Formes quadratiques & espaces euclidiens

Formes quadratiques — matrice, réduction de Gauss, signature

Idée. Une forme quadratique $q$ sur $\mathbb R^n$ est un polynôme homogène de degré 2 : $q(x)=\sum_{i\le j} c_{ij}x_ix_j$. Toute l'information tient dans une matrice symétrique $A$, et l'objet du chapitre est de réduire $q$ en une somme de carrés indépendants pour lire sa signature — qui dit si $q$ est positive, négative, ou « mixte ».

A. Forme quadratique $\longleftrightarrow$ matrice symétrique

Toute forme quadratique s'écrit de façon unique

Exemple. $q(x,y)=x^2+4xy+3y^2$ : $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$ (la case $2$ est la moitié du $4$).

B. Forme polaire

La forme polaire $b$ de $q$ est la forme bilinéaire symétrique telle que $b(x,x)=q(x)$ :

C. Réduction de Gauss

But : écrire $q$ comme combinaison de carrés de formes linéaires indépendantes, $q=\sum_k \alpha_k\,\ell_k(x)^2$.

• S'il y a un terme carré $x_i^2$ : on regroupe tous les termes en $x_i$ dans un carré (mise sous forme canonique), puis on recommence sur les variables restantes.
  $$x^2+4xy+3y^2=(x+2y)^2-4y^2+3y^2=(x+2y)^2-y^2.$$
• S'il n'y a aucun terme carré (que des $x_ix_j$) : on utilise l'identité
  $$x_ix_j=\tfrac14\big[(x_i+x_j)^2-(x_i-x_j)^2\big].$$
  $$\text{Ex. } xy=\tfrac14(x+y)^2-\tfrac14(x-y)^2.$$

D. Signature & rang — loi d'inertie de Sylvester

Une fois $q=\sum \alpha_k\,\ell_k^2$ avec les $\ell_k$ indépendantes, on compte :

• $p$ = nombre de coefficients $\alpha_k>0$,
• $r$ = nombre de coefficients $\alpha_k<0$.

La signature est $\operatorname{sgn}(q)=(p,r)$ ; le rang est $\operatorname{rg}(q)=p+r$ (nombre de carrés non nuls).

Loi d'inertie de Sylvester. La signature $(p,r)$ ne dépend pas de la réduction choisie : c'est un invariant de $q$. (On peut aussi la lire sur les signes des valeurs propres de $A$.)

E. Nature d'une forme quadratique

$q$ est non dégénérée $\iff \operatorname{rg}(q)=n\iff\det A\neq0$. Le noyau (radical) $\ker A$ donne les directions $k$ telles que $q(x+k)=q(x)$ pour tout $x$ ; à ne pas confondre avec les vecteurs isotropes ($q(x)=0$), qui peuvent exister même si $\ker A=\{0\}$.