Fractions rationnelles

Fractions rationnelles — décomposition en éléments simples (socle)

Fraction rationnelle. $F=\dfrac{N}{D}$ avec $N,D$ polynômes, $D\neq 0$ . Les pôles de $F$ sont les racines de $D$ .

Propre / impropre. $F$ est propre si $\deg N<\deg D$ (au sens strict). Sinon $F$ est impropre et s'écrit de façon unique

F=E+\dfrac{R}{D},

où

E

(partie entière) est le quotient et

R

le reste de la division euclidienne de

N

par

D

(

\deg R<\deg D

). La décomposition en éléments simples s'applique ensuite à la partie propre

\dfrac{R}{D}

Exemple (impropre). $\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}$ (division euclidienne : quotient $x+1$ , reste $2$ ).

Exemple (factoriser). $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ , d'où $\dfrac{1}{x^2-5x+6}=\dfrac{-1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}$ .

Factoriser le dénominateur. Tout repose sur la factorisation de $D$ sur $\mathbb{R}$ , en facteurs du premier degré $(x-a)$ (pôles réels) et facteurs quadratiques $x^2+px+q$ de discriminant $<0$ (irréductibles, traités au palier approfondissement). Pistes : racines entières parmi les diviseurs du terme constant, puis discriminant pour les trinômes.

Forme de la décomposition (pôles simples). Si $D=(x-a_1)\cdots(x-a_n)$ a $n$ pôles simples distincts et $F$ est propre :

F(x)=\dfrac{A_1}{x-a_1}+\cdots+\dfrac{A_n}{x-a_n}.

Calcul des coefficients — méthode de couverture. Pour un pôle simple $a$ :

A=\Big[(x-a)\,F(x)\Big]_{x=a},

c'est-à-dire on multiplie

F

par

(x-a)

(ce qui supprime ce pôle) puis on évalue en

x=a

Exemple (couverture). $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}$ : $A=\big[\tfrac{1}{x-2}\big]_{x=1}=-1$ et $B=\big[\tfrac{1}{x-1}\big]_{x=2}=1$ .

Exemple. $\dfrac{2x}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{-1}{x-1}+\dfrac{3}{x-3}$ .

Courbe de F(x)=2x/((x-1)(x-3)) superposee a ses deux elements simples -1/(x-1) et 3/(x-3) : pres de chaque asymptote verticale, la courbe se confond avec le terme correspondant. — Près de chaque pôle, $F$ se confond avec le seul élément simple qui lui correspond — c'est le sens du coefficient.

Exemple. $\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1/2}{x-1}+\dfrac{1/2}{x+1}$ .

Exemple (3 pôles). $\dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{-1}{x}+\dfrac{1/2}{x-1}+\dfrac{1/2}{x+1}$ .

Vérification (systématique). Recombiner les éléments simples sur le même dénominateur et comparer au numérateur de départ, ou tester une valeur particulière.

Fractions rationnelles — décomposition en éléments simples (socle)

Dans le palier approfondissement (Pro) : Fractions rationnelles — pôles multiples, facteurs quadratiques & intégration

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