Réduction de Jordan

Réduction de Jordan : sous-espaces caractéristiques, blocs, polynôme minimal

Idée. Tout endomorphisme n'est pas diagonalisable. La réduction de Jordan donne la forme la plus simple possible quand le polynôme caractéristique est scindé : une matrice bloc-diagonale de blocs de Jordan, qui mesure exactement le « défaut » de diagonalisabilité.

Note (L2/L3, calculatoire). Tout est vérifié machine (_verif_jordan.py : jordan_form, polynômes caractéristique/minimal, tailles de blocs par les rangs, Dunford, $A^n$ , $e^{tA}$ ).

A. Sous-espaces propres, caractéristiques, endomorphismes nilpotents

Soit $u\in\mathcal{L}(V)$ , $\lambda$ valeur propre.

Sous-espace propre $E_\lambda=\ker(u-\lambda\,\mathrm{id})$ , de dimension la multiplicité géométrique $g_\lambda$ .
Sous-espace caractéristique $N_\lambda=\ker(u-\lambda\,\mathrm{id})^{m_\lambda}$ où $m_\lambda$ est la multiplicité algébrique (ordre de $\lambda$ dans $\chi_u$ ) ; $\dim N_\lambda=m_\lambda$ .
$\boxed{1\leq g_\lambda\leq m_\lambda,\qquad u\text{ diagonalisable}\iff g_\lambda=m_\lambda\ \forall\lambda.}$
Un bloc de Jordan $J_k(\lambda)=\lambda I_k+N$ a $\lambda$ sur la diagonale, des $1$ sur la surdiagonale ; $N=J_k(\lambda)-\lambda I$ est nilpotent d'indice $k$ ( $N^{k}=0$ , $N^{k-1}\neq0$ ) et $J_k(\lambda)$ n'a qu'une seule droite propre.

Carre unite et ses images successives par une matrice de cisaillement : le carre devient une suite de parallelogrammes de plus en plus inclines mais tous de meme aire, et seule la direction horizontale reste invariante. — Ce qu'un bloc non diagonalisable **fait** au plan. $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $(\lambda-1)^2$ : multiplicité algébrique $2$ , mais géométrique $1$ — une **seule** droite propre, dirigée par $(1,0)$ . Son action n'est donc pas une dilatation selon deux axes mais un **glissement** : $\det J=1$ , l'aire est conservée, et $J^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ , croissance **linéaire** en $n$ et non exponentielle. Voilà la raison géométrique de la non-diagonalisabilité.

B. Polynômes caractéristique et minimal, lemme des noyaux

$\chi_u=\prod_\lambda(X-\lambda)^{m_\lambda}$ (degré $\dim V$ ) ; le polynôme minimal $\mu_u$ est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant $u$ :

\boxed{\mu_u=\prod_\lambda(X-\lambda)^{c_\lambda},\quad c_\lambda=\text{taille du PLUS GRAND bloc de }\lambda,\qquad \mu_u\mid\chi_u.}

\mu_u

\chi_u

ont les mêmes racines (les valeurs propres) ;

u

est diagonalisable

\iff\mu_u

est scindé à racines simples (

c_\lambda=1

partout).

Lemme des noyaux. Si $P=P_1\cdots P_r$ avec les $P_i$ premiers entre eux deux à deux et $P(u)=0$ , alors

\boxed{V=\bigoplus_{i=1}^{r}\ker P_i(u).}

Appliqué à

\mu_u=\prod(X-\lambda)^{c_\lambda}

V=\bigoplus_\lambda N_\lambda

(décomposition en sous-espaces caractéristiques) — c'est la première étape de la réduction.

E. Existence et réduction

Si $\chi_u$ est scindé, sur chaque $N_\lambda$ l'endomorphisme $u-\lambda\,\mathrm{id}$ est nilpotent ; toute application nilpotente se décompose en blocs $J_k(0)$ (construction par chaînes de Jordan, cf. exercice A6), d'où :

\boxed{\textbf{Théorème de Jordan : } \exists P\text{ inversible},\quad A=PJP^{-1},\quad J=\bigoplus_{\lambda,i}J_{k_{\lambda,i}}(\lambda),}

unique à l'ordre des blocs près. On lit le nombre et la taille des blocs sur les rangs : pour

r_j=\operatorname{rg}(A-\lambda I)^j

\text{nb de blocs de }\lambda=\dim\ker(A-\lambda I)=n-r_1,\qquad \text{nb de blocs de taille}\geq j=r_{j-1}-r_j.

À gauche la matrice d'un bloc de Jordan 4x4 J_k(λ) avec λ sur la diagonale et des 1 sur la surdiagonale ; à droite la chaîne de Jordan des vecteurs de base e_4 → e_3 → e_2 → e_1 → 0 reliés par des flèches étiquetées (A−λI), montrant que seul e_1 est vecteur propre et que (A−λI) décale la chaîne. — **Structure d'un bloc de Jordan $J_k(\lambda)$ .** La matrice a $\lambda$ sur la diagonale et des $1$ sur la **surdiagonale**. La base $(e_1,\dots,e_k)$ forme une **chaîne de Jordan** : $(A-\lambda I)$ envoie $e_{j}\mapsto e_{j-1}$ et $e_1\mapsto0$ (seul $e_1$ est vecteur propre). L'endomorphisme $N=A-\lambda I$ est **nilpotent d'indice $k$** ( $N^k=0$ , $N^{k-1}\neq0$ ) : le bloc mesure le défaut de diagonalisabilité.

Exemple. $A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&-1\\0&0&2\end{pmatrix}$ : $\chi_A=(X-2)^3$ , $g_2=\dim\ker(A-2I)=1$ → un seul bloc $J_3(2)$ ; $\mu_A=(X-2)^3$ . Au contraire $\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}=J_2(2)\oplus J_1(2)$ : $\chi=(X-2)^3$ mais $\mu=(X-2)^2$ (deux blocs).