Intégrales & primitives — socle
Primitive. F F F f f f F ′ = f F'=f F ′ = f ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)\,dx=F(x)+C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C
Primitives usuelles.
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 ) , ∫ 1 x d x = ln ∣ x ∣ + C , ∫ e x d x = e x + C , \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1),\quad \int\frac1x\,dx=\ln|x|+C,\quad \int e^x\,dx=e^x+C, ∫ x n d x = n + 1 x n + 1 + C ( n = − 1 ) , ∫ x 1 d x = ln ∣ x ∣ + C , ∫ e x d x = e x + C , ∫ cos x d x = sin x + C , ∫ sin x d x = − cos x + C . \int\cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int\sin x\,dx=-\cos x+C. ∫ cos x d x = sin x + C , ∫ sin x d x = − cos x + C .
Exemple. ∫ 0 1 x 2 d x = [ x 3 3 ] 0 1 = 1 3 \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^1=\tfrac13 ∫ 0 1 x 2 d x = [ 3 x 3 ] 0 1 = 3 1
Exemple. ∫ 1 2 d x x = [ ln x ] 1 2 = ln 2 \displaystyle\int_1^2\dfrac{dx}{x}=\big[\ln x\big]_1^2=\ln 2 ∫ 1 2 x d x = [ ln x ] 1 2 = ln 2
Formes composées à reconnaître (dérivées de fonctions composées) :
∫ u ′ u n d x = u n + 1 n + 1 + C , ∫ u ′ u d x = ln ∣ u ∣ + C , ∫ u ′ e u d x = e u + C . \int u'u^n\,dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\quad \int\frac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C,\quad \int u'e^u\,dx=e^u+C. ∫ u ′ u n d x = n + 1 u n + 1 + C , ∫ u u ′ d x = ln ∣ u ∣ + C , ∫ u ′ e u d x = e u + C .
Exemple (u ′ / u u'/u u ′ / u ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = [ ln ( x 2 + 1 ) ] 0 1 = ln 2 \displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\big[\ln(x^2+1)\big]_0^1=\ln 2 ∫ 0 1 x 2 + 1 2 x d x = [ ln ( x 2 + 1 ) ] 0 1 = ln 2
Exemple. ∫ 0 π / 2 cos x d x = [ sin x ] 0 π / 2 = 1 \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\big[\sin x\big]_0^{\pi/2}=1 ∫ 0 π /2 cos x d x = [ sin x ] 0 π /2 = 1
Exemple (u ′ u n u'u^n u ′ u n ∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 3 d x = ( x 2 + 1 ) 4 4 + C \displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C ∫ 2 x ( x 2 + 1 ) 3 d x = 4 ( x 2 + 1 ) 4 + C
Exemple (u ′ e u u'e^u u ′ e u ∫ 0 1 2 x e x 2 d x = [ e x 2 ] 0 1 = e − 1 \displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx=\big[e^{x^2}\big]_0^1=e-1 ∫ 0 1 2 x e x 2 d x = [ e x 2 ] 0 1 = e − 1
Intégrale définie & théorème fondamental. Si F F F f f f ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) . \int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a). ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) .
Aire. Pour f ≥ 0 f\geq0 f ≥ 0 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ∫ a b f ( x ) d x C f \mathcal{C}_f C f
Intégrale définie comme aire sous la courbe de f f f a a a b b b
Propriétés. Linéarité : ∫ ( α f + β g ) = α ∫ f + β ∫ g \int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g ∫ ( α f + β g ) = α ∫ f + β ∫ g ∫ a c f = ∫ a b f + ∫ b c f \int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f ∫ a c f = ∫ a b f + ∫ b c f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] μ = 1 b − a ∫ a b f \mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f μ = b − a 1 ∫ a b f
Changement de variable. Poser u = φ ( x ) u=\varphi(x) u = φ ( x ) d u = φ ′ ( x ) d x du=\varphi'(x)\,dx d u = φ ′ ( x ) d x changer les bornes .
