Modules & théorème de structure

Modules, forme normale de Smith et théorème de structure

Idée. Un module est l'analogue d'un espace vectoriel quand les scalaires forment un anneau $A$ (et non un corps). Sur un anneau principal, le théorème de structure classe complètement les modules de type fini : c'est la clé qui unifie la classification des groupes abéliens finis ( $A=\mathbb{Z}$ ) et la réduction des endomorphismes ( $A=K[X]$ ).

Note (L2/L3, démonstratif). Exercices = preuves + calculs de forme de Smith / facteurs invariants, vérifiés machine (_verif_modules.py : invariant_factors sur $\mathbb{Z}$ , moteur diviseurs élémentaires $\longleftrightarrow$ facteurs invariants, classification, $K[X]$ -modules via jordan_form).

A. Modules, sous-modules, modules libres, torsion

Un $A$ -module $M$ est un groupe abélien $(M,+)$ muni d'une loi externe $A\times M\to M$ vérifiant les mêmes axiomes qu'un espace vectoriel ( $a(x+y)=ax+ay$ , $(a+b)x=ax+bx$ , $(ab)x=a(bx)$ , $1x=x$ ).

Un $\mathbb{Z}$ -module est exactement un groupe abélien (l'action de $n$ est $n\cdot x=x+\dots+x$ , forcée par l'addition).
Un sous-module est une partie stable par $+$ et par la loi externe. Les sous-modules de $A$ (vu comme module sur lui-même) sont ses idéaux.
$M$ est libre s'il admet une base : $M\cong A^r$ , l'entier $r$ est le rang. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ( $n>1$ ) n'est pas libre : tout élément $\bar x$ vérifie $n\bar x=0$ (aucune partie libre).
La torsion $T(M)=\{x\in M:\ \exists a\neq 0,\ ax=0\}$ est un sous-module (si $A$ est intègre) ; $M/T(M)$ est sans torsion. Ex. $T(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/4)=\{0\}\oplus\mathbb{Z}/4$ .

B. Matrices sur un anneau principal : forme normale de Smith

Soit $A$ principal (ex. $\mathbb{Z}$ , $K[X]$ ). Toute matrice $M\in A^{m\times n}$ se ramène, par opérations élémentaires sur les lignes ET les colonnes (inversibles sur $A$ ), à une forme diagonale :

\boxed{\textbf{Smith : } M \sim \operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_r,0,\dots,0),\qquad d_1\mid d_2\mid\dots\mid d_r.}

Les

d_i

(rendus unitaires) sont les facteurs invariants de

M

; ils sont uniques. On les calcule par les facteurs déterminantiels :

\Delta_k=

pgcd des mineurs

k\times k

, et

d_1=\Delta_1,\qquad d_k=\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}.

Exemple. $M=\begin{pmatrix}2&4&4\\-6&6&12\\10&-4&-16\end{pmatrix}$ : $\Delta_1=2$ , $\Delta_1\Delta_2=12$ , $\Delta_3=\lvert\det M\rvert=144$ , d'où $(d_1,d_2,d_3)=(2,6,12)$ . Forme de Smith $\operatorname{diag}(2,6,12)$ .

Reseau des points a coordonnees entieres du plan, avec un sous-reseau engendre par deux vecteurs marque en gros points et sa maille fondamentale coloriee ; la maille contient douze points du reseau, ce qui donne l'ordre du quotient. — La forme de Smith, vue sur le plan. Le sous-module $L\subset\mathbb{Z}^2$ engendré par $(4,2)$ et $(2,4)$ est un **sous-réseau** ; sa forme normale $\operatorname{diag}(2,6)$ donne directement $\mathbb{Z}^2/L\simeq\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/6$ , d'ordre $2\times6=12$ . Cet indice $12$ est aussi $\lvert\det\rvert$ , et se recompte à la main en énumérant les points d'une maille — le théorème de structure devient un dénombrement.

E. Théorème de structure

Un module de type fini $M$ sur un anneau principal $A$ est présenté par une matrice de relations $R$ ( $M\cong A^n/\operatorname{im}R$ ) ; la forme de Smith de $R$ donne :

\boxed{M\cong A^{r}\ \oplus\ A/(d_1)\oplus A/(d_2)\oplus\dots\oplus A/(d_s),\qquad d_1\mid d_2\mid\dots\mid d_s,}

où

A^r

est la partie libre (rang

r=n-\operatorname{rg}R

) et les

A/(d_i)

(

d_i

non inversible) la partie de torsion. Cette décomposition par facteurs invariants est unique (le rang

r

et la suite

(d_i)

ne dépendent que de

M

). On peut aussi la regrouper par diviseurs élémentaires (les

A/(p^k)

p

irréductible) — les deux formes sont équivalentes via le théorème chinois (les

(p^k)

pour

p

irréductibles distincts sont comaximaux).

Schéma du théorème de structure : une boîte M se scinde en deux blocs, à gauche la partie libre A^r (somme de r copies de A), à droite la partie de torsion somme directe des A/(d_i) avec la chaîne de divisibilité d_1 | d_2 | ... | d_s ; deux flèches descendantes indiquent les deux spécialisations A=Z (groupes abéliens finis) et A=K[X] (réduction des endomorphismes, blocs de Jordan). — **Théorème de structure d'un module de type fini sur un anneau principal.** Tout tel module $M$ se décompose en une **partie libre** $A^r$ (rang $r$ ) et une **partie de torsion** $\bigoplus_i A/(d_i)$ avec $d_1\mid d_2\mid\dots\mid d_s$ (facteurs invariants). Pour $A=\mathbb{Z}$ on obtient la **classification des groupes abéliens finis** ; pour $A=K[X]$ , la **réduction des endomorphismes** (Jordan / Frobenius). La forme de Smith de la matrice de relations fournit les $d_i$ .

Deux récoltes immédiates. $A=\mathbb{Z}$ : tout groupe abélien fini est $\mathbb{Z}/d_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}/d_s$ (classification). $A=K[X]$ : tout endomorphisme est classé par ses facteurs invariants → forme de Jordan / Frobenius.

Modules, forme normale de Smith et théorème de structure

A. Modules, sous-modules, modules libres, torsion

B. Matrices sur un anneau principal : forme normale de Smith

E. Théorème de structure

Dans le palier approfondissement (Pro) : Groupes abéliens finis (ℤ-modules) et réduction des endomorphismes (K[X]-modules)

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