Polynômes & corps finis

Polynômes — division, PGCD, racines, factorisation

Idée. Sur un corps $K$ (typiquement $\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ ou $\mathbb F_p$), l'anneau $K[X]$ se comporte exactement comme $\mathbb Z$ : il y a une division euclidienne, donc un PGCD par l'algorithme d'Euclide, une identité de Bézout, des « nombres premiers » (les polynômes irréductibles) et une factorisation unique. Le degré joue le rôle de la valeur absolue.

A. Degré & division euclidienne

$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ et $\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)$. Pour $A,B\in K[X]$ avec $B\neq0$, il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que

Exemple. $X^4+1=(X^2+X+1)(X^2-X)+(X+1)$ : quotient $X^2-X$, reste $X+1$ ($\deg=1<2$).

B. PGCD, algorithme d'Euclide, Bézout

$\operatorname{pgcd}(A,B)$ (unitaire) s'obtient par divisions successives : $\operatorname{pgcd}(A,B)=\operatorname{pgcd}(B,R)$.

Exemple. $\operatorname{pgcd}(X^4-1,X^3-1)$ : $X^4-1=X(X^3-1)+(X-1)$, $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$, donc $\operatorname{pgcd}=X-1$.

Bézout. Il existe $U,V\in K[X]$ tels que $UA+VB=\operatorname{pgcd}(A,B)$ (Euclide étendu). Ex. $1\cdot(X^4-1)+(-X)(X^3-1)=X-1$. $A,B$ sont premiers entre eux $\iff \exists U,V,\ UA+VB=1$.

C. Racines & factorisation par $(X-a)$

Théorème du reste. Le reste de $P$ par $(X-a)$ est $P(a)$. Donc $a$ est racine de $P$ $\iff (X-a)\mid P$.

On factorise par divisions successives (schéma de Horner).

Exemple. $P=X^3-2X^2+3X-4$ : $P(2)=2$, donc $P=(X-2)(X^2+3)+2$.

D. Multiplicité & relations de Viète

$a$ est racine de multiplicité $m$ si $(X-a)^m\mid P$ mais $(X-a)^{m+1}\nmid P$. Pour $P=a_n\prod(X-r_i)$ unitaire ($a_n=1$), les relations de Viète lient coefficients et racines :

Exemple. $X^3-6X^2+11X-6=(X-1)(X-2)(X-3)$ : $\sum r_i=6$, $\sum_{i<j}r_ir_j=11$, $\prod r_i=6$.

E. Dérivée formelle & racines multiples

La dérivée formelle $(X^n)'=nX^{n-1}$ (purement algébrique) détecte les racines multiples :

$a$ est racine multiple de $P$ $\iff P(a)=P'(a)=0$ $\iff (X-a)\mid\operatorname{pgcd}(P,P')$.

Exemple. $P=X^3-3X+2$, $P'=3X^2-3=3(X-1)(X+1)$, $\operatorname{pgcd}(P,P')=X-1$ : $1$ est racine double, et en effet $P=(X-1)^2(X+2)$.

F. Irréductibilité & factorisation

Un polynôme est irréductible sur $K$ s'il n'est pas produit de deux polynômes de degré $\ge1$ de $K[X]$. La factorisation dépend du corps :

• sur $\mathbb C$ : les irréductibles sont les degré 1 (théorème de d'Alembert-Gauss) ;
• sur $\mathbb R$ : les degré 1 et les degré 2 à discriminant négatif (car les racines complexes vont par paires conjuguées) ;
• sur $\mathbb Q$ : critères (racines rationnelles, Eisenstein : si un premier $p$ divise tous les coefficients sauf le dominant et $p^2\nmid a_0$, le polynôme est irréductible).

Exemple. $X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)$ sur $\mathbb R$ ; sur $\mathbb C$, $X^2+1=(X-i)(X+i)$.