Séries entières : 18 exercices corrigés

Rayon par d'Alembert (exponentielle)

DémonstrationDifficulté 3/5

Déterminer le rayon de convergence de $\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{n!}$ par la règle de d'Alembert.

Indices (3)

$a_n=\dfrac1{n!}$ ; calculer $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n!}{(n+1)!}$ .

$\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac1{n+1}\to0$ .

$R=\dfrac1\ell$ avec $\ell=\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ .

Correction détaillée

La regle de d'Alembert pour le rayon

\boxed{R=\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert\qquad\text{quand cette limite existe}}

👉 Attention au sens du rapport : c'est $\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$ — le terme d'indice $n$ au numérateur. L'inverser donne $1/R$ , ce qui est l'erreur la plus fréquente.

Mnémonique : plus les coefficients décroissent vite, plus le rayon est grand. Un rapport $\lvert a_n/a_{n+1}\rvert$ qui explose signale des coefficients qui s'effondrent, donc un rayon infini.

⚠️ La règle ne s'applique que si les $a_n$ sont non nuls à partir d'un rang et si la limite existe. Pour $\sum x^{2n}$ , un coefficient sur deux est nul : il faut alors poser $u=x^2$ , ou employer Cauchy (A5).

Le calcul

a_n=\frac{1}{n!}.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=\frac{(n+1)!}{n!}.

👉 Le quotient de factorielles se simplifie d'un coup :

(n+1)!=(n+1)\times n!\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{(n+1)!}{n!}=n+1.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=n+1\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ +\infty.

\boxed{R=+\infty}

👉 La série converge pour TOUT réel $x$ — et même pour tout complexe.

⚠️ Ne jamais développer les factorielles : écrire $n!=1\times 2\times\cdots\times n$ ne mène nulle part. C'est la relation $(n+1)!=(n+1)\,n!$ qui fait tout le travail, et elle sert dans presque tous les calculs de rayon.

Le controle : la serie converge bien partout

👉 Vérifions directement par d'Alembert appliqué à la SÉRIE, pour $x$ fixé :

\left\lvert\frac{u_{n+1}}{u_n}\right\rvert=\left\lvert\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!}\right\rvert=\frac{\lvert x\rvert}{n+1}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 0<1.

👉 La limite vaut $0$ quel que soit $x$ , donc la série converge absolument partout ✓

Quelques valeurs, pour voir la vitesse :

$n$	$\lvert x\rvert=10$	$\lvert x\rvert=100$
$10$	$10/11\approx 0{,}91$	$100/11\approx 9{,}1$
$100$	$10/101\approx 0{,}099$	$100/101\approx 0{,}99$
$1000$	$\approx 0{,}01$	$\approx 0{,}1$

⚠️ Pour $x=100$ , le rapport ne passe sous $1$ qu'à partir de $n=100$ : les premiers termes croissent avant de décroître. La convergence est certaine mais tardive — c'est le comportement typique de $\sum x^n/n!$ pour un grand $x$ .

👉 La somme est $e^x$ (B1, E5), et cette série est la définition de l'exponentielle en analyse.

Ce que le rayon dit, et ce qu'il ne dit PAS

\boxed{\lvert x\rvert<R\ \Rightarrow\ \text{convergence ABSOLUE}\qquad \lvert x\rvert>R\ \Rightarrow\ \text{DIVERGENCE grossiere}}

👉 La divergence pour $\lvert x\rvert>R$ est même « grossière » : le terme général ne tend pas vers $0$ .

⚠️⚠️ Le rayon ne dit RIEN sur les bornes $\lvert x\rvert=R$ . Les quatre cas sont possibles, et A4 en explore un :

série	$R$	en $x=R$	en $x=-R$
$\sum x^n$	$1$	diverge	diverge
$\sum \tfrac{x^n}{n}$	$1$	diverge	converge
$\sum \tfrac{x^n}{n^2}$	$1$	converge	converge

👉 Ici la question ne se pose pas : $R=+\infty$ , il n'y a pas de borne à étudier.

