Exercices corrigés — Équations aux dérivées partielles

Calculer $u_t$ et $u_x$ par la règle de la chaîne.

$u_t=-c\,f'(x-ct)$, $u_x=f'(x-ct)$.

Sommer $u_t+c\,u_x$.

$u_t=f'(x-ct)\cdot(-c)=-c\,f'(x-ct)$ et $u_x=f'(x-ct)$.

$u_t+c\,u_x=-c\,f'+c\,f'=0$ ✓. La solution est une onde voyageuse : le profil $f$ se déplace à vitesse $c$ sans se déformer.

Discriminant $B^2-4AC$ des termes du 2nd ordre $A\,u_{xx}+B\,u_{xy}+C\,u_{yy}$.

$<0$ elliptique, $=0$ parabolique, $>0$ hyperbolique.

Pour la chaleur, seul $u_{xx}$ est d'ordre 2.

$u_t-u_{xx}$ : seul terme d'ordre 2 = $u_{xx}$, donc $A=-1,B=0,C=0$, $B^2-4AC=0$ → parabolique.

$u_{tt}-u_{xx}$ : $A=-1,B=0,C=1$, $B^2-4AC=4>0$ → hyperbolique.

$u_{xx}+u_{yy}$ : $A=1,B=0,C=1$, $B^2-4AC=-4<0$ → elliptique.

Solution générale $u=f(x-ct)$ avec $c=2$.

$f$ est imposée par la condition initiale.

$u(x,0)=f(x)=e^{-x^2}$.

$u(x,t)=f(x-2t)$ pour une fonction $f$ à déterminer.

$u(x,0)=f(x)=e^{-x^2}$, donc $u(x,t)=e^{-(x-2t)^2}$ : la bosse gaussienne glisse vers la droite à vitesse $2$.

L'équation est linéaire.

Dérivées partielles linéaires : $(\alpha u_1+\beta u_2)_t=\alpha (u_1)_t+\beta(u_2)_t$.

Idem pour $u_{xx}$.

$(\alpha u_1+\beta u_2)_t-(\alpha u_1+\beta u_2)_{xx}=\alpha\big((u_1)_t-(u_1)_{xx}\big)+\beta\big((u_2)_t-(u_2)_{xx}\big)=0$.

On peut superposer les modes propres : la solution générale est une série $\sum b_n u_n$ — fondement de la méthode de Fourier.

Dirichlet : on impose la valeur $u$ au bord.

Neumann : on impose le flux $\partial_x u$ au bord (bord isolé si nul).

Compter selon l'ordre en temps.

Dirichlet : $u(0,t),u(L,t)$ fixées (températures imposées). Neumann : $u_x(0,t),u_x(L,t)$ fixées ($=0$ = bord isolé, pas de flux).

Chaleur ($u_t$, 1er ordre en $t$) : $2$ CL + $1$ CI ($u(x,0)$). Ondes ($u_{tt}$, 2nd ordre) : $2$ CL + $2$ CI ($u(x,0)$ ET $u_t(x,0)$).

Diffusion $\longleftrightarrow$ chaleur (parabolique).

Propagation $\longleftrightarrow$ ondes (hyperbolique).

Équilibre/permanent $\longleftrightarrow$ Laplace (elliptique).

(a) chaleur $u_t=c^2u_{xx}$ (parabolique, diffusion) ; (b) ondes $u_{tt}=c^2u_{xx}$ (hyperbolique, propagation) ; (c) Laplace $\Delta u=0$ (elliptique, régime permanent).

Le type prédit le comportement : la chaleur lisse et s'amortit, les ondes propagent sans amortir, Laplace équilibre (pas de temps).

$u_t=-c^2(n\pi/L)^2\,u$.

$u_{xx}=-(n\pi/L)^2\,u$, donc $c^2u_{xx}=-c^2(n\pi/L)^2 u$.

$\sin0=\sin(n\pi)=0$.

$u_t=-c^2\big(\tfrac{n\pi}L\big)^2u$ et $c^2u_{xx}=c^2\cdot\big(-(\tfrac{n\pi}L)^2\big)u$ : égaux ✓.

$u(0,t)=\sin0\cdot(\dots)=0$ et $u(L,t)=\sin(n\pi)\cdot(\dots)=0$ ✓.

Injecter $u=XT$ : $X T'=c^2 X'' T$.

Diviser par $c^2 XT$.

Un membre dépend de $t$, l'autre de $x$ : tous deux constants.

$XT'=c^2X''T\Rightarrow\dfrac{T'}{c^2T}=\dfrac{X''}{X}$. Le membre de gauche ne dépend que de $t$, celui de droite que de $x$ : ils valent une constante $-\lambda$.

$\boxed{X''+\lambda X=0}$ (espace) et $\boxed{T'+c^2\lambda T=0}$ (temps).

Pour $\lambda>0$, $X=A\cos(\sqrt\lambda x)+B\sin(\sqrt\lambda x)$.

$X(0)=0\Rightarrow A=0$.

$X(L)=0\Rightarrow\sin(\sqrt\lambda L)=0$.

$X(0)=0\Rightarrow A=0$, donc $X=B\sin(\sqrt\lambda x)$.

