Dérivation & étude de fonctions

Dérivation — socle

Nombre dérivé. Le nombre dérivé de $f$ en $a$ est la limite du taux d'accroissement :

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Géométriquement,

f'(a)

est le coefficient directeur de la tangente à

\mathcal{C}_f

au point d'abscisse

a

Courbe et tangente au point A ; la pente de la tangente vaut le nombre derive f'(a). — Tangente au point $A$ : sa pente vaut le nombre dérivé $f'(a)$ .

Équation de la tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Exemple. $f(x)=x^2$ en $a=1$ : $f'(1)=2$ et $f(1)=1$ , donc la tangente est $y=2(x-1)+1=2x-1$ .

Exemple (composée). $\big(e^{-x^2}\big)'=-2x\,e^{-x^2}$ .

Dérivées usuelles.

(x^n)'=nx^{n-1},\quad \left(\tfrac1x\right)'=-\tfrac1{x^2},\quad (\sqrt x)'=\tfrac1{2\sqrt x},\quad (e^x)'=e^x,\quad (\ln x)'=\tfrac1x,

(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x.

Opérations.

(u+v)'=u'+v',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\tfrac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.

Exemple (produit). $\big(x^2 e^x\big)'=2x\,e^x+x^2 e^x=(x^2+2x)\,e^x$ .

Exemple (quotient). $\left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Composée (dériver de l'extérieur vers l'intérieur) :

(v\circ u)'=u'\cdot(v'\circ u),\quad\text{cas usuels : }(e^u)'=u'e^u,\ (\ln u)'=\tfrac{u'}{u},\ (\sqrt u)'=\tfrac{u'}{2\sqrt u}.

Exemple (composée). $\big(\ln(x^2+1)\big)'=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Exemple (composée). $\big(\sin(2x)\big)'=2\cos(2x)$ .

Étude de fonction. Sur un intervalle $I$ , le signe de $f'$ donne le sens de variation : $f'>0$ sur $I\Rightarrow f$ croissante sur $I$ , $f'<0$ sur $I\Rightarrow f$ décroissante sur $I$ . Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local en $a$ (s'annuler ne suffit pas : $x^3$ en $0$ ).

Lien entre le signe de la derivee et le sens de variation : f decroit quand f' est negatif, croit quand f' est positif, extremum la ou f' s'annule. — Lien entre le signe de $f'$ et le sens de variation de $f$ .

Dérivation — socle

Dans le palier approfondissement (Pro) : Dérivation — limites, composées abstraites, études complètes

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