Exercices corrigés — Transformée de Fourier

$\hat f(\omega)=\displaystyle\int_{-T}^{T}e^{-i\omega t}\,dt$.

Primitive : $\dfrac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}$.

$e^{i\omega T}-e^{-i\omega T}=2i\sin(\omega T)$.

$\hat f(\omega)=\Big[\dfrac{e^{-i\omega t}}{-i\omega}\Big]_{-T}^{T}=\dfrac{e^{i\omega T}-e^{-i\omega T}}{i\omega}=\dfrac{2\sin(\omega T)}{\omega}$.

$\hat f(0)=\displaystyle\int_{-T}^{T}1\,dt=2T$ (par continuité, $\lim_{\omega\to0}\tfrac{2\sin\omega T}\omega=2T$).

$\hat f(\omega)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-at}e^{-i\omega t}\,dt$.

$=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-(a+i\omega)t}\,dt$, et $a>0$ assure la convergence.

Comparer à $\mathcal L\{e^{-at}u\}(p)=\tfrac1{p+a}$.

$\hat f(\omega)=\Big[\dfrac{e^{-(a+i\omega)t}}{-(a+i\omega)}\Big]_0^{+\infty}=\dfrac1{a+i\omega}$.

C'est $\mathcal L\{f\}(p)=\dfrac1{p+a}$ évaluée en $p=i\omega$ : la TF est la Laplace sur l'axe imaginaire.

Couper l'intégrale en $t<0$ et $t>0$ : $\lvert t\rvert=-t$ puis $+t$.

$\displaystyle\int_{-\infty}^0 e^{at}e^{-i\omega t}dt+\int_0^{+\infty}e^{-at}e^{-i\omega t}dt$.

$\dfrac1{a-i\omega}+\dfrac1{a+i\omega}$.

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-at}e^{-i\omega t}dt=\dfrac1{a+i\omega}$ et $\displaystyle\int_{-\infty}^0 e^{at}e^{-i\omega t}dt=\dfrac1{a-i\omega}$.

$\hat f(\omega)=\dfrac1{a-i\omega}+\dfrac1{a+i\omega}=\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$ (réelle, car $f$ paire).

$\hat f(\omega)=\displaystyle\int e^{-t^2/2}e^{-i\omega t}dt$.

Compléter le carré : $-\tfrac{t^2}2-i\omega t=-\tfrac12(t+i\omega)^2-\tfrac{\omega^2}2$.

Sortir $e^{-\omega^2/2}$ et utiliser l'intégrale de Gauss.

$-\tfrac{t^2}2-i\omega t=-\tfrac12(t+i\omega)^2-\tfrac{\omega^2}2$.

$\hat f(\omega)=e^{-\omega^2/2}\displaystyle\int e^{-\frac12(t+i\omega)^2}dt=e^{-\omega^2/2}\cdot\sqrt{2\pi}$.

Propriété : $\displaystyle\int \delta(t-t_0)\,g(t)\,dt=g(t_0)$.

Appliquer à $g(t)=e^{-i\omega t}$.

$\lvert e^{-i\omega t_0}\rvert=1$.

$\widehat\delta(\omega)=\displaystyle\int\delta(t)e^{-i\omega t}dt=e^{0}=1$ (spectre plat : toutes les fréquences à amplitude $1$).

$\widehat{\delta(t-t_0)}(\omega)=e^{-i\omega t_0}$ : module $1$, phase $-\omega t_0$ (linéaire en $\omega$ — c'est un retard pur).

Couper en $[-1,0]$ ($f=1+t$) et $[0,1]$ ($f=1-t$).

Intégrer par parties ou exploiter la parité.

$2-2\cos\omega=4\sin^2(\omega/2)$.

$\hat f(\omega)=\displaystyle\int_{-1}^0(1+t)e^{-i\omega t}dt+\int_0^1(1-t)e^{-i\omega t}dt=\dfrac{2(1-\cos\omega)}{\omega^2}$.

$\dfrac{2(1-\cos\omega)}{\omega^2}=\dfrac{4\sin^2(\omega/2)}{\omega^2}=\Big(\dfrac{2\sin(\omega/2)}{\omega}\Big)^2$ : carré du sinc — cohérent avec triangle = porte $*$ porte.

