Exercices corrigés — Polynômes & corps finis

$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$.

$\deg P=2$, $\deg Q=3$.

Le coefficient dominant d'un produit est le produit des coefficients dominants.

$\deg(PQ)=2+3=5$.

$1\times1=1$ : $PQ$ est unitaire (en fait $PQ=X^5-X$).

Poser la division : abaisser le degré du dividende étape par étape.

Quotient de tête : $X^4/X^2=X^2$.

Le reste doit vérifier $\deg R<2$.

$X^4+1=(X^2+X+1)\,X^2-(X^3+X^2-1)$ ; en poursuivant, quotient $X^2-X$.

$X^4+1=(X^2+X+1)(X^2-X)+(X+1)$, reste $X+1$ ($\deg=1<2$). ✓

$\operatorname{pgcd}(A,B)=\operatorname{pgcd}(B,R)$, $R$ = reste de $A$ par $B$.

$X^4-1=X(X^3-1)+(X-1)$.

Puis $X^3-1$ par $X-1$.

$X^4-1=X\,(X^3-1)+(X-1)$ ; $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)+0$.

Dernier reste non nul (unitaire) : $\operatorname{pgcd}=X-1$.

Reprendre l'étape d'Euclide de A3.

$X-1=(X^4-1)-X(X^3-1)$ se lit directement.

Identifier $U,V$.

La première division donne $X-1=(X^4-1)-X(X^3-1)$.

$U=1$, $V=-X$ : $1\cdot(X^4-1)+(-X)(X^3-1)=X^4-1-X^4+X=X-1$. ✓

Identités remarquables et racines évidentes.

$X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)$.

$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ ($1$ racine évidente).

$(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X^2+1)$ ; $X^2+1$ irréductible sur $\mathbb Q$.

$(X-1)(X^2+X+1)$ ; $X^2+X+1$ irréductible sur $\mathbb Q$ (discriminant $-3<0$).

Théorème du reste : le reste de $P$ par $(X-a)$ est $P(a)$.

Calculer $P(2)$.

Le quotient s'obtient par schéma de Horner.

$8-8+6-4=2$, donc le reste de $P$ par $(X-2)$ est $2$.

$1\,|\,-2\,|\,3\,|\,-4$ avec $2$ : $1,\,0,\,3,\,2$ → quotient $X^2+3$, reste $2$.

Chercher une racine évidente : $P(1)=0$.

Diviser par $(X-1)$, puis recommencer.

Tester si $1$ est racine du quotient.

$P(1)=1-3+2=0$ : $(X-1)\mid P$, $P=(X-1)(X^2+X-2)$.

$X^2+X-2=(X-1)(X+2)$, donc $P=(X-1)^2(X+2)$.

$1$ est racine double, $-2$ racine simple.

$\sum r_i=-a_2$, $\sum_{i<j}r_ir_j=a_1$, $\prod r_i=-a_0$ (unitaire).

Calculer les fonctions symétriques des racines.

Comparer aux coefficients $-6,11,-6$.

$1+2+3=6=-(-6)$. ✓

$1\cdot2+1\cdot3+2\cdot3=2+3+6=11=a_1$. ✓

$1\cdot2\cdot3=6=-(-6)$. ✓

$a$ racine multiple $\iff P(a)=P'(a)=0\iff (X-a)\mid\operatorname{pgcd}(P,P')$.

$P'=3X^2-3$.

Calculer $\operatorname{pgcd}(P,P')$.

$P'=3X^2-3=3(X-1)(X+1)$.

$\operatorname{pgcd}(X^3-3X+2,\ 3X^2-3)=X-1$ : $1$ est racine multiple.

$P(1)=0$ et $P'(1)=0$ : $1$ est (au moins) double.

Astuce : $X^4+X^2+1=(X^2+1)^2-X^2$ (différence de carrés).

Sur $\mathbb R$ : facteurs de degré $\le2$.

Sur $\mathbb C$ : chaque trinôme se scinde.

$(X^2+1)^2-X^2=(X^2+X+1)(X^2-X+1)$, deux trinômes irréductibles sur $\mathbb R$ (discriminants $<0$).

$X^2+X+1=(X-j)(X-\bar j)$ avec $j=e^{2i\pi/3}$, et de même pour $X^2-X+1$ : $4$ racines simples.

Critère d'Eisenstein avec un premier $p$.

Tester $p=2$ : $p$ divise tous les coefficients sauf le dominant ?

Et $p^2\nmid a_0$ ?

$2\mid2$ (coeff de $X$), $2\mid2$ (constante), $2\nmid1$ (dominant), et $4\nmid2$.

Le critère d'Eisenstein s'applique $\Longrightarrow$ $X^3+2X+2$ irréductible sur $\mathbb Q$.

$X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)$.

$X^2+1$ : irréductible sur $\mathbb Q$ et $\mathbb R$, scindé sur $\mathbb C$.

Sur $\mathbb C$ : $X^2+1=(X-i)(X+i)$.

$(X-1)(X+1)(X^2+1)$ ($X^2+1$ irréductible, discriminant $<0$).

$(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$ : $4$ racines simples $1,-1,i,-i$ (racines $4$-ièmes de l'unité).

$-1$ est-il racine de $X^3+1$ ?

$(-1)^3+1=0$ donc $(X+1)\mid X^3+1$.

Identité : $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$.

$P(-1)=0$ $\Longrightarrow$ reste nul.

$X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$, reste $0$.

Factoriser chacun.

$X^2-1=(X-1)(X+1)$, $X^2-X=X(X-1)$.

Facteur commun.

$X^2-1=(X-1)(X+1)$ ; $X^2-X=X(X-1)$.

Facteur commun : $X-1$.

Différence de carrés : $X^4-16=(X^2-4)(X^2+4)$.

$X^2-4=(X-2)(X+2)$.

$X^2+4$ irréductible sur $\mathbb R$.

$(X^2-4)(X^2+4)=(X-2)(X+2)(X^2+4)$.

Reste = $P(-1)$.

$P(-1)=2(-1)^3-3(-1)+5$.

Calculer.

$P(-1)=-2+3+5=6$.

Pour $X^2-sX+p$, somme $=s$, produit $=p$.

Ici $s=5$, $p=6$.

(Racines $2$ et $3$.)

Somme $=5$, produit $=6$.

$X^4-2X^2+1=(X^2-1)^2$.

$X^2-1=(X-1)(X+1)$.

Élever au carré.

$(X^2-1)^2=(X-1)^2(X+1)^2$.

$1$ et $-1$ sont racines doubles.