Exercices corrigés — Représentations & caractères

Une représentation est un morphisme de groupes vers $GL(V)$.

La régulière agit sur $\mathbb{C}[G]$ (base indexée par $G$).

La permutation agit sur $\mathbb{C}^X$ par $\rho(g)e_x=e_{g\cdot x}$.

Une représentation de $G$ est un morphisme $\rho:G\to GL(V)$ ($V$ un $\mathbb{C}$-espace de dimension finie) : $\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ et $\rho(e)=\mathrm{id}$. Son degré est $\dim V$.

Triviale : $\rho(g)=1$, degré $1$. Régulière : $G$ agit sur $\mathbb{C}[G]$, degré $\lvert G\rvert$. Permutation (action sur $X$) : degré $\lvert X\rvert$. Signature $\varepsilon:S_n\to\{\pm1\}$, degré $1$.

Une sous-représentation est un sous-espace stable par tous les $\rho(g)$.

$\rho'\sim\rho$ s'il existe $P$ inversible avec $\rho'(g)=P\rho(g)P^{-1}$.

$P$ envoie les sous-espaces stables de $\rho$ sur ceux de $\rho'$.

$W\subseteq V$ est une sous-représentation si $\rho(g)W\subseteq W$ pour tout $g$. $V$ est irréductible si $V\neq0$ et ses seules sous-représentations sont $0$ et $V$. $\rho\sim\rho'$ s'il existe $P\in GL$ avec $\rho'(g)=P\rho(g)P^{-1}$ pour tout $g$.

Si $\rho'(g)=P\rho(g)P^{-1}$ et $W'$ est stable par $\rho'$, alors $W=P^{-1}W'$ est stable par $\rho$ : $\rho(g)W=P^{-1}\rho'(g)PP^{-1}W'=P^{-1}\rho'(g)W'\subseteq P^{-1}W'=W$. Donc $\rho$ et $\rho'$ ont des sous-représentations en bijection (par $P$) : $\rho$ irréductible $\iff\rho'$ irréductible.

$GL_1(\mathbb{C})=\mathbb{C}^\times$.

Pour $C_n$, $\rho(c)$ détermine tout, et $\rho(c)^n=1$.

$\rho(c)$ est une racine $n$-ième de l'unité.

Une représentation de degré $1$ est un morphisme $\rho:G\to GL_1(\mathbb{C})=\mathbb{C}^\times$ : ce sont exactement les caractères linéaires de $G$.

$C_n$ est abélien, donc (Schur) toutes ses irréductibles sont de degré $1$. Un tel $\rho$ est déterminé par $\rho(c)=\zeta$ avec $\zeta^n=\rho(c^n)=\rho(e)=1$ : $\zeta$ est une racine $n$-ième de l'unité. On obtient $n$ représentations $\rho_j(c^k)=\zeta_n^{jk}$ ($\zeta_n=e^{2i\pi/n}$, $j=0,\dots,n-1$), et $\#$irréd $=n=\#$classes.

$\rho(g)$ est la matrice de permutation de l'action de $g$.

La trace compte les $1$ sur la diagonale.

Le coefficient diagonal $(x,x)$ vaut $1$ ssi $g\cdot x=x$.

Dans la base $(e_x)_{x\in X}$, $\rho(g)e_x=e_{g\cdot x}$ : la matrice de $\rho(g)$ est une matrice de permutation, de coefficient diagonal $(x,x)$ égal à $1$ si $g\cdot x=x$, à $0$ sinon. Donc $\chi(g)=\operatorname{tr}\rho(g)=\#\{x:g\cdot x=x\}=\lvert\mathrm{Fix}(g)\rvert$.

En particulier $\chi(e)=\lvert X\rvert=\deg\rho$. Ce caractère est la clé du lemme de Burnside (cf. D5).

$G$ agit sur $\mathbb{C}[G]$ (base $(e_h)_{h\in G}$) par $\rho(g)e_h=e_{gh}$.

