Suites & séries de fonctions

Suites & séries de fonctions — socle

Idée. Jusqu'ici une suite avait des termes qui sont des nombres ; ici les termes sont des fonctions $f_n$, et la question devient : en quel sens $f_n$ « tend vers » une fonction $f$ ? Il y a deux réponses, et tout le chapitre tient dans leur différence. La convergence simple regarde chaque point séparément : pour chaque $x$, la suite de nombres $f_n(x)$ converge. La convergence uniforme exige que toute la courbe de $f_n$ entre dans un tube autour de celle de $f$, à partir d'un même rang pour tous les $x$. La première ne transmet presque rien à la limite ; la seconde transmet la continuité, l'intégrale sur un segment, et — avec une hypothèse de plus — la dérivée.

Note (périmètre de vérification). Tout ce qui se calcule ici est certifié machine (_verif_suites_series_fonctions.py) : normes sup, suites qui réfutent une convergence uniforme, normes de convergence normale, sommes et intégrales, valeurs affichées. Les théorèmes sont démontrés dans la leçon et les exercices. Un seul énoncé est admis à ce palier — Bolzano-Weierstrass (déjà admis au chapitre sur les suites), qui ne sert qu'en approfondissement (théorème de Dini).

A. Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme

• Convergence simple. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $I$. On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si, pour chaque $x\in I$, la suite numérique $\bigl(f_n(x)\bigr)$ converge vers $f(x)$. En quantificateurs : pour tout $x\in I$, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que $n\geq N\Rightarrow\lvert f_n(x)-f(x)\rvert<\varepsilon$. Le rang $N$ a le droit de dépendre de $x$. Exemple : sur $[0,1]$, $f_n(x)=x^n$ converge simplement vers $f$ qui vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$ — une limite discontinue de fonctions continues.
• Norme de la convergence uniforme. Pour une fonction $g$ bornée sur $I$, on note $\lVert g\rVert_\infty=\sup_{x\in I}\lvert g(x)\rvert$. C'est la hauteur du plus grand écart entre la courbe de $g$ et l'axe.
• Convergence uniforme. $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si $\lVert f_n-f\rVert_\infty\to0$, c'est-à-dire : pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que pour tout $n\geq N$ et pour tout $x\in I$, $\lvert f_n(x)-f(x)\rvert<\varepsilon$. Le rang $N$ ne dépend plus de $x$ : à partir de $N$, la courbe entière de $f_n$ est dans le tube $f\pm\varepsilon$.
• Uniforme entraîne simple, pas l'inverse. Si $\lVert f_n-f\rVert_\infty\to0$, alors pour chaque $x$, $\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\leq\lVert f_n-f\rVert_\infty\to0$. La réciproque est fausse : $x^n$ sur $[0,1]$ converge simplement (vers la fonction discontinue ci-dessus) mais $\lVert f_n-f\rVert_\infty=\sup_{[0,1[}x^n=1$ ne tend pas vers $0$.
• Les deux méthodes pour décider. Soit on calcule la norme sup : on étudie $f_n-f$ (dérivée, tableau de variations) et on lit son maximum en valeur absolue — méthode qui prouve la convergence uniforme comme sa négation. Soit on minore : on choisit une suite $(x_n)$ de points bien placés, et si $\lvert f_n(x_n)-f(x_n)\rvert$ ne tend pas vers $0$, alors $\lVert f_n-f\rVert_\infty$ non plus — méthode qui ne prouve que la négation, mais souvent en une ligne. Pour $x^n$ sur $[0,1]$ : $x_n=1-\tfrac1n$ donne $f_n(x_n)=\left(1-\tfrac1n\right)^n\to e^{-1}\neq0$.
• Le domaine compte. La même suite $x^n$ converge uniformément sur $[0,a]$ pour tout $a<1$, puisque $\sup_{[0,a]}x^n=a^n\to0$. Dire « converge uniformément » sans dire sur quoi n'a pas de sens.

• Un exemple positif. $f_n(x)=\sqrt{x^2+\tfrac1n}$ converge uniformément vers $\lvert x\rvert$ sur $\mathbb{R}$ tout entier :
  $$0\leq f_n(x)-\lvert x\rvert=\dfrac{1/n}{\sqrt{x^2+1/n}+\lvert x\rvert}\leq\dfrac1{\sqrt n},$$
  avec égalité en $x=0$. Chaque $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ ; la limite ne l'est pas. La convergence uniforme ne transmet pas la dérivabilité — retenir l'exemple.

B. Ce que la convergence uniforme transmet à la limite

• Continuité. Si les $f_n$ sont continues sur $I$ et convergent uniformément vers $f$ sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$. Preuve « en $\varepsilon/3$ » : pour $x$ proche de $a$,
  $$\lvert f(x)-f(a)\rvert\leq\lvert f(x)-f_N(x)\rvert+\lvert f_N(x)-f_N(a)\rvert+\lvert f_N(a)-f(a)\rvert,$$
  les deux termes extrêmes sont $<\varepsilon/3$ par la convergence uniforme (un même $N$ pour tous les points), le terme central par la continuité de $f_N$. Contraposée, très utilisée : si la limite simple est discontinue, la convergence n'est pas uniforme ($x^n$ sur $[0,1]$, $\arctan(nx)$ sur $\mathbb{R}$).
• Caractère borné. Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée ; mieux, les $f_n$ sont uniformément bornées à partir d'un rang. En convergence simple, non : $f_n(x)=\dfrac{nx}{n+x}$ sur $[0,+\infty[$ est bornée par $n$ et tend simplement vers $x$, non bornée.
• Intégrale sur un segment. Si les $f_n$ sont continues sur $[a,b]$ et convergent uniformément vers $f$, alors
  $$\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x\ \longrightarrow\ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x,$$
  parce que
  $$\left\lvert\int_a^bf_n-\int_a^bf\right\rvert\leq\int_a^b\lvert f_n-f\rvert\leq(b-a)\,\lVert f_n-f\rVert_\infty.$$
  On peut intervertir limite et intégrale. ⚠️ Sur un segment seulement : la longueur $(b-a)$ est dans la majoration.
• Sans convergence uniforme, l'interversion peut échouer. La bosse glissante $f_n(x)=nxe^{-nx^2}$ sur $[0,1]$ tend simplement vers $0$, mais $\int_0^1f_n=\dfrac{1-e^{-n}}2\to\dfrac12\neq0$. La bosse monte (son sommet vaut $\sqrt{n/(2e)}$) en se rapprochant de $0$ : elle finit par quitter tout point fixé, sans jamais perdre son aire.

