Probabilités & statistiques

Probabilités — variables aléatoires, binomiale, Poisson, normale (socle)

A. Variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité est le tableau des valeurs $x_i$ et des probabilités $p_i=P(X=x_i)$, avec $\sum p_i=1$ (premier contrôle systématique du chapitre).

• Espérance (valeur moyenne) : $E(X)=\displaystyle\sum_i x_i\,p_i$.
• Variance : $V(X)=E(X^2)-\big[E(X)\big]^2=\displaystyle\sum_i x_i^2\,p_i-\big[E(X)\big]^2$ ; écart-type $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ (dispersion autour de la moyenne).

Exemple. $X$ prend les valeurs $0,1,2,3$ avec $p=0{,}1\ ;\ 0{,}2\ ;\ 0{,}4\ ;\ 0{,}3$. Alors $E(X)=1{,}9$, $E(X^2)=4{,}5$, $V(X)=4{,}5-1{,}9^2=0{,}89$ et $\sigma(X)\approx 0{,}94$.

B. Loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$

Schéma de Bernoulli : on répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$, échec $1-p$). Si $X$ compte le nombre de succès, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ :

Réflexe utile : $P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$ (passage au complémentaire).

Exemple. $X\sim\mathcal{B}(20;0{,}1)$ : $P(X=2)=\binom{20}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^{18}\approx 0{,}2852$ ; $E(X)=2$.

C. Loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$

Loi des événements rares (nombre d'appels, de pannes, de défauts… par unité de temps ou de longueur) :

Exemple. Standard recevant en moyenne $\lambda=3$ appels par minute : $P(X=0)=e^{-3}\approx 0{,}0498$ ; $P(X\leq 2)=e^{-3}\big(1+3+\tfrac{9}{2}\big)\approx 0{,}4232$.

D. Loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma)$

Loi continue de densité « en cloche », symétrique autour de la moyenne $\mu$, de dispersion $\sigma$ ($\sigma$ désigne ici l'écart-type). Les probabilités sont des aires sous la courbe ; on retient :

Centrage-réduction. Si $X\sim\mathcal{N}(\mu;\sigma)$, alors $T=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$, dont la fonction de répartition $\Phi(t)=P(T\leq t)$ se lit dans la table (ou à la calculatrice). Valeurs usuelles :

Règles de calcul (la table ne donne que $t\geq 0$) :

Exemple. $X\sim\mathcal{N}(500;4)$ : $P(X\leq 506)=\Phi(1{,}5)=0{,}9332$ et $P(496\leq X\leq 506)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)=0{,}9332-(1-0{,}8413)=0{,}7745$.

E. Lecture inverse de la table

Trouver $a$ tel que $P(X\leq a)$ vaut une probabilité donnée : on cherche d'abord $t$ tel que $\Phi(t)$ vaut cette probabilité, puis on « décentre » : $a=\mu+t\,\sigma$. Deux quantiles à connaître :

Exemple. $X\sim\mathcal{N}(80;10)$, chercher $a$ tel que $P(X\leq a)=0{,}95$ : $t=1{,}645$ et $a=80+1{,}645\times 10=96{,}45$.

Contrôle systématique. Vérifier $\sum p_i=1$ pour une loi discrète ; vérifier qu'une probabilité est dans $[0;1]$ et cohérente avec la position par rapport à $\mu$ (au-dessus ou au-dessous de $0{,}5$).