Séries entières

Séries entières — rayon, DSE, opérations

Idée. Une série entière $\sum a_n x^n$ est un « polynôme infini ». Elle converge sur un intervalle (ou disque) de rayon $R$ , où elle définit une fonction $C^\infty$ qu'on peut dériver et intégrer terme à terme. Réciproquement, la plupart des fonctions usuelles sont des séries entières (leur DSE) — c'est le prolongement exact du développement limité : le DL est la troncature de la série entière.

A. Définition & rayon de convergence

Pour $\displaystyle\sum_{n\ge0} a_n x^n$ , il existe un unique $R\in[0,+\infty]$ , le rayon de convergence, tel que la série

converge absolument pour $|x|<R$ ,
diverge pour $|x|>R$ .

$]-R,R[$ est l'intervalle ouvert de convergence, où la série définit sa somme $S(x)=\sum a_n x^n$ .

B. Calcul du rayon

Règle de d'Alembert : si $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to\ell$ , alors $R=\dfrac1\ell$ , c'est-à-dire $R=\displaystyle\lim\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ .
Règle de Cauchy (racine $n$ -ième) : si $|a_n|^{1/n}\to\ell$ , alors $R=\dfrac1\ell$ (formule de Cauchy-Hadamard : $\dfrac1R=\limsup|a_n|^{1/n}$ ).

Plan complexe portant le disque de convergence de rayon un centre a l'origine, les deux valeurs i et moins i marquees sur son bord comme points interdits, et l'intervalle reel de convergence trace sur l'axe horizontal. — Pourquoi le rayon vaut $1$ alors que rien ne cloche sur $\mathbb{R}$ . La fonction $\dfrac1{1+x^2}$ est définie et indéfiniment dérivable sur **toute** la droite réelle ( $1+x^2$ n'a aucune racine réelle), et pourtant sa série $1-x^2+x^4-x^6+\cdots$ diverge dès $\lvert x\rvert>1$ . La raison n'est pas sur la droite mais dans le plan : $1+z^2$ s'annule en $\pm i$ , à distance $1$ de l'origine, et le disque de convergence bute exactement dessus.

C. Comportement aux bornes

En $x=\pm R$ , tout peut arriver (convergence ou divergence) : à étudier au cas par cas. Ex. $\sum\dfrac{x^n}{n}$ a $R=1$ , diverge en $x=1$ (série harmonique) mais converge en $x=-1$ (série alternée) → intervalle de convergence $[-1,1[$ .

D. Séries entières usuelles (DSE)

Fonction	DSE	$R$
$e^x$	$\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^n}{n!}$	$+\infty$
$\cos x$	$\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$+\infty$
$\sin x$	$\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$+\infty$
$\dfrac1{1-x}$	$\displaystyle\sum_{n\ge0}x^n$	$1$
$\ln(1+x)$	$\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$	$1$
$(1+x)^\alpha$	$\displaystyle\sum_{n\ge0}\binom{\alpha}{n}x^n$ , $\binom{\alpha}{n}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$	$1$ ( $+\infty$ si $\alpha\in\mathbb N$ )
$\arctan x$	$\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$	$1$

E. Opérations

Sur l'intervalle de convergence, somme et produit de Cauchy restent des séries entières. Surtout, $S$ est dérivable et

S'(x)=\sum_{n\ge1} n\,a_n x^{n-1},\qquad \int_0^x S(t)\,dt=\sum_{n\ge0}\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1},

avec le même rayon $R$ : on dérive et intègre terme à terme. Ex. en dérivant

\dfrac1{1-x}=\sum x^n

\dfrac1{(1-x)^2}=\sum_{n\ge0}(n+1)x^n

F. Lien avec les développements limités

La somme d'une série entière admet en $0$ un DL à tout ordre : c'est la troncature $\sum_{k=0}^N a_k x^k+o(x^N)$ . Le DSE est donc le DL « poussé à l'infini », valable comme égalité exacte sur $]-R,R[$ .