Analyse complexe

Analyse complexe — holomorphie, Cauchy

Idée. Une fonction de la variable complexe $f(z)$ est holomorphe si elle est dérivable au sens complexe. C'est une condition bien plus forte qu'en réel : elle se lit sur les parties réelle et imaginaire via les conditions de Cauchy-Riemann, et elle force $f$ à être analytique. De là découle toute la mécanique du calcul complexe : une intégrale sur un chemin fermé ne dépend que des singularités enfermées (formule de Cauchy, puis théorème des résidus en approfondissement).

A. Dérivabilité complexe & holomorphie

$f$ est dérivable en $z_0$ si $\displaystyle f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$ existe, avec $h\in\mathbb C$ : la limite doit être la même quelle que soit la direction d'approche. $f$ est holomorphe sur un ouvert $U$ si elle est dérivable en tout point de $U$ . Holomorphe sur $\mathbb C$ entier $\Rightarrow$ entière (polynômes, $e^z$ , $\cos z$ , $\sin z$ ).

B. Conditions de Cauchy-Riemann

On pose $z=x+iy$ et $f(z)=P(x,y)+i\,Q(x,y)$ avec $P=\operatorname{Re}f$ , $Q=\operatorname{Im}f$ . Alors $f$ est holomorphe si et seulement si $P,Q$ sont $C^1$ et

\boxed{\ \dfrac{\partial P}{\partial x}=\dfrac{\partial Q}{\partial y}\qquad\text{et}\qquad\dfrac{\partial P}{\partial y}=-\dfrac{\partial Q}{\partial x}\ }

La dérivée vaut alors

f'(z)=\dfrac{\partial P}{\partial x}+i\,\dfrac{\partial Q}{\partial x}

Exemple. $f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$ : $P_x=2x=Q_y$ et $P_y=-2y=-Q_x$ ✓ → holomorphe partout, $f'=2x+i\,2y=2z$ . À l'inverse $\overline z=x-iy$ donne $P_x=1\neq Q_y=-1$ : holomorphe nulle part.

Conséquence (fonctions harmoniques). Si $f=P+iQ$ est holomorphe, $P$ et $Q$ sont harmoniques : $\Delta P=P_{xx}+P_{yy}=0$ . À partir d'un $P$ harmonique on reconstruit $Q$ (la conjuguée harmonique) par les équations de Cauchy-Riemann.

C. Fonctions élémentaires complexes

Exponentielle : $e^z=e^{x}\,(\cos y+i\sin y)$ , entière, $(e^z)'=e^z$ , $2i\pi$ -périodique.
Logarithme principal : $\operatorname{Log} z=\ln|z|+i\,\arg z$ avec $\arg z\in\,]-\pi,\pi]$ (inverse de $e^z$ sur $\mathbb C\setminus\mathbb R_-$ ). Ex. $\operatorname{Log}(-1)=i\pi$ , $\operatorname{Log}(i)=i\tfrac\pi2$ , $\operatorname{Log}(1+i)=\tfrac12\ln2+i\tfrac\pi4$ .
Puissances : $z^a=e^{a\operatorname{Log} z}$ . Surprise : $i^{\,i}=e^{i\operatorname{Log} i}=e^{i\cdot i\pi/2}=e^{-\pi/2}$ est réel !

D. Intégrale curviligne

Pour un chemin $\gamma$ paramétré par $z(t)$ , $t\in[a,b]$ :

\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.

Résultat fondamental (par

z=e^{i\theta}

sur le cercle unité) :

\oint_{|z|=1} z^{\,n}\,dz=\begin{cases}2i\pi & \text{si }n=-1,\\[2pt]0 & \text{si }n\in\mathbb Z,\ n\neq-1.\end{cases}

Le terme

\dfrac1z

est le seul qui laisse une trace après un tour : c'est la graine du résidu.

E. Primitives & indépendance du chemin

Si $f$ admet une primitive holomorphe $F$ ( $F'=f$ ) sur un ouvert, alors $\displaystyle\int_\gamma f\,dz=F(\text{fin})-F(\text{début})$ : l'intégrale ne dépend que des extrémités, et $\displaystyle\oint_\gamma f\,dz=0$ sur tout chemin fermé. Ex. $\displaystyle\int_\gamma z^2\,dz$ de $0$ à $1+i$ vaut $\big[\tfrac{z^3}3\big]=\tfrac{(1+i)^3}3=\tfrac{-2+2i}3$ , indépendamment du chemin.

F. Formule intégrale de Cauchy

Si $f$ est holomorphe sur et à l'intérieur d'un contour fermé simple $\gamma$ (orienté positivement) et $a$ est à l'intérieur :

\boxed{\ f(a)=\frac1{2i\pi}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz\ }\qquad\text{et}\qquad f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2i\pi}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz.

Une fonction holomorphe est donc déterminée à l'intérieur par ses valeurs au bord. Ex.

\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz=2i\pi\,e^{1}=2i\pi e