Séries de Fourier

Séries de Fourier — socle

Idée. Tout signal périodique (créneau, dent de scie, redressement…) se décompose en une somme de sinusoïdes : une composante constante, un fondamental et ses harmoniques. C'est l'outil de base de l'analyse spectrale en électricité, électronique et mécanique.

A. Période, pulsation

Un signal $f$ est $T$ -périodique si $f(t+T)=f(t)$ . Sa pulsation est

\omega=\frac{2\pi}{T}\qquad(\text{fréquence }f_0=\tfrac1T,\ \ \omega=2\pi f_0).

B. Coefficients de Fourier (forme réelle)

Pour $f$ $T$ -périodique et continue par morceaux, on pose (intégrale sur une période) :

a_0=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\! f(t)\,dt\quad(\text{valeur moyenne}),

a_n=\frac2T\int_{-T/2}^{T/2}\! f(t)\cos(n\omega t)\,dt,\qquad b_n=\frac2T\int_{-T/2}^{T/2}\! f(t)\sin(n\omega t)\,dt\quad(n\ge1).

La série de Fourier de

f

est

S(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\big[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\big].

Le terme

n=1

est le fondamental, les termes

n\ge2

sont les harmoniques de rang

n

. L'amplitude de l'harmonique de rang

n

est

A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}

C. Parité (raccourci de calcul)

$f$ paire $\Rightarrow b_n=0$ : que des cosinus.
$f$ impaire $\Rightarrow a_0=0$ et $a_n=0$ : que des sinus.

Signal créneau impair ( $T=2\pi$ , $\omega=1$ , $f=+1$ sur $]0;\pi[$ , $-1$ sur $]-\pi;0[$ ) : impair, donc $a_n=0$ et
$b_n=\frac{2}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)=\begin{cases}\dfrac{4}{n\pi}&n\text{ impair}\\[4pt]0&n\text{ pair}\end{cases}\quad\Rightarrow\quad f(t)=\frac4\pi\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\big((2k+1)t\big)}{2k+1}.$

Signal creneau plus ou moins un et ses sommes partielles de Fourier : avec un, deux puis trois harmoniques impairs, la somme oscille de plus en plus pres du creneau, avec des depassements aux sauts (phenomene de Gibbs). — Sommes partielles de la série de Fourier d'un créneau : avec $1$ , $2$ puis $3$ harmoniques impairs, l'approximation se rapproche du créneau (oscillations de Gibbs aux sauts).

D. Convergence — conditions de Dirichlet

Si $f$ est $T$ -périodique et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, la série de Fourier converge partout et

S(t)=\frac{f(t^+)+f(t^-)}2.

En un point où

f

est continue,

S(t)=f(t)

; en un saut, la série vaut la moyenne des deux limites. (Toutes les vérifications des hypothèses de Dirichlet seront fournies dans les exercices.)

E. Valeur efficace et formule de Parseval

La valeur efficace (RMS) d'un signal traduit sa puissance moyenne :

f_{\text{eff}}^{\,2}=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\! f(t)^2\,dt=a_0^{\,2}+\frac12\sum_{n=1}^{+\infty}\big(a_n^2+b_n^2\big)\qquad(\textbf{Parseval}).

Interprétation énergie : la puissance totale est la somme des puissances de la composante continue et de chaque harmonique. C'est aussi un outil pour sommer des séries numériques (cf. approfondissement).