👉 Les trois rayons « remarquables » à reconnaître :

$R$	signification	exemple
$0$	converge seulement en $0$	$\sum n!\,x^n$ (A6)
fini $>0$	un vrai disque de convergence	$\sum x^n/3^n$ , $R=3$ (A3)
$+\infty$	converge partout	$\sum x^n/n!$

ℹ️ Les fonctions dont le DSE a un rayon infini s'appellent entières — $e^x$ , $\sin$ , $\cos$ , $\cosh$ . Ce sont les mieux comprises de toute l'analyse complexe.

Réponse.

R=+\infty

: la série

\sum\frac{x^n}{n!}

converge pour tout

x\in\mathbb R

(c'est

e^x

). (Recoupement :

e^x

est entière ✓)

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Rayon d'une série polynomiale

ApplicationDifficulté 3/5

Déterminer le rayon de convergence de $\displaystyle\sum_{n\ge1} n\,x^n$ .

Indices (3)

$a_n=n$ ; $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{n}$ .

$\dfrac{n+1}{n}\to1$ .

$R=1/\ell$ .

Correction détaillée

Le calcul par d'Alembert

a_n=n.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{n}{n+1}.

👉 Pour lever l'indétermination $\infty/\infty$ , on factorise par le terme dominant :

\frac{n}{n+1}=\frac{n}{n\left(1+\frac1n\right)}=\frac{1}{1+\frac1n}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 1.

\boxed{R=1}

👉 La série converge pour $\lvert x\rvert<1$ et diverge pour $\lvert x\rvert>1$ .

⚠️ Le rapport $\frac{n}{n+1}$ est toujours $<1$ , et pourtant sa limite vaut $1$ . Il ne faut pas conclure trop vite d'une inégalité stricte à chaque rang : c'est la limite qui donne le rayon.

Le fait general : un facteur POLYNOMIAL ne change pas le rayon

\boxed{\text{Si}\ a_n=P(n)\,b_n\ \text{avec}\ P\ \text{polynomial non nul, alors}\ R_a=R_b}

👉 Pourquoi : le rapport $\dfrac{P(n)}{P(n+1)}$ tend vers $1$ , donc il ne modifie pas la limite du quotient quand elle existe (en général, Cauchy-Hadamard conclut, car $\lvert P(n)\rvert^{1/n}\to1$ ).

Vérifions sur plusieurs séries de coefficient polynomial :

série	$a_n$	$\lvert a_n/a_{n+1}\rvert$	$R$
$\sum x^n$	$1$	$1$	$1$
$\sum n\,x^n$	$n$	$\frac{n}{n+1}\to 1$	$\mathbf{1}$
$\sum n^2x^n$	$n^2$	$\frac{n^2}{(n+1)^2}\to 1$	$1$
$\sum (n^2+1)x^n$	$n^2+1$	$\to 1$	$1$ (E1)
$\sum \frac{x^n}{n}$	$\frac1n$	$\frac{n+1}{n}\to 1$	$1$

👉 Toutes ont le même rayon $1$ — multiplier ou diviser par un polynôme en $n$ ne le change pas.

👉 C'est ce qui explique B3 et C1 : dériver ou intégrer terme à terme multiplie les coefficients par $n$ ou $\frac1n$ , donc conserve le rayon. C'est le fait qui rend ces manipulations légitimes.

Les bornes

⚠️ Le rayon ne dit rien en $x=\pm 1$ — il faut étudier séparément.

En $x=1$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 1}n$ .

n\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ +\infty\ \neq\ 0.

👉 Le terme général ne tend pas vers $0$ : divergence GROSSIÈRE.

En $x=-1$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 1}(-1)^nn$ , dont le terme général ne tend pas vers $0$ non plus (il oscille en amplitude croissante).

\boxed{\text{intervalle de convergence exact}\ :\ ]-1,\ 1[}

👉 Les deux bornes sont exclues, contrairement à $\sum x^n/n$ où l'une des deux est incluse (A4).

👉 Le réflexe pour les bornes : tester d'abord si $u_n\to 0$ . Si non, c'est fini — divergence grossière, sans plus d'analyse. Ici c'est immédiat des deux côtés.

La somme, et ce qu'elle vaut

👉 Cette série a une somme explicite (C1) :

\boxed{\sum_{n\geq 1}n\,x^n=\frac{x}{(1-x)^2}\qquad\text{pour}\ \lvert x\rvert<1}

Contrôlons en $x=\tfrac12$ :

\frac{1/2}{(1/2)^2}=\frac{1/2}{1/4}=2.

