Fonctions de plusieurs variables & intégrales doubles

Fonctions de deux variables — dérivées partielles, gradient, différentielle (socle)

A. Fonction de deux variables, domaine, surface

Une fonction de deux variables associe à un couple $(x;y)$ un réel $z=f(x;y)$ : température d'une plaque au point $(x;y)$, coût de production de deux articles, volume $V=\pi r^2h$ d'un cylindre… Le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des couples où le calcul est licite (mêmes contraintes qu'en une variable : dénominateur non nul, argument du logarithme strictement positif, radicande positif).

Exemple. $f(x;y)=\sqrt{4-x^2-y^2}$ est définie pour $x^2+y^2\leq 4$ : $D_f$ est le disque fermé de centre $O$ et de rayon $2$. Le domaine est une région du plan, plus seulement un intervalle.

Le graphe de $f$ est la surface d'équation $z=f(x;y)$ dans l'espace : au-dessus de chaque point $(x;y)$ du domaine, on place le point d'altitude $z=f(x;y)$.

B. Courbes de niveau

La courbe de niveau $k$ est l'ensemble des points du plan où $f(x;y)=k$ — exactement les courbes d'altitude d'une carte topographique (ou les isobares d'une carte météo).

Exemple. Pour $f(x;y)=x^2+y^2$ : la courbe de niveau $k$ (avec $k$ strictement positif) est le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{k}$ ; le niveau $0$ est réduit au point $O$ ; un niveau strictement négatif est vide. Pour $g(x;y)=2x+3y$, les courbes de niveau sont des droites parallèles.

C. Dérivées partielles premières

La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$, notée $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ (ou $f'_x$), s'obtient en dérivant $f$ par rapport à $x$ en considérant $y$ comme une constante — et symétriquement pour $\dfrac{\partial f}{\partial y}$. Tout le savoir-faire du chapitre Dérivation s'applique tel quel, une variable à la fois.

Exemple. $f(x;y)=x^3+3x^2y-2y^3$ : $\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^2+6xy$ (le terme $-2y^3$, constant en $x$, disparaît) et $\dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^2-6y^2$.

Interprétation : $\dfrac{\partial f}{\partial x}(a;b)$ est la vitesse de variation de $f$ au point $(a;b)$ quand $x$ seul varie — la pente de la surface dans la direction de l'axe des $x$.

D. Dérivées partielles secondes et théorème de Schwarz

En dérivant encore, on obtient quatre dérivées secondes :

E. Gradient et plan tangent

Le gradient de $f$ au point $(a;b)$ est le vecteur des dérivées partielles :

Le plan tangent à la surface $z=f(x;y)$ au point $\big(a;b;f(a;b)\big)$ a pour équation :

Exemple. $f(x;y)=x^2+y^2$ en $(1;2)$ : $f(1;2)=5$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1;2)=2$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1;2)=4$, d'où le plan tangent $z=5+2(x-1)+4(y-2)=2x+4y-5$.

F. Différentielle et calcul d'incertitude

La différentielle de $f$ regroupe les deux dérivées partielles :

Exemple. $R=\dfrac{U}{I}$ avec $U=50$ V à $0{,}5$ V près et $I=2$ A à $0{,}02$ A près : $R=25\ \Omega$ et

$$\Delta R\approx\dfrac{1}{I}\Delta U+\dfrac{U}{I^2}\Delta I=0{,}5\times 0{,}5+12{,}5\times 0{,}02=0{,}5\ \Omega.$$

En relatif : $\dfrac{\Delta R}{R}\approx\dfrac{\Delta U}{U}+\dfrac{\Delta I}{I}=1\,\%+1\,\%=2\,\%$ — pour un quotient, les incertitudes relatives s'ajoutent.

Contrôle systématique. Vérifier le théorème de Schwarz sur les croisées ; recouper une approximation par la différentielle avec un calcul direct de $f$ aux valeurs perturbées ; sur un quotient ou un produit, recouper l'incertitude absolue avec la règle des incertitudes relatives.