Diagonalisation

Valeurs propres & diagonalisation — socle

Vecteur propre, valeur propre. Soit $A$ une matrice carrée. Un vecteur non nul $v$ est un vecteur propre de $A$ s'il existe un scalaire $\lambda$ tel que

A v=\lambda v.

Le scalaire

\lambda

est la valeur propre associée. Géométriquement,

A

ne fait qu'étirer

v

(facteur

\lambda

), sans changer sa direction.

Deux droites propres d'une matrice 2x2 : sur chaque direction propre, le vecteur est seulement etire d'un facteur lambda. — Les directions propres sont les axes que la matrice se contente d'étirer : un vecteur propre $v$ vérifie $Av=\lambda v$ (même direction, longueur multipliée par $\lambda$ ).

Polynôme caractéristique. Les valeurs propres de $A$ sont les solutions de

\det(A-\lambda I)=0.

Pour une matrice

2\times2

, ce polynôme s'écrit avec la trace et le déterminant :

\chi_A(\lambda)=\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\,\lambda+\det A.

Exemple. $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$ : $\operatorname{tr}A=7$ , $\det A=10$ , donc $\chi_A(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5)$ . Valeurs propres : $2$ et $5$ .

Sous-espace propre. À chaque valeur propre $\lambda$ on associe

E_\lambda=\ker(A-\lambda I)=\{v\mid Av=\lambda v\}.

On le détermine en résolvant le système homogène

(A-\lambda I)v=0

(méthode de Gauss).

Exemple. Pour $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$ et $\lambda=5$ : $(A-5I)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}$ , donc $-x+y=0$ : $E_5=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ . Pour $\lambda=2$ : $E_2=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ .

⚠️ $\lambda=0$ est valeur propre $\iff \det A=0$ $\iff A$ non inversible. (Lien direct avec le chapitre Matrices.)

Diagonalisation. $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que

A=PDP^{-1}\qquad\text{(de façon équivalente }P^{-1}AP=D\text{).}

Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres ; la diagonale de

D

porte les valeurs propres dans le même ordre.

Critère 2×2. Si $A$ admet deux valeurs propres distinctes, alors $A$ est diagonalisable.

Exemple. $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}=PDP^{-1}$ avec $P=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}$ , $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ .

Pourquoi diagonaliser ? Parce que les puissances deviennent immédiates :

A^n=PD^nP^{-1},\qquad D^n=\begin{pmatrix}\lambda_1^n&0\\0&\lambda_2^n\end{pmatrix}.

C'est l'outil pour les suites récurrentes couplées et les systèmes différentiels linéaires.

Valeurs propres & diagonalisation — socle

Dans le palier approfondissement (Pro) : Diagonalisation — multiplicités, cas 3×3, applications

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