Transformée en z

Transformée en z — socle

Idée. La transformée en z est à l'échantillonné (signal discret $x[n]$ , suites) ce que Laplace est au continu. Elle transforme le retard d'un échantillon en multiplication par $z^{-1}$ : résoudre une équation récurrente devient résoudre une équation algébrique. C'est l'outil de base du traitement du signal numérique, des filtres discrets et de l'automatique échantillonnée.

A. Définition

On travaille avec des signaux discrets causaux : $x[n]=0$ pour $n<0$ . L'échelon unité discret est $u[n]=1$ pour $n\ge0$ (et $0$ sinon). La transformée en z (unilatérale) de la suite $(x[n])$ est

X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{+\infty} x[n]\,z^{-n},

définie pour

|z|

assez grand. C'est une série géométrique déguisée : la plupart des transformées s'en déduisent.

B. Transformées usuelles (à connaître)

$x[n]$ (causal)	$X(z)$
$\delta[n]$ (impulsion)	$1$
$\delta[n-k]$	$z^{-k}$
$u[n]$ (échelon)	$\dfrac{z}{z-1}=\dfrac1{1-z^{-1}}$
$a^n$	$\dfrac{z}{z-a}$
$n$ (rampe)	$\dfrac{z}{(z-1)^2}$
$n^2$	$\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$
$n\,a^n$	$\dfrac{az}{(z-a)^2}$
$\cos(\omega n)$	$\dfrac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z\cos\omega+1}$
$\sin(\omega n)$	$\dfrac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}$

Échelon par la série géométrique.
$\displaystyle\sum_{n\ge0}1\cdot z^{-n}=\sum_{n\ge0}\Big(\tfrac1z\Big)^n=\dfrac1{1-1/z}=\dfrac z{z-1}$
(pour $|z|>1$ ). De même $\mathcal{Z}\{a^n\}=\displaystyle\sum_{n\ge0}\Big(\tfrac az\Big)^n=\dfrac z{z-a}$ (pour $|z|>|a|$ ).

Deux diagrammes en batons d'un signal discret : l'echelon unite valant un pour tout n, et la suite geometrique un demi puissance n qui decroit vers zero ; ils illustrent les transformees z sur z moins un et z sur z moins un demi. — Signaux discrets usuels (diagrammes en bâtons) : l'échelon $u[n]=1$ (constant) et la suite géométrique amortie $\left(\tfrac12\right)^n$ , qui tend vers $0$ car $|\tfrac12|<1$ .

C. Linéarité

\mathcal{Z}\{\alpha x[n]+\beta y[n]\}=\alpha X(z)+\beta Y(z).

D. Théorème du retard

Pour un signal causal décalé de $k$ échantillons,

\mathcal{Z}\{x[n-k]\,u[n-k]\}=z^{-k}\,X(z).

Un retard d'un échantillon

\Leftrightarrow

une multiplication par

z^{-1}

. C'est l'analogue discret du facteur

e^{-\tau p}

de Laplace.

E. Théorème de l'avance (pour les récurrences)

\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=z\,X(z)-z\,x[0],\qquad \mathcal{Z}\{x[n+2]\}=z^2X(z)-z^2x[0]-z\,x[1].

Ce sont ces formules qui injectent les conditions initiales d'une suite et linéarisent les équations récurrentes (exactement comme le théorème de la dérivation pour Laplace).

F. Stabilité (lecture des pôles)

Les pôles de $X(z)$ (racines du dénominateur) gouvernent le comportement de $x[n]$ : un pôle réel $a$ donne un terme $a^n$ , qui tend vers $0$ si $|a|<1$ (pôle dans le disque unité), reste borné si $|a|=1$ , et diverge si $|a|>1$ .