$X(L)=B\sin(\sqrt\lambda L)=0\Rightarrow\sqrt\lambda L=n\pi$, soit $\lambda_n=\big(\tfrac{n\pi}L\big)^2$ et $X_n=\sin\tfrac{n\pi x}L$ ($n\ge1$).

La CI est déjà une somme de modes propres ($L=\pi$, $c=1$).

Chaque mode $\sin(nx)$ est amorti par $e^{-n^2 t}$.

Superposer.

$u(x,0)=3\sin x-\sin 2x$ : coefficients $b_1=3$, $b_2=-1$ (les autres nuls).

$u(x,t)=3\sin x\,e^{-t}-\sin 2x\,e^{-4t}$ : le mode $2$ s'éteint $4\times$ plus vite que le mode $1$.

Chaque mode décroît comme $e^{-c^2(n\pi/L)^2 t}$.

Le taux croît avec $n$ (hautes fréquences).

Limite de la série.

Le mode $n$ décroît au taux $c^2(n\pi/L)^2$ ∝ $n^2$ : les hautes fréquences (détails, irrégularités) s'éteignent les premières $\Longrightarrow$ lissage rapide.

Tous les modes $\to0$, donc $u(x,t)\to0$ : sans source ni flux entrant, la barre se refroidit complètement (régime permanent nul).

$b_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx$.

Intégration par parties : $\int x\sin(nx)dx=-\tfrac{x\cos(nx)}n+\tfrac{\sin(nx)}{n^2}$.

$\cos(n\pi)=(-1)^n$.

$\displaystyle\int_0^\pi x\sin(nx)dx=\Big[-\tfrac{x\cos(nx)}n\Big]_0^\pi+\tfrac1n\int_0^\pi\cos(nx)dx=-\tfrac{\pi\cos(n\pi)}n$.

$b_n=\dfrac2\pi\cdot\Big(-\dfrac{\pi(-1)^n}n\Big)=\dfrac{2(-1)^{n+1}}n$.

$u_{tt}=-\big(\tfrac{n\pi c}L\big)^2 u$.

$u_{xx}=-\big(\tfrac{n\pi}L\big)^2 u$, donc $c^2u_{xx}=-c^2\big(\tfrac{n\pi}L\big)^2u$.

Comparer.

$u_{tt}=-\big(\tfrac{n\pi c}L\big)^2u$ et $c^2u_{xx}=-c^2\big(\tfrac{n\pi}L\big)^2u=-\big(\tfrac{n\pi c}L\big)^2u$ : égaux ✓.

$u(0,t)=u(L,t)=0$ ✓. Le mode oscille (au lieu de décroître comme la chaleur) à la pulsation $\omega_n=\tfrac{n\pi c}L$.

$u_{tt}=\tfrac{c^2}2[f''(x-ct)+f''(x+ct)]$.

$u_{xx}=\tfrac12[f''(x-ct)+f''(x+ct)]$.

Évaluer $u$ et $u_t$ en $t=0$.

$u_{tt}=\tfrac{c^2}2[f''(x-ct)+f''(x+ct)]=c^2u_{xx}$ ✓.

$u(x,0)=\tfrac12[f(x)+f(x)]=f(x)$ ✓ ; $u_t=\tfrac{c}2[-f'(x-ct)+f'(x+ct)]$, donc $u_t(x,0)=0$ ✓.

Terme de vitesse : $u=\dfrac1{2c}\displaystyle\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$.

Dériver par rapport à $t$ (règle de Leibniz).

Évaluer en $t=0$.

$u(x,t)=\dfrac1{2c}\displaystyle\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$.

$u_t=\dfrac1{2c}\big[c\,\psi(x+ct)+c\,\psi(x-ct)\big]$, donc $u_t(x,0)=\dfrac1{2c}\cdot2c\,\psi(x)=\psi(x)$ ✓, et $u(x,0)=0$ ✓.

Formule produit→somme : $\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a-b)+\sin(a+b)]$.

Avec $a=x$, $b=ct$.

Identifier les ondes $f(x\mp ct)$.

$\sin x\cos(ct)=\tfrac12\big[\sin(x-ct)+\sin(x+ct)\big]$.

$\sin(x-ct)$ = onde vers la droite, $\sin(x+ct)$ = onde vers la gauche : une vibration stationnaire est leur superposition (interférence).

Chaque mode $\sin(nx)$ évolue en $\sin(nx)\cos(nt)$.

Superposer avec les coefficients de la CI.

$\omega_n=n$ ici.

CI = $\sin x+\tfrac12\sin 2x$ : modes $1$ (coef $1$) et $2$ (coef $\tfrac12$).

$u(x,t)=\sin x\cos t+\tfrac12\sin 2x\cos 2t$ : superposition du fondamental et de son harmonique (octave).

Mode $n$ : pulsation $\omega_n=\tfrac{n\pi c}L$.

Fondamental = $n=1$.

Les $\omega_n$ sont des multiples entiers de $\omega_1$.

$\omega_n=\dfrac{n\pi c}L=n\,\omega_1$ : les pulsations sont toutes multiples du fondamental $\omega_1=\tfrac{\pi c}L$.

Comme tous les $\omega_n$ sont multiples de $\omega_1$, la somme est périodique de période $T_1=\tfrac{2\pi}{\omega_1}=\tfrac{2L}c$ : d'où une note de hauteur définie (la corde sonne juste).