Matrices & systèmes linéaires

Matrices & systèmes — socle

Calcul matriciel. Somme et produit par un scalaire se font terme à terme. Le produit $AB$ est défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ; le coefficient $(i,j)$ est le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.

⚠️ Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général $AB\neq BA$. Un produit peut être nul sans qu'aucun facteur ne le soit.

Exemple (produit).

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}.$$

Exemple (non commutatif). $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ : $AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\neq BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Systèmes linéaires — pivot de Gauss. On élimine les inconnues une à une par combinaisons de lignes, jusqu'à un système triangulaire qu'on résout en remontant.

Déterminant.

Exemple. $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&2\end{pmatrix}=1\cdot1\cdot2=2$ (matrice triangulaire : produit de la diagonale).

Exemple. $\det\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot1=5$.

Inversibilité. Une matrice carrée $A$ est inversible $\iff \det A\neq0$. Inverse 2×2 :

Exemple. $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ : $\det A=-2$, donc

$$A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\tfrac32&-\tfrac12\end{pmatrix}.$$

Exemple. $\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ ($\det=1$).

Lien système ↔ inversibilité. Un système carré a une solution unique $\iff$ le déterminant de sa matrice est non nul.