Modules & théorème de structure

Modules, forme normale de Smith et théorème de structure

Idée. Un module est l'analogue d'un espace vectoriel quand les scalaires forment un anneau $A$ (et non un corps). Sur un anneau principal, le théorème de structure classe complètement les modules de type fini : c'est la clé qui unifie la classification des groupes abéliens finis ($A=\mathbb{Z}$) et la réduction des endomorphismes ($A=K[X]$).

Note (L2/L3, démonstratif). Exercices = preuves + calculs de forme de Smith / facteurs invariants, vérifiés machine (_verif_modules.py : invariant_factors sur $\mathbb{Z}$, moteur diviseurs élémentaires ⟷ facteurs invariants, classification, $K[X]$-modules via jordan_form).

A. Modules, sous-modules, modules libres, torsion

Un $A$-module $M$ est un groupe abélien $(M,+)$ muni d'une loi externe $A\times M\to M$ vérifiant les mêmes axiomes qu'un espace vectoriel ($a(x+y)=ax+ay$, $(a+b)x=ax+bx$, $(ab)x=a(bx)$, $1x=x$).

• Un $\mathbb{Z}$-module est exactement un groupe abélien (l'action de $n$ est $n\cdot x=x+\dots+x$, forcée par l'addition).
• Un sous-module est une partie stable par $+$ et par la loi externe. Les sous-modules de $A$ (vu comme module sur lui-même) sont ses idéaux.
• $M$ est libre s'il admet une base : $M\cong A^r$, l'entier $r$ est le rang. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ($n>1$) n'est pas libre : tout élément $\bar x$ vérifie $n\bar x=0$ (aucune partie libre).
• La torsion $T(M)=\{x\in M:\ \exists a\neq 0,\ ax=0\}$ est un sous-module (si $A$ est intègre) ; $M/T(M)$ est sans torsion. Ex. $T(\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/4)=\{0\}\oplus\mathbb{Z}/4$.

B. Matrices sur un anneau principal : forme normale de Smith

Soit $A$ principal (ex. $\mathbb{Z}$, $K[X]$). Toute matrice $M\in A^{m\times n}$ se ramène, par opérations élémentaires sur les lignes ET les colonnes (inversibles sur $A$), à une forme diagonale :

Exemple. $M=\begin{pmatrix}2&4&4\\-6&6&12\\10&-4&-16\end{pmatrix}$ : $\Delta_1=2$, $\Delta_1\Delta_2=12$, $\Delta_3=\lvert\det M\rvert=144$, d'où $(d_1,d_2,d_3)=(2,6,12)$. Forme de Smith $\operatorname{diag}(2,6,12)$.

E. Théorème de structure

Un module de type fini $M$ sur un anneau principal $A$ est présenté par une matrice de relations $R$ ($M\cong A^n/\operatorname{im}R$) ; la forme de Smith de $R$ donne :

Deux récoltes immédiates. $A=\mathbb{Z}$ : tout groupe abélien fini est $\mathbb{Z}/d_1\oplus\dots\oplus\mathbb{Z}/d_s$ (classification). $A=K[X]$ : tout endomorphisme est classé par ses facteurs invariants → forme de Jordan / Frobenius.