Et par sommation directe :

\frac12+\frac24+\frac38+\frac4{16}+\frac5{32}+\cdots=0{,}5+0{,}5+0{,}375+0{,}25+0{,}156+\cdots

nombre de termes	$5$	$10$	$20$
somme partielle	$1{,}78125$	$1{,}98828$	$1{,}999979$

👉 La convergence vers $2$ est visible ✓ — et c'est exactement la valeur de D3.

👉 On l'obtient en dérivant la série géométrique (B3, C1) :

\frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n\geq 1}nx^{n-1},

puis on multiplie par $x$ .

ℹ️ Le rayon est conservé par dérivation, ce qui confirme $R=1$ — cohérent avec le calcul direct.

Réponse.

R=1

. (Recoupement : la somme

\sum n x^n=\dfrac{x}{(1-x)^2}

a un pôle en

x=1

, cohérent avec

R=1

✓)

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Rayon d'une série géométrique pondérée

ApplicationDifficulté 3/5

Déterminer le rayon de convergence de $\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{3^n}$ .

Indices (3)

$a_n=\dfrac1{3^n}$ ; $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{3^n}{3^{n+1}}=\dfrac13$ .

$\ell=\dfrac13$ .

$R=1/\ell$ .

Correction détaillée

Le calcul

a_n=\frac{1}{3^n}.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{1/3^n}{1/3^{n+1}}=\frac{3^{n+1}}{3^n}=3.

👉 Le rapport est CONSTANT, égal à $3$ — pas besoin de passer à la limite.

\boxed{R=3}

👉 C'est la signature d'une série géométrique : le rapport des coefficients ne dépend pas de $n$ , donc le rayon se lit immédiatement.

\boxed{\sum \frac{x^n}{a^n}\ \text{a pour rayon}\ \lvert a\rvert}

La voie directe : c'est une serie GEOMETRIQUE

👉 Réécrivons la série :

\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{3^n}=\sum_{n\geq 0}\left(\frac{x}{3}\right)^n.

👉 C'est une série géométrique de raison $q=\dfrac x3$ , qui converge si et seulement si $\lvert q\rvert<1$ :

\left\lvert\frac x3\right\rvert<1\qquad\Longleftrightarrow\qquad \lvert x\rvert<3.

\boxed{R=3\ \checkmark}

👉 Et la somme se calcule exactement, par la formule géométrique :

\sum_{n\geq 0}\left(\frac x3\right)^n=\frac{1}{1-\frac x3}=\frac{3}{3-x}\qquad\text{pour}\ \lvert x\rvert<3.

Contrôle en $x=1$ : la formule donne $\dfrac{3}{2}=1{,}5$ , et la somme vaut

1+\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{1}{1-1/3}=\frac32\ \checkmark

👉 Cette voie est plus courte que d'Alembert, et elle donne la somme en prime.

Les bornes

En $x=3$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{3^n}{3^n}=\sum_{n\geq 0}1$ .

u_n=1\ \not\to\ 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{DIVERGE}.

En $x=-3$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 0}(-1)^n$ , dont le terme général oscille entre $1$ et $-1$ .

u_n\ \not\to\ 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{DIVERGE}.

\boxed{\text{intervalle exact}\ :\ ]-3,\ 3[}

👉 Les deux bornes sont exclues. C'est toujours le cas pour une série géométrique pure : en $\lvert x\rvert=R$ , le terme général a pour module $1$ et ne tend jamais vers $0$ .

⚠️ La série $\sum(-1)^n$ ne converge pas, même si ses sommes partielles restent bornées (elles valent $1,0,1,0,\dots$ ). « Borné » n'est pas « convergent ».

Le lien avec E3, et la generalisation

👉 La même série apparaît sous une autre forme en E3 : développer $\dfrac{1}{2-x}$ .

\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac x2}=\frac12\sum_{n\geq 0}\left(\frac x2\right)^n=\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{2^{n+1}},

de rayon $2$ .

