Exercices corrigés — Analyse complexe

Développer $(x+iy)^2$ et séparer partie réelle / imaginaire.

Conditions : $P_x=Q_y$ et $P_y=-Q_x$.

$f'(z)=P_x+iQ_x$.

$z^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$, donc $P=x^2-y^2$, $Q=2xy$.

$P_x=2x$, $Q_y=2x$ : égaux ✓. $P_y=-2y$, $Q_x=2y$, donc $P_y=-Q_x$ ✓. Holomorphe partout.

$f'(z)=P_x+iQ_x=2x+i\,2y=2(x+iy)=2z$.

$\overline z=x-iy$ : identifier $P$ et $Q$.

Tester la première condition $P_x=Q_y$.

Si une condition est violée partout, $f$ n'est holomorphe nulle part.

$\overline z=x+i(-y)$, donc $P=x$, $Q=-y$.

$P_x=1$ mais $Q_y=-1$ : $P_x\neq Q_y$ en tout point. La condition est violée partout.

$|z|^2=x^2+y^2$ (réelle, donc $Q=0$) ; $\operatorname{Re}(z)=x$.

Tester $P_x=Q_y$ et $P_y=-Q_x$.

Une dérivabilité ponctuelle ne suffit pas : holomorphe = dérivable sur un OUVERT.

$P=x^2+y^2$, $Q=0$ : $P_x=2x$, $Q_y=0$ → $2x=0$ exige $x=0$ ; $P_y=2y$, $-Q_x=0$ → $y=0$. Les deux ne tiennent qu'au seul point $z=0$.

Dérivable seulement en $0$, donc holomorphe nulle part (aucun ouvert).

$P=x$, $Q=0$ : $P_x=1\neq Q_y=0$ partout → holomorphe nulle part.

$(x+iy)^3=x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3$.

$i^2=-1$, $i^3=-i$.

$f'(z)=P_x+iQ_x$.

$z^3=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)$, donc $P=x^3-3xy^2$, $Q=3x^2y-y^3$.

$P_x=3x^2-3y^2=Q_y$ ✓ ; $P_y=-6xy$ et $-Q_x=-6xy$ ✓.

$f'(z)=P_x+iQ_x=(3x^2-3y^2)+i\,6xy=3(x^2-y^2+2ixy)=3z^2$.

Harmonique : $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$.

Cauchy-Riemann : $v_y=u_x$ et $v_x=-u_y$.

Intégrer pour reconstituer $v$, puis identifier $u+iv$.

$u_{xx}=2$, $u_{yy}=-2$, donc $\Delta u=2-2=0$ ✓ : $u$ est harmonique.

$v_x=-u_y=2y$ et $v_y=u_x=2x$. De $v_x=2y$ : $v=2xy+\varphi(y)$ ; alors $v_y=2x+\varphi'(y)=2x$ donne $\varphi'=0$. Donc $v=2xy$ (à une constante près).

$f=u+iv=(x^2-y^2)+i\,2xy=(x+iy)^2=z^2$.

$P=e^x\cos y$, $Q=e^x\sin y$.

Vérifier $P_x=Q_y$ et $P_y=-Q_x$.

$(e^z)'=P_x+iQ_x$.

$P_x=e^x\cos y$, $Q_y=e^x\cos y$ ✓. $P_y=-e^x\sin y$, $-Q_x=-e^x\sin y$ ✓. Vrai sur tout $\mathbb C$ : $e^z$ est entière.

$(e^z)'=P_x+iQ_x=e^x\cos y+i\,e^x\sin y=e^x(\cos y+i\sin y)=e^z$.

$\operatorname{Log} z=\ln|z|+i\arg z$ avec $\arg z\in\,]-\pi,\pi]$.

$|-1|=1$, $\arg(-1)=\pi$ ; $|i|=1$, $\arg(i)=\tfrac\pi2$.

$|1+i|=\sqrt2$, $\arg(1+i)=\tfrac\pi4$.

$\operatorname{Log}(-1)=\ln1+i\pi=i\pi$.

$\operatorname{Log}(i)=\ln1+i\tfrac\pi2=i\tfrac\pi2$.

$\operatorname{Log}(1+i)=\ln\sqrt2+i\tfrac\pi4=\tfrac12\ln2+i\tfrac\pi4$.

$i^{\,i}=e^{i\operatorname{Log} i}$ avec $\operatorname{Log} i=i\tfrac\pi2$.

$i\cdot i\tfrac\pi2=-\tfrac\pi2$.

$(1+i)^2$ et $(1+i)^3$ par calcul direct ($i^2=-1$).

$i^{\,i}=e^{i\operatorname{Log} i}=e^{i\cdot i\pi/2}=e^{-\pi/2}\approx0{,}208$ : réel positif.

$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$ ; $(1+i)^3=(1+i)(2i)=2i+2i^2=-2+2i$.

$z=e^{i\theta}$ $\Longrightarrow$ $dz=i\,e^{i\theta}\,d\theta$.

$\displaystyle\oint z^n dz=\int_0^{2\pi} e^{in\theta}\,i\,e^{i\theta}\,d\theta=i\int_0^{2\pi} e^{i(n+1)\theta}\,d\theta$.

$\int_0^{2\pi}e^{ik\theta}d\theta=0$ si $k\neq0$, $=2\pi$ si $k=0$.

