Exercices corrigés — Analyse complexe

Développer $(x+iy)^2$ et séparer partie réelle / imaginaire.

Conditions : $P_x=Q_y$ et $P_y=-Q_x$.

$f'(z)=P_x+iQ_x$.

Poser $z=x+iy$ et développer :

On lit donc

⚠️ Le seul piège du calcul est $i^2=-1$, qui fait passer $y^2$ de l'imaginaire au réel avec un signe moins. C'est lui qui produit le $-y^2$ dans $P$.

👉 Contrôle immédiat : en $y=0$ (l'axe réel), on doit retrouver $f(x)=x^2$. Ici $P(x,0)=x^2$ et $Q(x,0)=0$ ✓

Ce qu'elles disent. Une fonction $f=P+iQ$ dérivable au sens complexe doit avoir la même dérivée quelle que soit la direction d'approche. En comparant l'approche horizontale et l'approche verticale, on obtient deux égalités :

👉 C'est là que réside toute la différence avec $\mathbb{R}^2$ : dans le plan réel, $P$ et $Q$ sont indépendantes. L'holomorphie les couple.

Les quatre dérivées partielles :

Première condition : $\dfrac{\partial P}{\partial x}=2x$ et $\dfrac{\partial Q}{\partial y}=2x$ — égales ✓

Seconde condition : $\dfrac{\partial P}{\partial y}=-2y$ et $-\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-2y$ — égales ✓

Les deux sont vérifiées pour tout $(x,y)$, sans restriction : $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$ tout entier. On dit qu'elle est entière.

Quand Cauchy-Riemann est vérifiée, la dérivée se lit sur l'approche horizontale :

ℹ️ On aurait pu prendre l'approche verticale, $f'=\dfrac{\partial Q}{\partial y}-i\dfrac{\partial P}{\partial y}=2x-i(-2y)=2x+2iy$ — le même résultat. C'est exactement ce que garantit Cauchy-Riemann, et c'est un bon contrôle : si les deux formules divergeaient, il y aurait une erreur de calcul quelque part.

👉 On retrouve la formule réelle $(x^2)'=2x$, transposée telle quelle. Ce n'est pas un hasard : toute fonction donnée par une formule polynomiale en $z$ (sans $\bar z$) se dérive comme dans $\mathbb{R}$.

👉 Une fonction s'exprimant uniquement à l'aide de $z$ — sans $\bar z$, sans $\lvert z\rvert$, sans $\operatorname{Re}$ ni $\operatorname{Im}$ — est automatiquement holomorphe là où elle est définie, et se dérive avec les règles usuelles.

Ici $f(z)=z^2$ ne fait intervenir que $z$ : l'holomorphie était acquise d'avance, et $f'=2z$ aussi.

⚠️ Alors pourquoi faire le calcul ? Parce que Cauchy-Riemann est l'outil de détection : c'est lui qui tranche dans les cas douteux, où l'expression mélange $z$ et $\bar z$ sans qu'on le voie. Les exercices A2 et A3 sont exactement ces cas — et là, la règle ci-dessus ne dit rien tant qu'on n'a pas réécrit l'expression.

ℹ️ Le dictionnaire à connaître : $x=\dfrac{z+\bar z}{2}$, $y=\dfrac{z-\bar z}{2i}$, $\lvert z\rvert^2=z\bar z$. Dès que $\bar z$ subsiste après réécriture, il faut s'attendre à un défaut d'holomorphie.

$\overline z=x-iy$ : identifier $P$ et $Q$.

Tester la première condition $P_x=Q_y$.

Si une condition est violée partout, $f$ n'est holomorphe nulle part.

Donc

Les deux fonctions sont on ne peut plus régulières — polynomiales, de classe $C^\infty$. La régularité réelle n'est pas en cause, et c'est ce qui rend le résultat instructif.

La condition exige $\dfrac{\partial P}{\partial x}=\dfrac{\partial Q}{\partial y}$, c'est-à-dire

ce qui est faux, et faux partout : l'égalité ne dépend d'aucun point, il n'y a donc aucun $(x,y)$ où elle pourrait tenir.

ℹ️ La seconde condition, elle, est satisfaite : $\dfrac{\partial P}{\partial y}=0$ et $-\dfrac{\partial Q}{\partial x}=0$. Cela ne sauve rien — il faut les deux.

