Fractions rationnelles

Fractions rationnelles — décomposition en éléments simples (socle)

Fraction rationnelle. $F=\dfrac{N}{D}$ avec $N,D$ polynômes, $D\neq 0$. Les pôles de $F$ sont les racines de $D$.

Propre / impropre. $F$ est propre si $\deg N<\deg D$ (au sens strict). Sinon $F$ est impropre et s'écrit de façon unique

Exemple (impropre). $\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}$ (division euclidienne : quotient $x+1$, reste $2$).

Exemple (factoriser). $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, d'où $\dfrac{1}{x^2-5x+6}=\dfrac{-1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}$.

Factoriser le dénominateur. Tout repose sur la factorisation de $D$ sur $\mathbb{R}$, en facteurs du premier degré $(x-a)$ (pôles réels) et facteurs quadratiques $x^2+px+q$ de discriminant $<0$ (irréductibles, traités au palier approfondissement). Pistes : racines entières parmi les diviseurs du terme constant, puis discriminant pour les trinômes.

Forme de la décomposition (pôles simples). Si $D=(x-a_1)\cdots(x-a_n)$ a $n$ pôles simples distincts et $F$ est propre :

Calcul des coefficients — méthode de couverture. Pour un pôle simple $a$ :

Exemple (couverture). $\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}$ : $A=\big[\tfrac{1}{x-2}\big]_{x=1}=-1$ et $B=\big[\tfrac{1}{x-1}\big]_{x=2}=1$.

Exemple. $\dfrac{2x}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{-1}{x-1}+\dfrac{3}{x-3}$.

Exemple. $\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1/2}{x-1}+\dfrac{1/2}{x+1}$.

Exemple (3 pôles). $\dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{-1}{x}+\dfrac{1/2}{x-1}+\dfrac{1/2}{x+1}$.

Vérification (systématique). Recombiner les éléments simples sur le même dénominateur et comparer au numérateur de départ, ou tester une valeur particulière.