C'est l'action de $G$ sur lui-même par translation à gauche.

Un point fixe : $gh=h\iff g=e$.

$\mathbb{C}[G]$ a pour base $(e_h)_{h\in G}$ ; la régulière est $\rho(g)e_h=e_{gh}$ (translation à gauche). C'est la représentation de permutation de l'action de $G$ sur lui-même.

Par A4, $\chi_{\mathrm{reg}}(g)=\lvert\{h:gh=h\}\rvert$. Or $gh=h\iff g=e$ : il n'y a aucun point fixe si $g\neq e$, et tous si $g=e$. Donc $\chi_{\mathrm{reg}}(e)=\lvert G\rvert$ et $\chi_{\mathrm{reg}}(g)=0$ pour $g\neq e$.

La droite $\langle e_1+e_2+e_3\rangle$ est stable : sous-représentation triviale.

L'hyperplan $\{x_1+x_2+x_3=0\}$ est stable : la standard (degré 2).

$\chi_{\mathrm{perm}}(g)=\lvert\mathrm{Fix}(g)\rvert=\chi_{\mathrm{triv}}+\chi_{\mathrm{std}}$.

La droite $D=\langle e_1+e_2+e_3\rangle$ est fixée (permuter les coordonnées ne change pas la somme) : c'est la triviale. L'hyperplan $W=\{x_1+x_2+x_3=0\}$ est stable et supplémentaire : c'est la standard, de degré $2$. Donc $\mathbb{C}^3=D\oplus W$.

$\chi_{\mathrm{perm}}(g)=\lvert\mathrm{Fix}(g)\rvert$ vaut $3,1,0$ sur $(e,\text{transpo},3\text{-cycle})$. Comme $\chi_{\mathrm{triv}}=(1,1,1)$, on a $\chi_{\mathrm{std}}=\chi_{\mathrm{perm}}-\chi_{\mathrm{triv}}=(2,0,-1)$.

Partir d'un produit hermitien quelconque $\langle\cdot,\cdot\rangle_0$ sur $V$.

Le moyenner : $\langle u,v\rangle=\frac1{\lvert G\rvert}\sum_g\langle\rho(g)u,\rho(g)v\rangle_0$.

Ce produit est $G$-invariant ; l'orthogonal d'une sous-rep est une sous-rep.

Soit $\langle\cdot,\cdot\rangle_0$ un produit hermitien sur $V$. On pose $\langle u,v\rangle=\frac1{\lvert G\rvert}\sum_{g\in G}\langle\rho(g)u,\rho(g)v\rangle_0$ : c'est un produit hermitien (somme de tels) et il est $G$-invariant, $\langle\rho(h)u,\rho(h)v\rangle=\langle u,v\rangle$ (reparamétrer la somme par $g\mapsto gh$). Les $\rho(g)$ sont alors unitaires.

Si $W\subseteq V$ est une sous-représentation, son orthogonal $W^\perp$ (pour ce produit invariant) est aussi stable : pour $w^\perp\in W^\perp$, $w\in W$, $\langle\rho(g)w^\perp,w\rangle=\langle w^\perp,\rho(g)^{-1}w\rangle=0$ car $\rho(g)^{-1}w\in W$. Donc $V=W\oplus W^\perp$ comme représentations. Récurrence sur $\dim V$ : si $V$ est irréductible (en particulier $\dim V\leq1$), c'est fini ; sinon $V$ a une sous-représentation propre $W$ ($0\neq W\neq V$), et $W,W^\perp$ — de dimensions $<\dim V$ — sont sommes d'irréductibles par hypothèse de récurrence, donc $V$ aussi.

$\ker f$ et $\operatorname{im} f$ sont des sous-représentations.

L'irréductibilité force $f=0$ ou $f$ isomorphisme.

Si $V=W$, prendre une valeur propre $\lambda$ de $f$ et considérer $f-\lambda\,\mathrm{id}$.

$\ker f\subseteq V$ et $\operatorname{im} f\subseteq W$ sont des sous-représentations ($f$ équivariante). Par irréductibilité, $\ker f=0$ ou $V$, et $\operatorname{im} f=0$ ou $W$. Si $f\neq0$ alors $\ker f=0$ et $\operatorname{im} f=W$ : $f$ est un isomorphisme équivariant, donc $V\cong W$. Contraposée : $V\not\cong W\Rightarrow f=0$.

Sur $\mathbb{C}$, $f$ admet une valeur propre $\lambda$. Alors $f-\lambda\,\mathrm{id}$ est équivariante de noyau $\neq0$, donc (cas précédent) $f-\lambda\,\mathrm{id}=0$ : $f=\lambda\,\mathrm{id}$ est une homothétie.

Si $G$ abélien, chaque $\rho(h)$ commute à tous les $\rho(g)$.

$\rho(h)$ est donc un endomorphisme $G$-équivariant de $V$.

Appliquer Schur ($V=V$ irréductible).

Soit $V$ irréductible et $h\in G$. Comme $G$ est abélien, $\rho(h)\rho(g)=\rho(hg)=\rho(gh)=\rho(g)\rho(h)$ pour tout $g$ : $\rho(h)$ est $G$-équivariant $V\to V$. Par Schur, $\rho(h)=\lambda_h\,\mathrm{id}$ est une homothétie.

Tous les $\rho(h)$ étant scalaires, toute droite de $V$ est stable. L'irréductibilité impose $\dim V=1$. Les irréductibles d'un groupe abélien sont donc exactement ses $\lvert G\rvert$ caractères $G\to\mathbb{C}^\times$.

Un morphisme $G\to\mathbb{C}^\times$ est trivial sur les commutateurs (image abélienne).

Il se factorise donc par l'abélianisé $G/[G,G]$.

$G/[G,G]$ est abélien fini : il a $\lvert G/[G,G]\rvert$ caractères.

$\mathbb{C}^\times$ est abélien, donc tout morphisme $\chi:G\to\mathbb{C}^\times$ s'annule sur les commutateurs : $\chi([g,h])=1$. Il se factorise par l'abélianisé $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$. Réciproquement tout caractère de $G^{\mathrm{ab}}$ remonte en un caractère de $G$ par composition avec la surjection $G\twoheadrightarrow G^{\mathrm{ab}}$ ; ces deux opérations sont réciproques, d'où une bijection entre caractères de $G$ et de $G^{\mathrm{ab}}$.

$G^{\mathrm{ab}}$ est abélien fini, donc a exactement $\lvert G^{\mathrm{ab}}\rvert$ caractères (B3). Pour $S_n$ ($n\geq2$), $[S_n,S_n]=A_n$ et $S_n/A_n\cong\{\pm1\}$ : il y a $2$ représentations de degré 1 (triviale et signature) — conforme aux tables de $S_3$ et $S_4$.

Reprendre le produit $G$-invariant de Maschke.

Dans une base orthonormée, les $\rho(g)$ sont unitaires.

$\rho(g)^{\lvert G\rvert}=\rho(g^{\lvert G\rvert})=\mathrm{id}$ : $\rho(g)$ annule $X^{m}-1$.

Le produit $G$-invariant $\langle\cdot,\cdot\rangle$ (Maschke) rend chaque $\rho(g)$ unitaire ; dans une base orthonormée pour ce produit, $\rho$ est unitaire. Donc $\rho$ est équivalente à une représentation unitaire.

Soit $g$ d'ordre $m$ (divisant $\lvert G\rvert$). Alors $\rho(g)^m=\rho(g^m)=\mathrm{id}$ : $\rho(g)$ annule $X^m-1$, polynôme scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$. Donc $\rho(g)$ est diagonalisable, et ses valeurs propres sont des racines $m$-ièmes de l'unité. En particulier $\chi(g)$ est une somme de racines de l'unité.