👉 Comparez avec A3, où la première condition donne $2x=0$ : là, elle est fausse presque partout mais vraie sur toute la droite $x=0$ — et c'est avec la seconde ($2y=0$) qu'il ne reste qu'un point. Ici elle est fausse partout, parce qu'aucune variable n'y figure. C'est la différence entre « nulle part » et « en un seul point ».

Sans Cauchy-Riemann, on peut voir l'échec sur le taux d'accroissement. En $z_0$ :

Faisons tendre $h$ vers $0$ par deux chemins :

• $h=t$ réel, $t\to 0$ : alors $\bar h=t$ et le rapport vaut $\dfrac{t}{t}=1$ ;
• $h=it$ imaginaire pur, $t\to 0$ : alors $\bar h=-it$ et le rapport vaut $\dfrac{-it}{it}=-1$.

donc la limite n'existe pas : $f$ n'est dérivable en aucun point. ✓

👉 Les deux chemins donnent exactement les deux membres de la condition qui échoue. Ce n'est pas une coïncidence : Cauchy-Riemann n'est rien d'autre que l'écriture de cette comparaison, une fois pour toutes.

$\bar z$ est l'obstruction type à l'holomorphie. Toute la théorie s'organise autour de ce constat :

👉 La règle pratique : réécrire la fonction en $z$ et $\bar z$, puis regarder où le $\bar z$ « disparaît ». S'il ne disparaît nulle part, la fonction n'est holomorphe nulle part.

ℹ️ C'est aussi ce qui explique la rigidité des fonctions holomorphes — analyticité, principe du maximum, théorème de Liouville. Une contrainte forte sur $P$ et $Q$ a de fortes conséquences. Rien de tel n'existe pour les fonctions de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$, où $\bar z$ est parfaitement acceptable.

$|z|^2=x^2+y^2$ (réelle, donc $Q=0$) ; $\operatorname{Re}(z)=x$.

Tester $P_x=Q_y$ et $P_y=-Q_x$.

Une dérivabilité ponctuelle ne suffit pas : holomorphe = dérivable sur un OUVERT.

Les conditions de Cauchy-Riemann :

Les deux ne tiennent simultanément qu'en $(0,0)$.

C'est le piège de l'exercice, et il est de vocabulaire.

Holomorphe en $z_0$ signifie : dérivable en $z_0$ et dans tout un voisinage de $z_0$.

Or ici, tout disque centré en $0$, si petit soit-il, contient des points $\neq 0$ où $f$ n'est pas dérivable. Donc

👉 La bonne réponse à « où $\lvert z\rvert^2$ est-elle holomorphe ? » est donc nulle part, et la bonne réponse à « où est-elle dérivable ? » est en $0$ seulement. Répondre « holomorphe en $0$ » est l'erreur classique.

ℹ️ Cette distinction n'a pas d'équivalent en analyse réelle, où l'on parle librement de dérivabilité ponctuelle. En complexe, presque tous les théorèmes (Cauchy, analyticité, résidus) demandent l'holomorphie sur un ouvert — la dérivabilité en un point isolé n'en active aucun.

C'est $1=0$ : faux partout, comme pour $\bar z$ en A2. Aucune variable n'y figure, donc aucun point ne peut la satisfaire.

Réécrivons avec le dictionnaire $x=\dfrac{z+\bar z}{2}$ et $\lvert z\rvert^2=z\bar z$ :

👉 La règle, formulée proprement : écrire $f$ en fonction de $z$ et $\bar z$, puis calculer $\dfrac{\partial f}{\partial\bar z}$. La fonction est dérivable exactement là où cette dérivée s'annule.

ℹ️ Cet opérateur $\partial/\partial\bar z$ est celui de Wirtinger, et « $\partial f/\partial\bar z=0$ » est exactement Cauchy-Riemann sous forme condensée. Une fonction holomorphe est donc, littéralement, une fonction qui ne dépend pas de $\bar z$.

$(x+iy)^3=x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3$.

$i^2=-1$, $i^3=-i$.

$f'(z)=P_x+iQ_x$.

