Équations différentielles

Équations différentielles — 1er ordre et 2nd ordre à coefficients constants (socle)

Équation différentielle. Relation entre une fonction inconnue $y$ (de variable $x$ ou $t$) et ses dérivées. L'ordre est celui de la dérivée la plus élevée : $y'+2y=0$ est d'ordre 1, $y''+4y=0$ d'ordre 2. Résoudre (ou intégrer) l'équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui la vérifient sur un intervalle.

Vérifier une solution. On remplace $y$ et ses dérivées dans l'équation : si l'égalité est vraie pour tout $x$, la fonction est solution. C'est le réflexe de contrôle systématique du chapitre.

Exemple. $f(x)=5e^{-3x}$ vérifie $f'(x)=-15e^{-3x}$, donc $f'+3f=-15e^{-3x}+15e^{-3x}=0$ : $f$ est solution de $y'+3y=0$.

A. Premier ordre homogène : $y'+ay=0$ ($a$ constante)

Les solutions sont exactement les fonctions

Exemple. $y'+4y=0\ \Rightarrow\ y=Ce^{-4x}$ ; $\quad y'=2y\ \Rightarrow\ y=Ce^{2x}$.

B. Second membre constant : $y'+ay=b$ ($a\neq 0$)

Structure fondamentale : solution générale $=$ solution générale de l'équation homogène $+$ une solution particulière. Ici la fonction constante $y_p=\dfrac{b}{a}$ convient (sa dérivée est nulle), d'où

Exemple. $y'+2y=6$ : $y_p=3$ et $y=Ce^{-2x}+3$. Quand $x\to+\infty$, $y\to 3$ : c'est la valeur d'équilibre (régime permanent), $Ce^{-2x}$ est le régime transitoire.

C. Condition initiale

La solution générale contient une constante $C$ : imposer $y(x_0)=y_0$ détermine $C$ de façon unique. Une équation d'ordre 1 + une condition initiale = une seule solution.

Exemple. $y'=2y$, $y(0)=3$ : $y=Ce^{2x}$ et $y(0)=C=3$, donc $y=3e^{2x}$.

D. Second ordre homogène à coefficients constants : $y''+ay'+by=0$

On lui associe son équation caractéristique $r^2+ar+b=0$, de discriminant $\Delta=a^2-4b$ :

• $\Delta>0$ — deux racines réelles distinctes $r_1\neq r_2$ : $\quad y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ ;
• $\Delta=0$ — racine double $r_0$ : $\quad y=(C_1+C_2x)\,e^{r_0x}$ ;
• $\Delta<0$ — racines complexes conjuguées $\alpha\pm i\beta$ : $\quad y=e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\big)$.

Le cas $\Delta<0$ mobilise les racines complexes d'un trinôme (chapitre Nombres complexes) : les solutions sont des oscillations d'amplitude pilotée par $e^{\alpha x}$.

Exemple ($\Delta>0$). $y''-3y'+2y=0$ : $r^2-3r+2=0$, racines $1$ et $2$, donc $y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$.

Exemple ($\Delta=0$). $y''+4y'+4y=0$ : racine double $-2$, donc $y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$.

Exemple ($\Delta<0$). $y''+2y'+5y=0$ : $\Delta=4-20=-16$, racines $-1\pm 2i$, donc $y=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$.

Conditions initiales d'ordre 2. Deux constantes $C_1,C_2$ : il faut deux conditions, en général $y(0)$ et $y'(0)$, qui donnent un système linéaire $2\times 2$.

Contrôle systématique. Toujours re-substituer la solution trouvée dans l'équation (et vérifier les conditions initiales).