Exercices corrigés — Transformée en z

$X(z)=\displaystyle\sum_{n\ge0}\delta[n]\,z^{-n}$ : un seul terme non nul.

Pour $\delta[n]$, seul $n=0$ contribue : $z^0=1$.

Pour $\delta[n-3]$, seul $n=3$ contribue.

$\mathcal{Z}\{\delta[n]\}=\delta[0]z^0=1$.

$\mathcal{Z}\{\delta[n-3]\}=z^{-3}$.

$X(z)=\displaystyle\sum_{n\ge0}1\cdot z^{-n}=\sum_{n\ge0}\Big(\tfrac1z\Big)^n$.

Série géométrique de raison $1/z$, convergente pour $|z|>1$.

$\displaystyle\sum_{n\ge0}q^n=\dfrac1{1-q}$.

$X(z)=\displaystyle\sum_{n\ge0}\Big(\tfrac1z\Big)^n=\dfrac1{1-\tfrac1z}$.

$=\dfrac1{\tfrac{z-1}z}=\dfrac z{z-1}$.

$X(z)=\displaystyle\sum_{n\ge0}a^n z^{-n}=\sum_{n\ge0}\Big(\tfrac az\Big)^n$.

Série géométrique de raison $a/z$ (convergente pour $|z|>|a|$).

Simplifier comme pour l'échelon.

$\mathcal{Z}\{a^n\}=\dfrac1{1-\tfrac az}=\dfrac z{z-a}$.

$\mathcal{Z}\{2^n\}=\dfrac z{z-2}$ ; $\mathcal{Z}\{(\tfrac12)^n\}=\dfrac z{z-\tfrac12}=\dfrac{2z}{2z-1}$.

Table : $\mathcal{Z}\{n\}=\dfrac z{(z-1)^2}$, $\mathcal{Z}\{n^2\}=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$.

$\mathcal{Z}\{1\}=\mathcal{Z}\{u[n]\}=\dfrac z{z-1}$.

Linéarité pour $2n+1$.

$\mathcal{Z}\{n\}=\dfrac z{(z-1)^2}$, $\mathcal{Z}\{n^2\}=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$.

$\mathcal{Z}\{2n+1\}=2\cdot\dfrac z{(z-1)^2}+\dfrac z{z-1}=\dfrac{2z}{(z-1)^2}+\dfrac z{z-1}$.

Linéarité, terme par terme.

$\mathcal{Z}\{u[n]\}=\tfrac z{z-1}$, $\mathcal{Z}\{(\tfrac12)^n\}=\tfrac z{z-1/2}$, $\mathcal{Z}\{\delta[n]\}=1$.

Additionner avec les coefficients.

$X(z)=3\cdot\dfrac z{z-1}-2\cdot\dfrac z{z-\tfrac12}+1$.

Table : $\cos\to\dfrac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z\cos\omega+1}$, $\sin\to\dfrac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}$.

Pour $\omega=\tfrac\pi2$ : $\cos\tfrac\pi2=0$, $\sin\tfrac\pi2=1$.

Remplacer.

$\mathcal{Z}\{\cos\omega n\}=\dfrac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z\cos\omega+1}$, $\mathcal{Z}\{\sin\omega n\}=\dfrac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega+1}$.

$\cos\tfrac\pi2=0,\ \sin\tfrac\pi2=1$ : $\mathcal{Z}\{\cos\tfrac{\pi n}2\}=\dfrac{z^2}{z^2+1}$, $\mathcal{Z}\{\sin\tfrac{\pi n}2\}=\dfrac{z}{z^2+1}$.

Pour $u[n-2]$ : $x=u$, $X=\tfrac z{z-1}$, $k=2$.

$\mathcal{Z}\{u[n-2]\}=z^{-2}\cdot\tfrac z{z-1}$.

Pour $a^{n-1}u[n-1]$ : $x[n]=a^n$, $X=\tfrac z{z-a}$, $k=1$.

$\mathcal{Z}\{u[n-2]\}=z^{-2}\cdot\dfrac z{z-1}=\dfrac1{z(z-1)}$.

$\mathcal{Z}\{a^{n-1}u[n-1]\}=z^{-1}\cdot\dfrac z{z-a}=\dfrac1{z-a}$.

$\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=\displaystyle\sum_{n\ge0}x[n+1]z^{-n}$ : poser $m=n+1$.

$\displaystyle\sum_{m\ge1}x[m]z^{-(m-1)}=z\sum_{m\ge1}x[m]z^{-m}=z\big(X(z)-x[0]\big)$.

Pour $a^n$ : $X=\tfrac z{z-a}$, $x[0]=1$.

$\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=z\Big(\displaystyle\sum_{m\ge0}x[m]z^{-m}-x[0]\Big)=zX(z)-z\,x[0]$.

$\mathcal{Z}\{a^{n+1}\}=z\cdot\dfrac z{z-a}-z=\dfrac{z^2-z(z-a)}{z-a}=\dfrac{az}{z-a}$.

