Développements limités

Développements limités — socle

Idée. Près de $0$ , on remplace une fonction compliquée par un polynôme (sa partie régulière) plus un reste négligeable. Un développement limité (DL) à l'ordre $n$ en $0$ s'écrit

f(x)=\underbrace{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n}_{\text{partie régulière}}+\;o(x^n),

où

o(x^n)

(« petit o de

x^n

») désigne un reste tel que

\dfrac{o(x^n)}{x^n}\to0

quand

x\to0

: il est négligeable devant

x^n

Courbe de sinus et ses approximations de Taylor en 0 : la droite y = x (ordre 1) puis le polynome x - x cube sur 6 (ordre 3) approchent la courbe de plus en plus pres au voisinage de zero. — Approximations de $\sin x$ par ses DL : la tangente $y=x$ puis $y=x-\tfrac{x^3}{6}$ collent de mieux en mieux près de $0$ .

Troncature. Travailler « à l'ordre $n$ » signifie ne garder que les termes jusqu'à $x^n$ : tout ce qui est d'ordre $>n$ est absorbé dans le $o(x^n)$ .

DL usuels au voisinage de $0$ (à connaître par cœur) :

e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),

\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3),\qquad \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3),

(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)\ \Rightarrow\ \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2),

\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5).

Substitution. En remplaçant $x$ par $u(x)\to0$ , on obtient un nouveau DL : $e^{2x}=1+2x+2x^2+\dfrac{4x^3}{3}+o(x^3)$ , $\ \ln(1+3x)=3x-\dfrac{9x^2}{2}+o(x^2)$ .

Opérations (sur des exemples simples) :

somme : on additionne terme à terme ;
produit : on développe puis on tronque au bon ordre (les produits d'ordre trop élevé partent dans le reste) ;
quotient : on divise par la partie principale, ou on multiplie par le DL de $\frac{1}{\text{dénominateur}}$ .

Exemple (produit). $e^x\cos x=(1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6})(1-\tfrac{x^2}{2})=1+x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$ .

Application n°1 — limites. Un DL lève les formes indéterminées $\tfrac00$ : on remplace numérateur et dénominateur par leur DL.

\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{\tfrac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}\xrightarrow[x\to0]{}\frac12.

Application n°2 — tangente. Le DL à l'ordre 1 donne la tangente en $0$ : $f(x)=f(0)+f'(0)\,x+o(x)$ , soit $y=f(0)+f'(0)x$ .

Développements limités — socle

Dans le palier approfondissement (Pro) : Développements limités — Taylor-Young, composition, applications

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