Analyse vectorielle

Analyse vectorielle — intégrales triples, circulation, Green

Idée. On prolonge le calcul intégral à l'espace et aux champs de vecteurs. Une intégrale triple mesure un volume, une masse, une charge ; une intégrale curviligne mesure le travail d'une force le long d'un chemin (sa circulation). Fil conducteur du chapitre : relier une intégrale sur un bord à une intégrale sur l'intérieur — c'est la formule de Green-Riemann dans le plan (puis Ostrogradski et Stokes en approfondissement).

A. Intégrale triple

Sur un domaine $V\subset\mathbb R^3$ : $\displaystyle\iiint_V f(x,y,z)\,dV$ . Pour $f=1$ on obtient le volume ; avec une densité $\rho$ , la masse $\iiint_V\rho\,dV$ . Théorème de Fubini : sur un domaine décrit par $a\le x\le b$ , $g_1(x)\le y\le g_2(x)$ , $h_1(x,y)\le z\le h_2(x,y)$ ,

\iiint_V f\,dV=\int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\!\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f\,dz\,dy\,dx.

On intègre de l'intérieur vers l'extérieur ; l'ordre peut être changé (avec les bonnes bornes), ce qui sert souvent à simplifier.

Exemple. Tétraèdre $x,y,z\ge0$ , $x+y+z\le1$ : $\displaystyle\iiint_V dV=\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y}dz\,dy\,dx=\tfrac16$ .

B. Coordonnées cylindriques & sphériques

Le jacobien introduit un facteur dans $dV$ :

cylindriques $(r,\theta,z)$ : $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , $z=z$ → $\boxed{\,dV=r\,dr\,d\theta\,dz\,}$ ;
sphériques $(r,\theta,\varphi)$ avec $\varphi$ = angle depuis l'axe $z$ : $z=r\cos\varphi$ , $x=r\sin\varphi\cos\theta$ , $y=r\sin\varphi\sin\theta$ → $\boxed{\,dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\,}$ .

Exemple. Volume de la boule de rayon $R$ :
$\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^{R} r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta=\tfrac43\pi R^3.$

C. Champ de vecteurs, intégrale curviligne & circulation

Un champ de vecteurs associe à chaque point un vecteur $\vec F=(P,Q)$ dans le plan, $(P,Q,R)$ dans l'espace. Le long d'un chemin $\gamma$ paramétré par $\vec r(t)$ , $t\in[a,b]$ , la circulation (travail) de $\vec F$ est

\int_\gamma \vec F\cdot d\vec r=\int_a^b \vec F\big(\vec r(t)\big)\cdot \vec r\,'(t)\,dt=\int_\gamma P\,dx+Q\,dy.

Pour un champ scalaire

g

, l'intégrale curviligne

\int_\gamma g\,ds

utilise l'abscisse curviligne

ds=\|\vec r\,'(t)\|\,dt

Plan muni d'un champ de vecteurs en rotation autour de l'origine (fleches tangentes a des cercles concentriques) et d'une courbe fermee orientee dans le sens trigonometrique ; illustration de la circulation d'un champ le long d'une courbe. — Circulation d'un champ de vecteurs le long d'une courbe orientée : le champ tourbillonnaire $\vec F=(-y,x)$ et le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique. La circulation $\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r$ accumule la composante de $\vec F$ tangente au chemin ; ici elle vaut $2\pi$ (le champ « pousse » partout dans le sens du parcours).

D. Champ de gradient & potentiel

$\vec F$ dérive d'un potentiel $f$ si $\vec F=\vec\nabla f$ . Alors la circulation ne dépend que des extrémités :

\int_\gamma \vec\nabla f\cdot d\vec r=f(\text{fin})-f(\text{début}),

et elle est nulle sur tout chemin fermé : le champ est dit conservatif. Dans le plan, une condition nécessaire est

\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}

(sur un domaine simplement connexe, elle est aussi suffisante).

Exemple. $\vec F=(2xy,\;x^2+1)$ : $P_y=2x=Q_x$ , potentiel $f=x^2y+y$ . Circulation de $(0,0)$ à $(1,2)$ : $f(1,2)-f(0,0)=4$ , quel que soit le chemin.

E. Formule de Green-Riemann

Pour un domaine plan $D$ borné par une courbe fermée simple $\partial D$ orientée dans le sens trigonométrique :

\boxed{\ \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,dA\ }

Une intégrale sur le bord = une intégrale sur l'intérieur. Cas particulier (aire), avec

P=-y

Q=x

\text{Aire}(D)=\frac12\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx).