Transformation de Laplace

Transformation de Laplace — socle

Idée. La transformation de Laplace remplace une fonction du temps $f(t)$ par une fonction $F(p)$ de la variable $p$ . Elle transforme la dérivation en multiplication par $p$ : résoudre une équation différentielle devient résoudre une équation algébrique. C'est l'outil de base de l'automatique et de l'électronique (régimes transitoires, fonctions de transfert).

A. Définition

On travaille avec des signaux causaux : $f(t)=0$ pour $t<0$ . L'échelon unité (fonction de Heaviside) est

u(t)=\begin{cases}0&t<0\\[2pt]1&t\ge0.\end{cases}

La transformée de Laplace de

f

est

\mathcal{L}\{f\}(p)=F(p)=\int_{0}^{+\infty} f(t)\,e^{-pt}\,dt,

définie pour

p

assez grand (la variable

p

est notée

s

dans la littérature anglo-saxonne). Toutes les conditions initiales sont prises en

0^+

B. Transformées usuelles (à connaître)

$f(t)$ (causale)	$F(p)$
$u(t)$ (échelon)	$\dfrac1p$
$t$ (rampe)	$\dfrac1{p^2}$
$t^n$	$\dfrac{n!}{p^{n+1}}$
$e^{-at}$	$\dfrac1{p+a}$
$\sin(\omega t)$	$\dfrac{\omega}{p^2+\omega^2}$
$\cos(\omega t)$	$\dfrac{p}{p^2+\omega^2}$
$e^{-at}\sin(\omega t)$	$\dfrac{\omega}{(p+a)^2+\omega^2}$
$e^{-at}\cos(\omega t)$	$\dfrac{p+a}{(p+a)^2+\omega^2}$

C. Linéarité

\mathcal{L}\{\alpha f+\beta g\}=\alpha F+\beta G.

C'est la propriété la plus utilisée : on décompose un signal en briques de la table.

D. Théorème de la dérivation

\mathcal{L}\{f'\}=p\,F(p)-f(0^+),\qquad \mathcal{L}\{f''\}=p^2F(p)-p\,f(0^+)-f'(0^+).

La dérivation devient une multiplication par $p$ (au terme de condition initiale près). C'est ce qui linéarise les équations différentielles.

E. Translations (les deux théorèmes-clés du signal)

Amortissement (translation en $p$ ) : multiplier par une exponentielle décroissante translate la variable.
$\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(p+a).$

Une sinusoide dont l'amplitude decroit exponentiellement, encadree par deux enveloppes en plus et moins e puissance moins a t ; le facteur e puissance moins a t translate la variable p en p plus a dans la transformee de Laplace. — Théorème de l'amortissement : la sinusoïde amortie $e^{-at}\sin(\omega t)$ et son enveloppe $\pm e^{-at}$ ; multiplier un signal par $e^{-at}$ translate sa transformée de $p$ en $p+a$ .

Retard (translation en $t$ ) : décaler le signal de $\tau$ multiplie sa transformée par $e^{-\tau p}$ .
$\mathcal{L}\{f(t-\tau)\,u(t-\tau)\}=e^{-\tau p}\,F(p)\qquad(\tau>0).$

Deux courbes identiques : un signal montant f de t, et le meme signal decale vers la droite d'une duree tau, illustrant que retarder un signal de tau multiplie sa transformee de Laplace par e puissance moins tau p. — Théorème du retard : le signal $f(t)$ (en bleu) et sa version retardée $f(t-\tau)u(t-\tau)$ (en orange) décalée de $\tau$ vers la droite ; ce décalage temporel correspond au facteur $e^{-\tau p}$ sur la transformée.

F. Transformée inverse

La transformation est inversible : si $F(p)=\mathcal{L}\{f\}$ alors $f=\mathcal{L}^{-1}\{F\}$ . En pratique on lit la table à l'envers, après avoir décomposé $F$ en éléments simples (mutualisé avec le chapitre Fractions rationnelles). C'est l'étape qui ramène de $F(p)$ vers le signal $f(t)$ .