Pour $\mathcal{Z}\{a^n\}=\mathcal{Z}\{a^n\cdot u[n]\}$ : $X(z)=\tfrac z{z-1}$, remplacer $z$ par $z/a$.

Pour $a^n n$ : partir de $\mathcal{Z}\{n\}=\tfrac z{(z-1)^2}$.

Remplacer $z$ par $z/a$ et simplifier.

$\mathcal{Z}\{a^n\}=\dfrac{z/a}{z/a-1}=\dfrac z{z-a}$.

$\mathcal{Z}\{a^n n\}=\dfrac{z/a}{(z/a-1)^2}=\dfrac{(z/a)}{\tfrac{(z-a)^2}{a^2}}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$.

$\mathcal{Z}\{n\}=\mathcal{Z}\{n\cdot u[n]\}=-z\,X'(z)$ avec $X(z)=\tfrac z{z-1}$.

$X'(z)=\dfrac{(z-1)-z}{(z-1)^2}=\dfrac{-1}{(z-1)^2}$.

Pour $n\,a^n$ : repartir de $X=\tfrac z{z-a}$, $X'=\tfrac{-a}{(z-a)^2}$.

$\mathcal{Z}\{n\}=-z\cdot\dfrac{-1}{(z-1)^2}=\dfrac z{(z-1)^2}$.

$X'(z)=\dfrac{(z-a)-z}{(z-a)^2}=\dfrac{-a}{(z-a)^2}$, donc $\mathcal{Z}\{n a^n\}=-z\cdot\dfrac{-a}{(z-a)^2}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$.

$\mathcal{Z}\{n^2\}=\mathcal{Z}\{n\cdot n\}=-z\,\dfrac{d}{dz}\Big(\dfrac z{(z-1)^2}\Big)$.

Dériver $\dfrac z{(z-1)^2}$ : quotient.

$\dfrac{d}{dz}\Big(\dfrac z{(z-1)^2}\Big)=\dfrac{(z-1)^2-z\cdot2(z-1)}{(z-1)^4}=\dfrac{-(z+1)}{(z-1)^3}$.

$\dfrac{d}{dz}\Big(\dfrac z{(z-1)^2}\Big)=\dfrac{(z-1)-2z}{(z-1)^3}=\dfrac{-(z+1)}{(z-1)^3}$.

$\mathcal{Z}\{n^2\}=-z\cdot\dfrac{-(z+1)}{(z-1)^3}=\dfrac{z(z+1)}{(z-1)^3}$.

Formule $\mathcal{Z}\{n a^n\}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$.

Pour $2^n$ : $a=2$.

Pour $(\tfrac12)^n$ : $a=\tfrac12$.

$\mathcal{Z}\{n\,2^n\}=\dfrac{2z}{(z-2)^2}$.

$\mathcal{Z}\{n\,(\tfrac12)^n\}=\dfrac{\tfrac12 z}{(z-\tfrac12)^2}=\dfrac{z/2}{(z-\tfrac12)^2}$.

(a) ligne $a^n$ avec $a=3$.

(b) ligne $n$ (rampe).

(c) ligne $\delta[n-k]$ avec $k=4$.

$\mathcal{Z}^{-1}\Big\{\dfrac z{z-3}\Big\}=3^n$.

$\mathcal{Z}^{-1}\Big\{\dfrac z{(z-1)^2}\Big\}=n$.

$\mathcal{Z}^{-1}\{z^{-4}\}=\delta[n-4]$.

Décomposer $\dfrac{X(z)}z=\dfrac1{(z-1)(z-2)}=\dfrac A{z-1}+\dfrac B{z-2}$.

$A=\dfrac1{1-2}=-1$, $B=\dfrac1{2-1}=1$.

Remultiplier par $z$ puis lire la table.

$\dfrac1{(z-1)(z-2)}=\dfrac{-1}{z-1}+\dfrac1{z-2}$.

$X(z)=-\dfrac z{z-1}+\dfrac z{z-2}$.

$x[n]=-1+2^n=2^n-1$.

$\dfrac{X(z)}z=\dfrac1{(z-1)(z-3)}=\dfrac A{z-1}+\dfrac B{z-3}$.

$A=\dfrac1{1-3}=-\tfrac12$, $B=\dfrac1{3-1}=\tfrac12$.

Remultiplier par $z$ et inverser.

$\dfrac1{(z-1)(z-3)}=\dfrac{-1/2}{z-1}+\dfrac{1/2}{z-3}$.

$X(z)=-\dfrac12\cdot\dfrac z{z-1}+\dfrac12\cdot\dfrac z{z-3}\ \Rightarrow\ x[n]=\dfrac{3^n-1}2$.

$\dfrac{X(z)}z=\dfrac1{(z-1)^2(z-2)}=\dfrac A{z-1}+\dfrac B{(z-1)^2}+\dfrac C{z-2}$.

On trouve $A=-1$, $B=-1$, $C=1$.