• Dérivée. La convergence uniforme de $(f_n)$ ne dit rien de $(f_n')$ : $\sqrt{x^2+1/n}\to\lvert x\rvert$ uniformément, et la limite n'est pas dérivable en $0$ ; $\dfrac{\sin(nx)}{\sqrt n}\to0$ uniformément, et les dérivées $\sqrt n\cos(nx)$ divergent. Le bon théorème porte sur les dérivées : si les $f_n$ sont $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I$, si $(f_n')$ converge uniformément sur $I$ vers $g$ et si $(f_n(x_0))$ converge en un point $x_0$, alors $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$, et $f'=g$. Il est démontré en approfondissement (section C).

E. Séries de fonctions

• Vocabulaire. Une série de fonctions $\sum u_n$ est la suite de ses sommes partielles $S_N=\sum_{n\leq N}u_n$. Elle converge simplement sur $I$ si $S_N$ converge simplement (la somme $S(x)=\sum u_n(x)$ est alors définie point par point), uniformément si $S_N$ converge uniformément vers $S$, c'est-à-dire si le reste $R_N=S-S_N=\sum_{n>N}u_n$ vérifie $\lVert R_N\rVert_\infty\to0$.
• Convergence normale. $\sum u_n$ converge normalement sur $I$ si la série numérique $\sum\lVert u_n\rVert_\infty$ converge. En pratique — le test de Weierstrass — il suffit de trouver des nombres $M_n\geq0$ avec $\lvert u_n(x)\rvert\leq M_n$ pour tout $x\in I$ et $\sum M_n<+\infty$.
• Normale entraîne uniforme entraîne simple. Si $\sum\lVert u_n\rVert_\infty$ converge, alors pour tout $x$ la série $\sum u_n(x)$ converge absolument, et le reste est majoré uniformément :
  $$\lvert R_N(x)\rvert=\Bigl\lvert\sum_{n>N}u_n(x)\Bigr\rvert\leq\sum_{n>N}\lVert u_n\rVert_\infty\ \xrightarrow[N\to\infty]{}\ 0,$$
  le majorant ne dépendant pas de $x$. Aucune réciproque n'est vraie : $\sum\dfrac{(-1)^n}{n+x}$ converge uniformément sur $[0,+\infty[$ (reste majoré par $\tfrac1{n+1}$, critère de Leibniz appliqué uniformément) sans converger normalement ($\lVert u_n\rVert_\infty=\tfrac1n$, série harmonique).
• Ce que la convergence uniforme transmet à la somme. Ce sont les théorèmes de B appliqués à $S_N$ : si les $u_n$ sont continues et si $\sum u_n$ converge uniformément sur $I$, la somme $S$ est continue sur $I$ ; si de plus $I=[a,b]$ est un segment, on peut intégrer terme à terme :
  $$\int_a^b\Bigl(\sum_{n}u_n(x)\Bigr)\mathrm{d}x=\sum_{n}\int_a^bu_n(x)\,\mathrm{d}x.$$
• La fonction $\zeta$. $\zeta(x)=\sum_{n\geq1}\dfrac1{n^x}$ est définie pour $x>1$. Sur $[a,+\infty[$ avec $a>1$, $\lVert n^{-x}\rVert_\infty=n^{-a}$, terme d'une série de Riemann convergente : convergence normale sur tout $[a,+\infty[$, donc $\zeta$ est continue sur $]1,+\infty[$. Mais sur $]1,+\infty[$ tout entier, $\sup_{x>1}n^{-x}=\tfrac1n$ : pas de convergence normale — et pas de convergence uniforme non plus (exercices E2 et D1). La convergence est uniforme sur tout segment, ce qui suffit à la continuité, puisque celle-ci est une propriété locale.
• Trois autres exemples à connaître. $\sum\dfrac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ ($\lVert u_n\rVert_\infty=\tfrac1{n^2}$) : sa somme est continue et $2\pi$-périodique. $\sum e^{-nx}$ converge normalement sur $[a,+\infty[$ pour tout $a>0$ (série géométrique de raison $e^{-a}$), de somme $\dfrac1{e^x-1}$, mais pas sur $]0,+\infty[$ ($\lVert e^{-nx}\rVert_\infty=1$). $\sum x^2e^{-nx}$ converge normalement sur $[0,+\infty[$ : le sup de $x^2e^{-nx}$ est atteint en $x=\tfrac2n$ et vaut $\dfrac{4e^{-2}}{n^2}$.
• Où mène ce chapitre. Une série entière $\sum a_nx^n$ converge normalement sur tout segment $[-r,r]$ inclus dans son intervalle de convergence, ce qui donne la continuité de sa somme : c'est exactement la théorie d'ici appliquée à $u_n(x)=a_nx^n$. Le chapitre Séries entières en est la suite naturelle.