Statistique inférentielle

Estimation, intervalles de confiance & tests d'hypothèse (socle)

La statistique inférentielle part d'un échantillon (taille $n$) pour tirer des conclusions sur la population entière. Elle prolonge le chapitre Probabilités & statistiques (loi normale, échantillonnage, intervalles de confiance) : ici on estime, on encadre et surtout on décide.

A. Estimation ponctuelle : estimateur sans biais

On observe $x_1,\dots,x_n$. Deux estimateurs fondamentaux :

• Moyenne empirique $\overline{x}=\dfrac1n\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i$ : estimateur sans biais de la moyenne $\mu$ de la population ($E(\overline{X})=\mu$).
• Variance empirique corrigée $s^2=\dfrac1{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$ : estimateur sans biais de la variance $\sigma^2$.

⚠️ Le diviseur est $n-1$, pas $n$ : diviser par $n$ donne une variance biaisée (qui sous-estime $\sigma^2$). Le $-1$ compense le fait que $\overline{x}$ est lui-même estimé à partir des données (perte d'un degré de liberté). On distingue l'estimateur (la formule, variable aléatoire) de l'estimation (la valeur numérique obtenue sur l'échantillon).

B. Intervalle de confiance d'une moyenne, $\sigma$ inconnu : loi de Student

Quand l'écart-type $\sigma$ de la population est connu, l'IC à $95\,\%$ d'une moyenne est $\big[\overline{x}\pm 1{,}96\,\tfrac{\sigma}{\sqrt n}\big]$ (chapitre parent). Mais en pratique $\sigma$ est inconnu : on le remplace par $s$. Si la population est normale, la quantité $\dfrac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt n}$ ne suit plus une loi normale mais la loi de Student $T_{n-1}$ à $n-1$ degrés de liberté. D'où :

C. Intervalle de confiance d'une variance : loi du khi-deux

Si la population est normale, la quantité $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ suit une loi du khi-deux $\chi^2_{n-1}$ (cette hypothèse est ici indispensable, même pour $n$ grand). Comme $\sigma^2$ est au dénominateur de cette quantité, l'IC de $\sigma^2$ a des bornes croisées ; et comme la loi n'est pas symétrique, il n'est pas centré sur $s^2$ :

D. Intervalle de confiance d'une proportion

$\big[f\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\tfrac{f(1-f)}{n}}\big]$ avec $f$ la fréquence observée, sous conditions $n\geq 30$, $nf\geq 5$ et $n(1-f)\geq 5$. L'estimation ponctuelle ($\overline{x}$ ou $f$) est toujours au centre de l'IC.

E. Tests d'hypothèse : la démarche

On oppose deux hypothèses : l'hypothèse nulle $H_0$ (le statu quo, ex. $\mu=\mu_0$) et l'hypothèse alternative $H_1$. La démarche :

1. statistique de test : on standardise l'estimation. Moyenne, $\sigma$ connu : $z=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$ (loi normale). Moyenne, $\sigma$ inconnu : $t=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt n}$ (Student $T_{n-1}$). Proportion : $z=\dfrac{f-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$.
2. risque $\alpha$ (souvent $5\,\%$) : probabilité maximale de rejeter $H_0$ à tort.
3. région de rejet : test bilatéral $H_1:\mu\neq\mu_0$ → on rejette si $\lvert z\rvert>z_{1-\alpha/2}$ (deux queues $\alpha/2$). Test unilatéral $H_1:\mu>\mu_0$ (resp. $<$) → on rejette si $z>z_{1-\alpha}$ (resp. $z<-z_{1-\alpha}$, une seule queue).
4. $p$-value : probabilité, si $H_0$ est vraie, d'observer une statistique au moins aussi extrême. On rejette $H_0$ $\iff p\leq\alpha$. Bilatéral : $p=2\,P(Z\geq\lvert z\rvert)=2\big(1-\Phi(\lvert z\rvert)\big)$ ; unilatéral : $p=1-\Phi(z)$ si $H_1:\mu>\mu_0$, $p=\Phi(z)$ si $H_1:\mu<\mu_0$ (la moitié du $p$ bilatéral seulement quand $z$ est du côté de $H_1$).

Deux types d'erreur : 1ʳᵉ espèce = rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie (probabilité $\alpha$) ; 2ᵈᵉ espèce = conserver $H_0$ alors qu'elle est fausse (probabilité $\beta$, la puissance étant $1-\beta$).

F. Tests du khi-deux

La statistique est toujours $\chi^2=\displaystyle\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ ($O$ effectifs observés, $E$ attendus sous $H_0$). On rejette $H_0$ si $\chi^2>\chi^2_{\nu;\,1-\alpha}$.

• Ajustement (adéquation) : $H_0$ « les données suivent une loi donnée ». Degrés de liberté $\nu=k-1$ ($k$ classes).
• Indépendance : $H_0$ « les deux variables d'un tableau de contingence sont indépendantes ». Effectif attendu d'une case $=\dfrac{\text{total ligne}\times\text{total colonne}}{\text{total}}$ ; degrés de liberté $\nu=(r-1)(c-1)$.

G. Comparaison de deux échantillons

• Deux moyennes (échantillons indépendants, grands $n$) : $z=\dfrac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$.
• Deux proportions : on estime une proportion groupée $\widehat p=\dfrac{k_1+k_2}{n_1+n_2}$ et $z=\dfrac{f_1-f_2}{\sqrt{\widehat p(1-\widehat p)(1/n_1+1/n_2)}}$.

Contrôle systématique. Vérifier le bon nombre de degrés de liberté ($n-1$ pour une variance, $k-1$ ou $(r-1)(c-1)$ pour un khi-deux) ; le caractère uni- ou bilatéral du test (il change le seuil et la $p$-value) ; la cohérence décision $\iff p\leq\alpha$ ; et que les conditions d'application ($n$ grand, effectifs attendus $\geq 5$) sont réunies.