$\displaystyle\oint z^n\,dz=i\int_0^{2\pi} e^{i(n+1)\theta}\,d\theta$.

Si $n\neq-1$ : $\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)\theta}d\theta=0$, donc l'intégrale vaut $0$. Si $n=-1$ : l'intégrande est $i$, et $\displaystyle\oint=i\cdot2\pi=2i\pi$.

$\displaystyle\oint\frac{dz}z=2i\pi$ ($n=-1$) ; $\displaystyle\oint z^2\,dz=0$ ($n=2$).

$z^2$ admet la primitive holomorphe $F(z)=\tfrac{z^3}3$ sur $\mathbb C$.

$\displaystyle\int_\gamma f\,dz=F(\text{fin})-F(\text{début})$.

$(1+i)^3=-2+2i$ (cf. B2).

$F(z)=\dfrac{z^3}3$, $F'=z^2$, holomorphe sur $\mathbb C$ (simplement connexe).

$\displaystyle\int_\gamma z^2\,dz=F(1+i)-F(0)=\frac{(1+i)^3}3=\frac{-2+2i}3$.

$\displaystyle\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz=2i\pi\,f(a)$ si $a$ est à l'intérieur de $\gamma$.

Ici $f(z)=e^z$ (holomorphe partout) et $a=1$.

$a=1$ est bien dans le disque $|z|<2$.

$f(z)=e^z$, $a=1$, et $|1|=1<2$ : le pôle est enfermé.

$\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1}\,dz=2i\pi\,f(1)=2i\pi\,e^1$.

Pour $\tfrac{e^z}{z^2}$ : $a=0$, $n+1=2$ donc $n=1$, $f=e^z$.

Pour $\tfrac{\cos z}{z^3}$ : $a=0$, $n+1=3$ donc $n=2$, $f=\cos z$.

$f'(0)$ puis $f''(0)$.

$n=1$, $f=e^z$, $f'(0)=1$ : $\displaystyle\oint=\frac{2i\pi}{1!}f'(0)=2i\pi$.

$n=2$, $f=\cos z$, $f''=-\cos z$, $f''(0)=-1$ : $\displaystyle\oint=\frac{2i\pi}{2!}f''(0)=\frac{2i\pi}{2}(-1)=-i\pi$.

Identifier $P=x^2-y^2$, $Q=2xy$.

Vérifier $P_x=Q_y$ et $P_y=-Q_x$.

$P+iQ$ se reconnaît comme une puissance de $z$.

$P_x=2x=Q_y$ ✓ ; $P_y=-2y=-Q_x$ ✓ : holomorphe partout.

$P+iQ=x^2-y^2+2ixy=(x+iy)^2=z^2$, donc $f(z)=z^2$ et $f'(z)=2z$.

$e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)$.

$\cos\tfrac\pi2=0$, $\sin\tfrac\pi2=1$.

$\operatorname{Log} z=\ln|z|+i\arg z$ ; $|-e|=e$, $\arg(-e)=\pi$.

$e^{1+i\pi/2}=e^1(\cos\tfrac\pi2+i\sin\tfrac\pi2)=e\,(0+i)=ei$.

$\operatorname{Log}(-e)=\ln e+i\pi=1+i\pi$.

Résultat fondamental : $\oint_{|z|=1}z^n\,dz=2i\pi$ si $n=-1$, $0$ sinon.

$\tfrac1z=z^{-1}$ $\Longrightarrow$ $n=-1$.

$z^3$ $\Longrightarrow$ $n=3\neq-1$.

$n=-1$ : $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}z=2i\pi$.

$n=3$ : $\displaystyle\oint_{|z|=1} z^3\,dz=0$ (le monôme $z^3$ a une primitive $\tfrac{z^4}4$).

$\cos z$ est entière, primitive $\sin z$.

$\displaystyle\int_0^i\cos z\,dz=[\sin z]_0^i=\sin i$.

$\sin i=\dfrac{e^{i\cdot i}-e^{-i\cdot i}}{2i}=\dfrac{e^{-1}-e}{2i}=i\sinh1$.

$\displaystyle\int_0^i\cos z\,dz=[\sin z]_0^i=\sin i-\sin0=\sin i$.

$\sin i=\dfrac{e^{-1}-e}{2i}=i\,\dfrac{e-e^{-1}}2=i\sinh1$.

Formule de Cauchy : $\oint_\gamma\tfrac{f(z)}{z-a}dz=2i\pi f(a)$ si $a$ enfermé.

$f(z)=z$, $a=2$, et $|2|=2<3$.

$f(2)=2$.

$f(z)=z$ (holomorphe), $a=2$ dans $|z|<3$.

$\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{z}{z-2}\,dz=2i\pi\,f(2)=2i\pi\cdot2=4i\pi$.

$\oint_\gamma\tfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz=\tfrac{2i\pi}{n!}f^{(n)}(a)$.

Ici $a=0$, $n+1=2$ $\Longrightarrow$ $n=1$, $f=e^z$.

$f'(0)=e^0=1$.

$a=0$, $n=1$, $f=e^z$, $f'(z)=e^z$, $f'(0)=1$.

$\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^2}\,dz=\frac{2i\pi}{1!}f'(0)=2i\pi$.