Poser $s=t-t_0$ dans l'intégrale.

$e^{-i\omega t}=e^{-i\omega(s+t_0)}$.

Le facteur $e^{-i\omega t_0}$ sort de l'intégrale.

$\displaystyle\int f(t-t_0)e^{-i\omega t}dt\overset{s=t-t_0}{=}\int f(s)e^{-i\omega(s+t_0)}ds=e^{-i\omega t_0}\hat f(\omega)$.

Le module est inchangé ($\lvert e^{-i\omega t_0}\rvert=1$), seule la phase est modifiée de $-\omega t_0$ : un retard est un déphasage linéaire.

$e^{i\omega_0 t}e^{-i\omega t}=e^{-i(\omega-\omega_0)t}$.

$\cos(\omega_0 t)=\tfrac12(e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t})$.

Appliquer la linéarité.

$\displaystyle\int e^{i\omega_0 t}f(t)e^{-i\omega t}dt=\int f(t)e^{-i(\omega-\omega_0)t}dt=\hat f(\omega-\omega_0)$ : translation en fréquence.

$\widehat{f\cos\omega_0 t}=\tfrac12\big[\hat f(\omega-\omega_0)+\hat f(\omega+\omega_0)\big]$ : le spectre est dédoublé autour de $\pm\omega_0$ (porteuse).

Poser $s=at$ (pour $a>0$), $ds=a\,dt$.

$e^{-i\omega t}=e^{-i\omega s/a}$.

Pour $a<0$, les bornes s'inversent d'où $\lvert a\rvert$.

$\displaystyle\int f(at)e^{-i\omega t}dt\overset{s=at}{=}\dfrac1a\int f(s)e^{-i(\omega/a)s}ds=\dfrac1a\hat f\!\left(\tfrac\omega a\right)$ (et $\tfrac1{\lvert a\rvert}$ en général).

Compresser le temps ($a>1$) dilate le spectre, et inversement : un signal bref a un spectre large (principe d'incertitude temps-fréquence).

IPP : $\displaystyle\int f'(t)e^{-i\omega t}dt=[f e^{-i\omega t}]-\int f\cdot(-i\omega)e^{-i\omega t}dt$.

$f\to0$ à $\pm\infty$ (terme de bord nul).

Dans une ODE, remplacer $\tfrac{d}{dt}$ par $i\omega$.

IPP avec $f\to0$ aux bornes : $\widehat{f'}=i\omega\,\hat f(\omega)$. Par récurrence $\widehat{f^{(n)}}=(i\omega)^n\hat f$.

L'équation $y'+ay=x$ devient $(i\omega+a)\hat y=\hat x$, soit $\hat y=\dfrac{\hat x}{a+i\omega}=H(\omega)\hat x$ : on résout par division (fonction de transfert).

Dériver $\hat f(\omega)=\int f(t)e^{-i\omega t}dt$ par rapport à $\omega$.

$\partial_\omega e^{-i\omega t}=-it\,e^{-i\omega t}$.

$\hat f$ de $e^{-t^2/2}$ vaut $\sqrt{2\pi}e^{-\omega^2/2}$.

$\hat f'(\omega)=\displaystyle\int f(t)(-it)e^{-i\omega t}dt=-i\,\widehat{t f}(\omega)$, donc $\widehat{t f}=i\,\hat f'(\omega)$.

$\widehat{t\,e^{-t^2/2}}=i\,\dfrac{d}{d\omega}\big(\sqrt{2\pi}e^{-\omega^2/2}\big)=i\sqrt{2\pi}(-\omega)e^{-\omega^2/2}=-i\omega\sqrt{2\pi}\,e^{-\omega^2/2}$.

Dualité : si $\hat f=g$, alors $\widehat{g}(t\to\omega)=2\pi f(-\omega)$.

Ici $g(t)=\dfrac2{1+t^2}$ et $f(\omega)=e^{-\lvert\omega\rvert}$ (paire).

$f$ paire ⇒ $f(-\omega)=f(\omega)$.