Traitons les puissances de $i$ une par une : $i^2=-1$ et $i^3=-i$. Donc

👉 Deux contrôles gratuits : en $y=0$ on doit retrouver $x^3$ — c'est le cas, $P(x,0)=x^3$ et $Q(x,0)=0$ ✓ ; et en $x=0$, $z=iy$ donne $z^3=-iy^3$, soit $P=0$ et $Q=-y^3$ ✓

Première condition : $\dfrac{\partial P}{\partial x}=3x^2-3y^2$ et $\dfrac{\partial Q}{\partial y}=3x^2-3y^2$ — égales ✓

Seconde condition : $\dfrac{\partial P}{\partial y}=-6xy$ et $-\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-6xy$ — égales ✓

Vraies pour tout $(x,y)$ : $z^3$ est entière.

Reste à reconnaître $3z^2$. Développons de l'autre côté :

👉 Ce recoupement — développer les deux côtés et comparer terme à terme — est le contrôle à faire systématiquement. Il attrape les erreurs de signe sur $i^2$ et $i^3$, qui sont les plus fréquentes de tout le chapitre.

ℹ️ On voit se dessiner la règle générale $(z^n)'=nz^{n-1}$, identique au cas réel. La vérifier par Cauchy-Riemann sur $n=2$ et $n=3$ n'est pas inutile : c'est ce qui justifie de l'employer ensuite sans y revenir.

Un fait remarquable, qu'on exploitera en A5 : la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction holomorphe sont toujours harmoniques, c'est-à-dire de laplacien nul.

Vérifions sur $P=x^3-3xy^2$ :

Et sur $Q=3x^2y-y^3$ :

👉 La raison tient en deux lignes, à partir de Cauchy-Riemann : $\dfrac{\partial^2P}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial Q}{\partial y}$ et $\dfrac{\partial^2P}{\partial y^2}=-\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{\partial Q}{\partial x}$. Les deux se compensent par égalité des dérivées croisées (Schwarz).

⚠️ La réciproque demande une précaution : une fonction harmonique est la partie réelle d'une fonction holomorphe, mais ce n'est garanti que sur un domaine simplement connexe. Sur une couronne, $\ln\lvert z\rvert$ est harmonique sans avoir de conjuguée globale — l'argument y est multiforme.

Harmonique : $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$.

Cauchy-Riemann : $v_y=u_x$ et $v_x=-u_y$.

Intégrer pour reconstituer $v$, puis identifier $u+iv$.

Le laplacien est la somme des deux dérivées secondes :

$u$ est harmonique ✓

👉 Cette vérification n'est pas une formalité : c'est une condition nécessaire pour qu'une conjuguée existe. Si $\Delta u\neq 0$, la recherche de $v$ échouerait — et échouerait de façon détectable, par une incompatibilité entre les deux équations du pas suivant.

On cherche $v$ telle que $f=u+iv$ soit holomorphe. Cauchy-Riemann donne deux équations, et la méthode consiste à les intégrer l'une après l'autre.

Première équation :

On intègre en $y$, $x$ étant traité comme une constante :

où $\varphi$ est une fonction de $x$ seul — c'est la « constante » d'intégration, qui n'est constante que vis-à-vis de $y$.

⚠️ Écrire $+C$ au lieu de $+\varphi(x)$ est l'erreur classique : on perdrait toute une famille de solutions, et la seconde équation n'aurait plus rien à déterminer.

Seconde équation :

Or en dérivant l'expression trouvée : $\dfrac{\partial v}{\partial x}=2y+\varphi'(x)$. En comparant :

Le début est exactement le développement de $z^2$ obtenu en A1 :

En choisissant $C=0$ :

👉 Comment reconnaître une fonction à partir de $P+iQ$ ? Le réflexe est de poser $y=0$, ce qui donne $z=x$ réel :

Sur l'axe réel, $f$ coïncide donc avec $x\mapsto x^2$. Comme deux fonctions holomorphes qui coïncident sur une droite coïncident partout (principe des zéros isolés), $f(z)=z^2$ — sans avoir à deviner.

ℹ️ Cette astuce marche à tous les coups sur ce type d'exercice : remplacer $x$ par $z$ et $y$ par $0$, puis identifier la fonction réelle obtenue.

⚠️ $C$ n'est pas une négligence : la conjuguée harmonique n'est déterminée qu'à une constante réelle près. Toutes les $f(z)=z^2+iC$ sont holomorphes de partie réelle $u$.

C'est cohérent avec le fait qu'ajouter une constante ne change pas les dérivées partielles, donc ne change rien à Cauchy-Riemann.

👉 Contrôle final, toujours à faire : revérifier Cauchy-Riemann sur le couple obtenu.