Les valeurs propres $\lambda_i$ de $\rho(g)$ sont de module $1$ (B5).

$\chi(g)=\sum\lambda_i$ et $\chi(g^{-1})=\sum\lambda_i^{-1}$.

$\lambda_i^{-1}=\overline{\lambda_i}$ car $\lvert\lambda_i\rvert=1$.

Par B5, $\rho(g)$ est diagonalisable de valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_d$ de module $1$. Alors $\chi(g)=\sum\lambda_i$ et $\chi(g^{-1})=\operatorname{tr}\rho(g)^{-1}=\sum\lambda_i^{-1}=\sum\overline{\lambda_i}=\overline{\chi(g)}$ (car $\lambda_i^{-1}=\overline{\lambda_i}$ pour $\lvert\lambda_i\rvert=1$).

Si $g\sim g^{-1}$ alors $\chi(g)=\chi(g^{-1})=\overline{\chi(g)}$ ($\chi$ fonction de classe), donc $\chi(g)\in\mathbb{R}$. C'est pourquoi les caractères de $S_n$ sont réels (tout élément y est conjugué à son inverse).

$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$.

$\chi(hgh^{-1})=\operatorname{tr}(\rho(h)\rho(g)\rho(h)^{-1})$.

$\chi(e)=\operatorname{tr}(I_d)$.

$\chi(e)=\operatorname{tr}\rho(e)=\operatorname{tr}(I_d)=d=\deg\rho$.

$\chi(hgh^{-1})=\operatorname{tr}\big(\rho(h)\rho(g)\rho(h)^{-1}\big)=\operatorname{tr}\big(\rho(g)\rho(h)^{-1}\rho(h)\big)=\operatorname{tr}\rho(g)=\chi(g)$ (invariance cyclique de la trace). Le caractère ne dépend que de la classe de conjugaison : c'est une fonction de classe.

Schur donne $\dim\operatorname{Hom}_G(V_i,V_j)=\delta_{ij}$.

$\dim\operatorname{Hom}_G(V_i,V_j)=\langle\chi_i,\chi_j\rangle$ (via l'opérateur de moyennage).

Combiner les deux.

Pour deux irréductibles $V_i,V_j$ : $\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\delta_{ij}$. Les caractères irréductibles forment une famille orthonormée de l'espace des fonctions de classe.

On montre $\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\dim\operatorname{Hom}_G(V_i,V_j)$ : l'opérateur de moyennage $T:f\mapsto\frac1{\lvert G\rvert}\sum_g\rho_j(g)\,f\,\rho_i(g)^{-1}$, sur l'espace $\operatorname{Hom}(V_i,V_j)$, est un projecteur d'image $\operatorname{Hom}_G(V_i,V_j)$ (les applications équivariantes), donc $\operatorname{tr}T=\dim\operatorname{Hom}_G(V_i,V_j)$. Or $\operatorname{Hom}(V_i,V_j)\cong V_i^*\otimes V_j$ a pour caractère $\overline{\chi_i}\,\chi_j$, et la trace de $T$ (moyenne de ce caractère) vaut exactement $\langle\chi_i,\chi_j\rangle$. Par Schur, $\dim\operatorname{Hom}_G(V_i,V_j)=\delta_{ij}$, d'où l'orthonormalité.

Écrire $V=\bigoplus m_iV_i$ ; alors $\langle\chi_V,\chi_V\rangle=\sum m_i^2$.

$\sum m_i^2=1$ avec $m_i\in\mathbb{N}\iff$ un seul $m_i=1$.

$\langle\chi,\chi\rangle=\frac1{\lvert G\rvert}\sum_{\text{classes}}\lvert\text{classe}\rvert\,\lvert\chi\rvert^2$.