Remultiplier par $z$ : termes $\tfrac z{z-1}\to1$, $\tfrac z{(z-1)^2}\to n$, $\tfrac z{z-2}\to2^n$.

$\dfrac1{(z-1)^2(z-2)}=\dfrac{-1}{z-1}+\dfrac{-1}{(z-1)^2}+\dfrac1{z-2}$.

$X(z)=-\dfrac z{z-1}-\dfrac z{(z-1)^2}+\dfrac z{z-2}$.

$x[n]=-1-n+2^n=2^n-n-1$.

Transformer : $\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=zX-z\,x[0]=zX-3z$.

L'équation devient $zX-3z=2X$.

Isoler $X$ puis inverser.

$zX(z)-3z=2X(z)$, donc $(z-2)X(z)=3z$.

$X(z)=\dfrac{3z}{z-2}$.

$x[n]=3\cdot2^n$.

$\mathcal{Z}\{x[n+1]\}=zX-z\,x[0]=zX$ ; $\mathcal{Z}\{1\}=\tfrac z{z-1}$.

$zX=\tfrac12 X+\tfrac z{z-1}$, donc $(z-\tfrac12)X=\tfrac z{z-1}$.

$X=\dfrac z{(z-1)(z-\tfrac12)}$ : décomposer $X/z$.

$X(z)=\dfrac z{(z-1)(z-\tfrac12)}$.

$\dfrac1{(z-1)(z-\tfrac12)}=\dfrac2{z-1}-\dfrac2{z-\tfrac12}$.

$X=\dfrac{2z}{z-1}-\dfrac{2z}{z-\tfrac12}\ \Rightarrow\ x[n]=2-2\left(\tfrac12\right)^n$.

Linéarité, terme par terme.

$\mathcal{Z}\{\delta[n]\}=1$, $\mathcal{Z}\{u[n]\}=\tfrac z{z-1}$, $\mathcal{Z}\{3^n\}=\tfrac z{z-3}$.

Additionner avec les bons signes.

$X(z)=2\cdot1+\dfrac z{z-1}-\dfrac z{z-3}$.

$\mathcal{Z}\{u[n]\}=\tfrac z{z-1}$.

$\mathcal{Z}\{u[n-3]\}=z^{-3}\cdot\tfrac z{z-1}$ (retard).

Soustraire.

$\mathcal{Z}\{u[n]\}=\dfrac z{z-1}$, $\mathcal{Z}\{u[n-3]\}=\dfrac{z^{-3}z}{z-1}=\dfrac{z^{-2}}{z-1}$.

$X(z)=\dfrac z{z-1}\big(1-z^{-3}\big)=\dfrac{z-z^{-2}}{z-1}$.

(a) ligne $a^n$ avec $a=\tfrac13$.

(b) ligne $n a^n=\dfrac{az}{(z-a)^2}$ : ici $a=2$.

Identifier $a$.

$\mathcal{Z}^{-1}\Big\{\dfrac z{z-\tfrac13}\Big\}=\left(\tfrac13\right)^n$.

$\dfrac{2z}{(z-2)^2}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$ avec $a=2$ : $\mathcal{Z}^{-1}=n\,2^n$.

$\dfrac{X(z)}z=\dfrac3{(z-1)(z+2)}=\dfrac A{z-1}+\dfrac B{z+2}$.

$A=\dfrac3{1+2}=1$, $B=\dfrac3{-2-1}=-1$.

Remultiplier par $z$ et inverser ($(-2)^n$).

$\dfrac3{(z-1)(z+2)}=\dfrac1{z-1}-\dfrac1{z+2}$.

$X(z)=\dfrac z{z-1}-\dfrac z{z+2}\ \Rightarrow\ x[n]=1-(-2)^n$.

$zX=\tfrac14 X+\tfrac{3z}{z-1}$.

$(z-\tfrac14)X=\tfrac{3z}{z-1}$, donc $X=\dfrac{3z}{(z-1)(z-\tfrac14)}$.

Méthode $X/z$.

$X(z)=\dfrac{3z}{(z-1)(z-\tfrac14)}$.

$\dfrac3{(z-1)(z-\tfrac14)}=\dfrac4{z-1}-\dfrac4{z-\tfrac14}$.

$x[n]=4-4\left(\tfrac14\right)^n=4\Big(1-\left(\tfrac14\right)^n\Big)$.

$\mathcal{Z}\{n a^n\}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$ avec $a=3$.

Pour le second : d'abord retard sur $u$, puis modulation, ou directement $\sum_{n\ge1}(\tfrac12)^n z^{-n}$.

$\sum_{n\ge1}q^n=\dfrac q{1-q}$ avec $q=\tfrac1{2z}$.

$\mathcal{Z}\{n\,3^n\}=\dfrac{3z}{(z-3)^2}$.

$\mathcal{Z}\{(\tfrac12)^n u[n-1]\}=\displaystyle\sum_{n\ge1}\Big(\tfrac1{2z}\Big)^n=\dfrac{\tfrac1{2z}}{1-\tfrac1{2z}}=\dfrac1{2z-1}$.