$\cos\theta=-\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin\theta=\tfrac{\sqrt2}{2}$ → 2e quadrant : $\theta=\tfrac{3\pi}{4}$.

$z=2\sqrt2\,e^{i\,3\pi/4}$.

Module d'abord, puis quadrant pour l'argument.

$\cos\theta$ négatif, $\sin\theta$ positif : 2e quadrant.

Pour $z^5$ : de Moivre, puis réduis l'argument modulo $2\pi$.

$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2$.

$\cos\theta=-\tfrac12$, $\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}$ → 2e quadrant : $\theta=\tfrac{2\pi}{3}$, donc $z=2\,e^{i\,2\pi/3}$.

$z^5=2^5\,e^{i\,10\pi/3}=32\,e^{i\,10\pi/3}$.

$\tfrac{10\pi}{3}=2\pi+\tfrac{4\pi}{3}\equiv\tfrac{4\pi}{3}\;[2\pi]$.

$z^5=32\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\right)=-16-16\sqrt3\,i$.

Mets d'abord $2-2i$ en forme exponentielle.

$2-2i=2\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$.

De Moivre, puis réduis l'argument modulo $2\pi$.

$|2-2i|=2\sqrt2$ et $\arg(2-2i)=-\tfrac{\pi}{4}$ : $2-2i=2\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$.

$z=(2\sqrt2)^6\,e^{-i\,6\pi/4}=512\,e^{-i\,3\pi/2}$.

$-\tfrac{3\pi}{2}\equiv\tfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.

$z=512\,e^{i\pi/2}=512\,i$.

Forme expo de chacun.

Le produit $b_1b_2$ fait apparaître l'argument $\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{12}$.

Calcule $b_1b_2$ aussi en algébrique, puis identifie parties réelle et imaginaire.

$b_1=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$, $b_2=2\,e^{i\pi/6}$.

$b_1b_2=2\sqrt2\,e^{i\,5\pi/12}=2\sqrt2\left(\cos\tfrac{5\pi}{12}+i\sin\tfrac{5\pi}{12}\right)$.

$(1+i)(\sqrt3+i)=(\sqrt3-1)+i(\sqrt3+1)$.

$\cos\tfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, $\sin\tfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.