Échanger les rôles de $t$ et $\omega$ : $\widehat{\hat f}(t)=2\pi f(-t)$.

De $e^{-\lvert t\rvert}\to\tfrac2{1+\omega^2}$, la dualité donne $\dfrac2{1+t^2}\to2\pi\,e^{-\lvert\omega\rvert}$ (couple auto-dual à $2\pi$ près).

$(f*g)(t)=\displaystyle\int_0^t e^{-a\tau}e^{-a(t-\tau)}d\tau$ pour $t>0$.

$=e^{-at}\int_0^t d\tau=t\,e^{-at}$.

TF de $t\,e^{-at}u$ et $\big(\tfrac1{a+i\omega}\big)^2$.

$(f*g)(t)=t\,e^{-at}u(t)$.

$\widehat{t\,e^{-at}u}=\dfrac1{(a+i\omega)^2}$ et $\hat f\hat g=\Big(\dfrac1{a+i\omega}\Big)^2$ : égaux ✓.

TF de la porte $[-\tfrac12,\tfrac12]$ : $\dfrac{2\sin(\omega/2)}\omega$.

Convolution $\Longrightarrow$ produit des TF.

$\big(\tfrac{2\sin(\omega/2)}\omega\big)^2=\dfrac{2(1-\cos\omega)}{\omega^2}$ = TF du triangle (A6).

$\widehat{\text{porte}}=\dfrac{2\sin(\omega/2)}\omega$, donc $\widehat{\text{porte}*\text{porte}}=\Big(\dfrac{2\sin(\omega/2)}\omega\Big)^2$.

$\Big(\dfrac{2\sin(\omega/2)}\omega\Big)^2=\dfrac{2(1-\cos\omega)}{\omega^2}$ = transformée du triangle $1-\lvert t\rvert$ (exo A6) : la convolution de deux portes est ce triangle.

Temps : $\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2at}dt$.

Fréquence : $\lvert\hat f\rvert^2=\dfrac1{a^2+\omega^2}$, puis $\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\omega}{a^2+\omega^2}$.

$\displaystyle\int\dfrac{d\omega}{a^2+\omega^2}=\dfrac\pi a$.

$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2at}dt=\dfrac1{2a}$.

$\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{d\omega}{a^2+\omega^2}=\dfrac1{2\pi}\cdot\dfrac\pi a=\dfrac1{2a}$ : identiques ✓.

$\displaystyle\int e^{-2t^2}dt=\sqrt{\pi/2}$ (Gauss).

$\lvert\hat f\rvert^2=\pi e^{-\omega^2/2}$.

$\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int\pi e^{-\omega^2/2}d\omega$.

$E=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2t^2}dt=\sqrt{\dfrac\pi2}$.

$\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int\pi e^{-\omega^2/2}d\omega=\dfrac1{2\pi}\cdot\pi\sqrt{2\pi}=\sqrt{\dfrac\pi2}$ ✓.

Un signal $T$-périodique se décompose en harmoniques $n\omega_0$, $\omega_0=\tfrac{2\pi}T$.

Son spectre est donc discret (des raies).

La TF d'une seule période donne les coefficients.

Le spectre d'un signal $T$-périodique est un peigne de Diracs aux pulsations $n\omega_0$, de poids $2\pi c_n$ (les coefficients de Fourier complexes).

$c_n=\dfrac1T\,\hat g(n\omega_0)$ où $\hat g$ est la TF d'une période : la série est la TF « échantillonnée » en fréquence. Quand $T\to\infty$, les raies se rapprochent et le spectre devient continu (la transformée).

Théorème de convolution : $\widehat{h*x}=\hat h\,\hat x$.

$\hat h=H$ est la fonction de transfert.

Le spectre d'entrée est multiplié par $H$.

$\hat y(\omega)=H(\omega)\,\hat x(\omega)$ avec $H=\hat h$ = fonction de transfert (gain $\lvert H\rvert$, phase $\arg H$).

Filtrer = multiplier le spectre par $H$ : un passe-bas atténue les hautes fréquences ($\lvert H\rvert$ petit pour $\omega$ grand). On choisit $H$, on en déduit $h$ par TF inverse.