Intégrales & primitives

Intégrales & primitives — socle

Primitive. $F$ est une primitive de $f$ si $F'=f$ . Sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : on note $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ .

Primitives usuelles.

\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1),\quad \int\frac1x\,dx=\ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx=e^x+C,

\int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x+C.

Exemple. $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^1=\tfrac13$ .

Exemple. $\displaystyle\int_1^2\dfrac{dx}{x}=\big[\ln x\big]_1^2=\ln 2$ .

Formes composées à reconnaître (dérivées de fonctions composées) :

\int u'u^n\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\quad \int\frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C,\quad \int u'e^u\,dx=e^u+C.

Exemple ( $u'/u$ ). $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\big[\ln(x^2+1)\big]_0^1=\ln 2$ .

Exemple. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\big[\sin x\big]_0^{\pi/2}=1$ .

Exemple ( $u'u^n$ ). $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$ .

Exemple ( $u'e^u$ ). $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx=\big[e^{x^2}\big]_0^1=e-1$ .

Intégrale définie & théorème fondamental. Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$ :

\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a).

Aire. Pour $f\geq0$ sur $[a,b]$ , $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire sous $\mathcal{C}_f$ .

Integrale definie comme aire sous la courbe de f entre a et b. — Intégrale définie comme aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ .

Propriétés. Linéarité : $\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$ . Chasles : $\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$ . Valeur moyenne sur $[a,b]$ : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$ .

Deux panneaux a fenetre identique montrant la meme courbe : a gauche l'aire sous la courbe est approchee par quatre rectangles, a droite par douze rectangles plus fins ; la somme des aires des rectangles se rapproche de l'aire exacte sous la courbe. — D'où vient l'aire : on la **découpe en rectangles**, et l'intégrale est la **limite** de la somme de leurs aires quand ils deviennent fins. Sur $f(x)=1+\tfrac{x^2}{2}$ et $[0,3]$ , cette somme vaut $\approx5{,}95$ avec $4$ rectangles, $\approx6{,}95$ avec $12$ : l'écart à la valeur exacte $\tfrac{15}{2}=7{,}5$ est divisé par $3$ quand on triple le nombre de subdivisions.

Changement de variable. Poser $u=\varphi(x)$ , $du=\varphi'(x)\,dx$ , et changer les bornes.

Intégrales & primitives — socle

Dans le palier approfondissement (Pro) : Intégrales — techniques avancées (IPP, linéarisation)

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