ℹ️ Interprétation géométrique. Les courbes de niveau de $u$ et celles de $v$ se coupent à angle droit là où $f'\neq0$ — ici les hyperboles $x^2-y^2=a$ et $xy=b$. C'est une conséquence directe de Cauchy-Riemann : les gradients $\nabla u$ et $\nabla v$ sont orthogonaux et de même norme. Cette propriété est ce qui rend les fonctions holomorphes utiles en électrostatique et en mécanique des fluides, où $u$ et $v$ sont potentiel et lignes de champ.

$P=e^x\cos y$, $Q=e^x\sin y$.

Vérifier $P_x=Q_y$ et $P_y=-Q_x$.

$(e^z)'=P_x+iQ_x$.

👉 D'où sort cette formule ? On veut prolonger l'exponentielle réelle en conservant $e^{a+b}=e^ae^b$. Alors $e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$, et la formule d'Euler donne $e^{iy}=\cos y+i\sin y$. Le reste suit.

On lit donc

Contrôle : en $y=0$, $P=e^x$ et $Q=0$ — on retrouve bien l'exponentielle réelle ✓

Première condition : $\dfrac{\partial P}{\partial x}=e^x\cos y=\dfrac{\partial Q}{\partial y}$ ✓

Seconde condition : $\dfrac{\partial P}{\partial y}=-e^x\sin y$ et $-\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-e^x\sin y$ ✓

Vraies partout, et les dérivées partielles sont continues : $e^z$ est entière.

👉 Remarquez la mécanique : dériver en $x$ laisse $e^x$ inchangé, dériver en $y$ fait tourner le couple $(\cos,\sin)$. Les deux conditions expriment que ces deux effets se correspondent exactement — c'est la même raison qui fait que $e^{iy}$ parcourt le cercle à vitesse constante.

L'exponentielle complexe est donc, comme la réelle, sa propre dérivée. ✓

1. Elle est périodique, de période $2i\pi$ :

C'est la différence la plus lourde de conséquences : elle interdit toute inverse globale, et c'est pour cela que le logarithme complexe doit être découpé en branches (exercice B1).

2. Elle n'est pas injective. Conséquence directe de la périodicité : $e^0=e^{2i\pi}=1$.

3. Elle ne s'annule jamais, mais prend toute autre valeur complexe :

👉 Sur $\mathbb{R}$, l'exponentielle ne prend que des valeurs positives. Sur $\mathbb{C}$ elle atteint tout le plan privé de l'origine — un exemple frappant du théorème de Picard, selon lequel une fonction entière non polynomiale prend toute valeur complexe, à une exception près au plus.

ℹ️ En particulier $e^{i\pi}=-1$ : une exponentielle négative, ce qui est impossible dans le monde réel.

Écrire $e^z=e^x\,e^{iy}$ sépare les deux rôles :

👉 La partie réelle de $z$ pilote le module, la partie imaginaire pilote l'angle. Une fois cela en tête, la plupart des calculs du chapitre se font sans formule.

⚠️ La dernière ligne est la seule façon dont $e^z$ « approche » $0$, et elle demande $x\to-\infty$. Sur toute bande verticale bornée, $\lvert e^z\rvert$ reste minoré : l'exponentielle ne s'annule jamais, ce qui garantit que $e^z$ n'efface aucun pôle quand elle apparaît au numérateur (elle ne peut compenser aucun zéro du dénominateur) — fait qu'on utilisera sans cesse dans les lots C et D.

$\operatorname{Log} z=\ln|z|+i\arg z$ avec $\arg z\in\,]-\pi,\pi]$.

$|-1|=1$, $\arg(-1)=\pi$ ; $|i|=1$, $\arg(i)=\tfrac\pi2$.

$|1+i|=\sqrt2$, $\arg(1+i)=\tfrac\pi4$.

On voudrait poser $\log w=z$ dès que $e^z=w$. Le problème est que $e^z$ est $2i\pi$-périodique (A6) : si $z$ convient, alors $z+2ik\pi$ convient aussi, pour tout $k\in\mathbb{Z}$.

Le logarithme complexe est donc multiforme — une infinité de valeurs pour un même $w$. Pour en faire une fonction, on choisit une valeur, et le choix standard est de prendre l'argument dans $]-\pi,\pi]$ :

⚠️ Deux logarithmes cohabitent dans la formule et il ne faut pas les confondre : $\ln\lvert z\rvert$ est le logarithme réel du module (un nombre réel), $\arg z$ est l'angle. Le résultat est complexe.