👉 Le geste est toujours le même — FACTORISER pour faire apparaître $\dfrac{1}{1-u}$ :

à développer	factorisation	$u$	rayon
$\dfrac{1}{3-x}$	$\dfrac13\cdot\dfrac{1}{1-x/3}$	$x/3$	$3$
$\dfrac{1}{2-x}$	$\dfrac12\cdot\dfrac{1}{1-x/2}$	$x/2$	$2$
$\dfrac{1}{1+x}$	$\dfrac{1}{1-(-x)}$	$-x$	$1$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\dfrac{1}{1-(-x^2)}$	$-x^2$	$1$

⚠️ Il faut que le terme constant du dénominateur soit ramené à $1$ — c'est ce que fait la mise en facteur. Écrire $\dfrac{1}{2-x}=\sum(x/2)^n$ sans le facteur $\tfrac12$ est l'erreur classique.

👉 Contrôle immédiat : évaluer en $x=0$ . Ici $\dfrac{1}{2-0}=\dfrac12$ , et le premier terme de la série doit valoir $\dfrac12$ ✓

ℹ️ Les deux dernières lignes du tableau servent en B2 et B5, pour développer $\ln(1+x)$ et $\arctan x$ par intégration.

Réponse.

R=3

. (Recoupement :

\sum\left(\frac x3\right)^n

est géométrique de raison

\frac x3

, convergente ssi

|x|<3

✓)

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Intervalle de convergence (étude aux bornes)

DémonstrationDifficulté 3/5

Déterminer l'intervalle de convergence exact de $\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n}$ (bornes comprises).

Indices (3)

Rayon : $a_n=\dfrac1n$ , $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac n{n+1}\to1$ , donc $R=1$ .

En $x=1$ : $\sum\dfrac1n$ (série harmonique).

En $x=-1$ : $\sum\dfrac{(-1)^n}n$ (série alternée).

Correction détaillée

Le rayon

a_n=\frac1n.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{1/n}{1/(n+1)}=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 1.

\boxed{R=1}

👉 La série converge donc pour $\lvert x\rvert<1$ et diverge pour $\lvert x\rvert>1$ .

⚠️⚠️ Mais le rayon ne dit RIEN en $x=1$ ni en $x=-1$ , et c'est tout l'objet de l'exercice. Il faut étudier chaque borne séparément — et l'on va voir qu'elles ne se comportent pas de la même façon.

En $x=1$ : la serie harmonique DIVERGE

\sum_{n\geq 1}\frac{1^n}{n}=\sum_{n\geq 1}\frac1n.

👉 C'est la série harmonique, et elle DIVERGE — bien que son terme général tende vers $0$ .

La démonstration classique, par paquets (Oresme, XIVᵉ siècle) :

\underbrace{\frac12}_{\geq 1/2}+\underbrace{\frac13+\frac14}_{\geq 2\times\frac14=\frac12}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac18}_{\geq 4\times\frac18=\frac12}+\cdots

👉 Chaque paquet vaut au moins $\tfrac12$ , et il y a une infinité de paquets : la somme dépasse toute borne.

⚠️⚠️ C'est LE contre-exemple à retenir : $u_n\to 0$ n'entraîne PAS la convergence. La condition est nécessaire, jamais suffisante.

Quelques sommes partielles, pour mesurer la lenteur :

$N$	$10$	$100$	$10^6$
$\sum_{n=1}^N\frac1n$	$\approx 2{,}93$	$\approx 5{,}19$	$\approx 14{,}4$

👉 La croissance est logarithmique ( $\sim\ln N$ ), donc très lente — mais infinie.

En $x=-1$ : la serie alternee CONVERGE

\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n}.

👉 Le critère des séries alternées (Leibniz) s'applique : la suite $\left(\tfrac1n\right)$ est positive, décroissante, et tend vers $0$ .

\boxed{\text{la serie ALTERNEE CONVERGE}}

Et sa somme est connue :

\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n}=-\ln 2\approx -0{,}6931.

👉 C'est le DSE de $\ln(1+x)$ évalué en $x=-1$ , au signe près (B2).

⚠️⚠️ La convergence n'est PAS absolue : $\sum\left\lvert\tfrac{(-1)^n}{n}\right\rvert=\sum\tfrac1n$ diverge. On dit que la convergence est CONDITIONNELLE — elle repose entièrement sur la compensation des signes.

👉 Conséquence surprenante (Riemann) : en réarrangeant les termes d'une série conditionnellement convergente, on peut obtenir n'importe quelle somme. L'ordre des termes compte, ce qui n'arrive jamais pour une série absolument convergente.