Si $V=\bigoplus_i m_iV_i$ alors $\langle\chi_V,\chi_V\rangle=\sum_i m_i^2$ (orthonormalité des $\chi_i$). Cette somme d'entiers vaut $1$ ssi un seul $m_i=1$ et les autres nuls, i.e. $V$ irréductible.

$\langle\chi,\chi\rangle=\frac1{6}\big(1\cdot 2^2+3\cdot 0^2+2\cdot(-1)^2\big)=\frac{4+0+2}{6}=1$. Donc la représentation standard de $S_3$ est irréductible.

Les caractères irréductibles sont des fonctions de classe orthonormées.

L'espace des fonctions de classe a pour dimension le nombre de classes.

Le point clé (admis ici) : les $\chi_i$ ENGENDRENT cet espace.

Les caractères irréductibles sont des fonctions de classe (E1), deux à deux orthogonales et normées (E2) : ils sont donc linéairement indépendants dans l'espace $\mathcal{C}$ des fonctions de classe, de dimension $\#\{\text{classes}\}$.

On montre (en décomposant la régulière / par densité) que les $\chi_i$ engendrent $\mathcal{C}$ : ils en forment une base orthonormée. Donc $\#\{\text{irréductibles}\}=\dim\mathcal{C}=\#\{\text{classes de conjugaison}\}$.

Régulière : $\chi_{\mathrm{reg}}=\sum_i(\dim V_i)\chi_i$ et $\chi_{\mathrm{reg}}(e)=\lvert G\rvert$.

Évaluer en $e$ : $\chi_i(e)=\dim V_i$.

Pour $S_3$ : $1^2+1^2+2^2$.

La régulière contient chaque irréductible $V_i$ avec multiplicité $\langle\chi_{\mathrm{reg}},\chi_i\rangle=\dim V_i$ (car $\chi_{\mathrm{reg}}$ vaut $\lvert G\rvert$ en $e$ et $0$ ailleurs, donc $\langle\chi_{\mathrm{reg}},\chi_i\rangle=\frac1{\lvert G\rvert}\lvert G\rvert\overline{\chi_i(e)}=\dim V_i$). En évaluant $\chi_{\mathrm{reg}}(e)=\sum_i(\dim V_i)\chi_i(e)$ : $\lvert G\rvert=\sum_i(\dim V_i)^2$.

$1^2+1^2+2^2=6=\lvert S_3\rvert$ ✓. Table (classes $\{e\}$ / transpos. / $3$-cycles) : triviale $(1,1,1)$, signature $(1,-1,1)$, standard $(2,0,-1)$.

Maschke : $V=\bigoplus m_iV_i$ ; prendre le produit scalaire avec $\chi_j$.

$\langle\chi_V,\chi_j\rangle=\sum_i m_i\langle\chi_i,\chi_j\rangle=m_j$.

Calculer $\langle\chi_{\mathrm{perm}},\chi_{\mathrm{triv}}\rangle$ et $\langle\chi_{\mathrm{perm}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle$.

Par Maschke $V=\bigoplus_i m_iV_i$. Alors $\chi_V=\sum_i m_i\chi_i$, et l'orthonormalité donne $\langle\chi_V,\chi_j\rangle=m_j$. Les multiplicités se lisent par produit scalaire avec les caractères irréductibles.

$\chi_{\mathrm{perm}}=(3,1,0)$. $\langle\chi_{\mathrm{perm}},\chi_{\mathrm{triv}}\rangle=\frac16(3+3\cdot1+2\cdot0)=1$ ; $\langle\chi_{\mathrm{perm}},\chi_{\mathrm{sgn}}\rangle=\frac16(3-3+0)=0$ ; $\langle\chi_{\mathrm{perm}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle=\frac16(3\cdot2+0+0)=1$. Donc $\mathbb{C}^3=\text{triviale}\oplus\text{standard}$.