Équations différentielles

Équations différentielles — 1er ordre et 2nd ordre à coefficients constants (socle)

Équation différentielle. Relation entre une fonction inconnue $y$ (de variable $x$ ou $t$ ) et ses dérivées. L'ordre est celui de la dérivée la plus élevée : $y'+2y=0$ est d'ordre 1, $y''+4y=0$ d'ordre 2. Résoudre (ou intégrer) l'équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui la vérifient sur un intervalle.

Vérifier une solution. On remplace $y$ et ses dérivées dans l'équation : si l'égalité est vraie pour tout $x$ , la fonction est solution. C'est le réflexe de contrôle systématique du chapitre.

Exemple. $f(x)=5e^{-3x}$ vérifie $f'(x)=-15e^{-3x}$ , donc $f'+3f=-15e^{-3x}+15e^{-3x}=0$ : $f$ est solution de $y'+3y=0$ .

Champ de directions d'une equation differentielle du premier ordre : de petits segments de pente imposee couvrent le plan, et plusieurs courbes solutions les suivent en se rapprochant toutes d'une meme droite oblique. — Ce qu'est une équation différentielle **avant toute résolution** : en chaque point du plan, l'équation impose une **pente** (ici $y'=x-y$ ), et une solution n'est rien d'autre qu'une courbe qui suit ces petits segments. Toutes les solutions $y=x-1+Ce^{-x}$ rejoignent la même droite $y=x-1$ : le terme en $C$ est le régime transitoire, il s'efface.

A. Premier ordre homogène : $y'+ay=0$ avec $a$ constante

Les solutions sont exactement les fonctions

y(x)=C\,e^{-ax},\qquad C\in\mathbb{R}.

Sous la forme

y'=ay

, les solutions sont

y(x)=C\,e^{ax}

(attention au signe : on lit le coefficient une fois l'équation mise sous forme normalisée).

Exemple. $y'+4y=0\ \Rightarrow\ y=Ce^{-4x}$ ; $\quad y'=2y\ \Rightarrow\ y=Ce^{2x}$ .

B. Second membre constant : $y'+ay=b$ avec $a\neq 0$

Structure fondamentale : solution générale $=$ solution générale de l'équation homogène $+$ une solution particulière. Ici la fonction constante $y_p=\dfrac{b}{a}$ convient (sa dérivée est nulle), d'où

y(x)=C\,e^{-ax}+\dfrac{b}{a}.

Exemple. $y'+2y=6$ : $y_p=3$ et $y=Ce^{-2x}+3$ . Quand $x\to+\infty$ , $y\to 3$ : c'est la valeur d'équilibre (régime permanent), $Ce^{-2x}$ est le régime transitoire.

C. Condition initiale

La solution générale contient une constante $C$ : imposer $y(x_0)=y_0$ détermine $C$ de façon unique. Une équation d'ordre 1 + une condition initiale = une seule solution.

Exemple. $y'=2y$ , $y(0)=3$ : $y=Ce^{2x}$ et $y(0)=C=3$ , donc $y=3e^{2x}$ .

D. Second ordre homogène à coefficients constants : $y''+ay'+by=0$

On lui associe son équation caractéristique $r^2+ar+b=0$ , de discriminant $\Delta=a^2-4b$ :

$\Delta>0$ — deux racines réelles distinctes $r_1\neq r_2$ :

y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\,;

$\Delta=0$ — racine double $r_0$ :

y=(C_1+C_2x)\,e^{r_0x}\,;

$\Delta<0$ — racines complexes conjuguées $\alpha\pm i\beta$ :

y=e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\big).

Le cas $\Delta<0$ mobilise les racines complexes d'un trinôme (chapitre Nombres complexes) : les solutions sont des oscillations d'amplitude pilotée par $e^{\alpha x}$ .

Exemple ( $\Delta>0$ ). $y''-3y'+2y=0$ : $r^2-3r+2=0$ , racines $1$ et $2$ , donc $y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$ .

Exemple ( $\Delta=0$ ). $y''+4y'+4y=0$ : racine double $-2$ , donc $y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$ .

Exemple ( $\Delta<0$ ). $y''+2y'+5y=0$ : $\Delta=4-20=-16$ , racines $-1\pm 2i$ , donc $y=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$ .

Conditions initiales d'ordre 2. Deux constantes $C_1,C_2$ : il faut deux conditions, en général $y(0)$ et $y'(0)$ , qui donnent un système linéaire $2\times 2$ .

Contrôle systématique. Toujours re-substituer la solution trouvée dans l'équation (et vérifier les conditions initiales).