👉 La méthode est donc toujours la même en deux temps : le module, puis l'argument.

Module : $\lvert-1\rvert=1$, donc $\ln\lvert-1\rvert=\ln 1=0$.

Argument : $-1$ est sur l'axe réel négatif, donc $\arg(-1)=\pi$. C'est bien dans $]-\pi,\pi]$ — la borne $\pi$ est incluse, c'est précisément ce cas qu'elle sert à couvrir.

👉 Un nombre négatif a donc un logarithme, ce qui est impossible sur $\mathbb{R}$. C'est le gain de l'extension complexe.

Contrôle : $e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$ ✓

Module : $\lvert i\rvert=1$, donc $\ln 1=0$.

Argument : $i$ est sur l'axe imaginaire positif, $\arg i=\dfrac{\pi}{2}$.

Contrôle : $e^{i\pi/2}=\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2=i$ ✓

Module : $\lvert 1+i\rvert=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, donc

Argument : $1+i$ est dans le premier quadrant avec parties réelle et imaginaire égales, donc sur la bissectrice : $\arg(1+i)=\dfrac{\pi}{4}$.

Contrôle : $e^{\frac12\ln 2}\big(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\big)=\sqrt2\Big(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\Big)=1+i$ ✓

ℹ️ Le contrôle par $e^{\operatorname{Log} z}=z$ doit être fait à chaque fois : il coûte trois lignes et attrape aussi bien une erreur de module qu'une erreur de quadrant.

1. L'argument dépend du QUADRANT, pas seulement du quotient. La formule $\arctan(y/x)$ ne suffit pas : $\arctan$ rend une valeur dans $]-\frac\pi2,\frac\pi2[$ et ne distingue pas $1+i$ de $-1-i$, qui ont le même quotient $y/x=1$.

👉 Toujours placer le point dans le plan avant de conclure.

2. $\operatorname{Log}$ n'est PAS continu sur $\mathbb{R}^-$. En approchant $-1$ par en haut, l'argument tend vers $\pi$ ; par en bas, vers $-\pi$. Il y a un saut de $2\pi$.

⚠️ Et la propriété $\log(ab)=\log a+\log b$ n'est plus toujours vraie. Contre-exemple : $\operatorname{Log}(-1)+\operatorname{Log}(-1)=2i\pi$, alors que $\operatorname{Log}\big((-1)^2\big)=\operatorname{Log}(1)=0$. L'égalité n'est vraie qu'à $2ik\pi$ près.

$i^{\,i}=e^{i\operatorname{Log} i}$ avec $\operatorname{Log} i=i\tfrac\pi2$.

$i\cdot i\tfrac\pi2=-\tfrac\pi2$.

$(1+i)^2$ et $(1+i)^3$ par calcul direct ($i^2=-1$).

👉 C'est une définition, pas un théorème : sur $\mathbb{C}$, « élever à la puissance » n'a pas de sens élémentaire quand l'exposant n'est pas entier. On la fabrique à partir de l'exponentielle et du logarithme, seuls objets déjà définis.

⚠️ Elle hérite donc de l'ambiguïté du logarithme : avec une autre branche, $z^a$ change de valeur. C'est pour cela qu'on précise « valeur principale » — celle obtenue avec $\operatorname{Log}$.

Appliquons la définition avec $z=i$ et $a=i$. On a besoin de $\operatorname{Log}(i)=\dfrac{i\pi}{2}$, calculé en B1(b).

👉 Le pas décisif est $i\cdot i=i^2=-1$, qui transforme un exposant imaginaire pur en exposant réel négatif. C'est ce qui rend le résultat réel — un nombre imaginaire élevé à une puissance imaginaire donne un réel, ce qui est le genre de résultat pour lequel on fait de l'analyse complexe.

ℹ️ « Le » n'est pas tout à fait exact : avec la branche $\arg i=\frac\pi2+2k\pi$, on obtiendrait $e^{-\pi/2-2k\pi}$. Il y a donc une infinité de valeurs, toutes réelles positives. $e^{-\pi/2}$ est la valeur principale.

⚠️ Pour un exposant entier, la définition par le logarithme est un détour inutile et risqué. On développe directement.