Les sommes partielles alternent autour de la limite :

$N$	$2$	$4$	$10$
$\sum_{n=1}^N\frac{(-1)^n}{n}$	$-0{,}5$	$-0{,}583$	$-0{,}646$

👉 C'est le comportement typique d'une série alternée : les sommes partielles encadrent la limite, et l'erreur est majorée par le premier terme négligé.

L'intervalle exact, et le tableau des trois cas

\boxed{\text{intervalle de convergence exact}\ :\ [-1,\ 1[}

👉 Fermé à gauche, ouvert à droite — c'est l'asymétrie qui rend cet exercice instructif.

borne	comportement
$x=-1$	converge (Leibniz), somme $-\ln 2$
$x=1$	diverge (harmonique)

👉 Et les trois séries de rayon $1$ à connaître, qui épuisent les cas :

série	$x=1$	$x=-1$	intervalle
$\sum x^n$	diverge	diverge	$]-1,1[$
$\sum \tfrac{x^n}{n}$	diverge	converge	$[-1,1[$
$\sum \tfrac{x^n}{n^2}$	converge	converge	$[-1,1]$

👉 Trois séries, même rayon, trois intervalles différents. C'est la meilleure illustration de ce que le rayon ne détermine pas les bornes.

👉 La règle de lecture : plus les coefficients décroissent vite, plus on gagne de bornes. $\tfrac1{n^2}$ est sommable, donc les deux bornes passent ; $\tfrac1n$ ne l'est pas, mais l'alternance sauve une borne ; $1$ ne sauve rien.

ℹ️ La somme est $-\ln(1-x)$ sur $[-1,1[$ (C2) — et le théorème d'Abel garantit que cette formule reste valable jusqu'en $x=-1$ inclus, ce qui donne $-\ln 2$ ✓

Réponse. Intervalle de convergence :

[-1,1[

. (Recoupement : c'est l'intervalle de

-\ln(1-x)=\sum\frac{x^n}n

, défini en

-1

mais pas en

1

✓)

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Rayon par la règle de Cauchy

DémonstrationDifficulté 3/5

Déterminer le rayon de convergence de $\displaystyle\sum_{n\ge1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} x^n$ par la règle de Cauchy.

Indices (3)

$|a_n|^{1/n}=\left(\dfrac n{n+1}\right)^{n}$ .

$\left(\dfrac n{n+1}\right)^{n}=\left(1-\dfrac1{n+1}\right)^{n}\to e^{-1}$ .

$R=1/\ell$ avec $\ell=\lim|a_n|^{1/n}$ .

Correction détaillée

La regle de Cauchy

\boxed{\frac1R=\lim_{n\to\infty}\lvert a_n\rvert^{1/n}\qquad\text{(regle de Cauchy, ou de Cauchy-Hadamard)}}

👉 Elle est plus puissante que d'Alembert : elle s'applique même quand des coefficients sont nuls, et même quand le quotient $\lvert a_n/a_{n+1}\rvert$ n'a pas de limite (en remplaçant $\lim$ par $\limsup$ ).

⚠️ Attention au sens : c'est $\dfrac1R$ que la limite donne, pas $R$ . Il faut inverser à la fin — l'oublier est l'erreur la plus fréquente.

👉 Quand l'employer plutôt que d'Alembert : dès que $a_n$ est une puissance $n$ -ième, ce qui est exactement le cas ici. La racine $n$ -ième la simplifie d'un coup.

a_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}.

La racine $n$-ieme

\lvert a_n\rvert^{1/n}=\left[\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\right]^{1/n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2/n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

👉 L'exposant $n^2$ devient $n$ — c'est tout le bénéfice de la racine, et c'est pourquoi Cauchy est le bon outil ici.

Reconnaissons une limite classique :

\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\frac{1}{\left(1+\frac1n\right)^n}.

👉 Or $\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e$ , la limite qui définit $e$ .

\lvert a_n\rvert^{1/n}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \frac1e.

👉 Contrôle par le logarithme, méthode générale pour ce type de limite :

n\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=-n\ln\left(1+\frac1n\right)\sim -n\cdot\frac1n=-1,

donc la limite vaut $e^{-1}$ ✓

Le rayon

\frac1R=\frac1e\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{R=e\approx 2{,}718}

👉 Un rayon égal à $e$ — c'est inattendu, et c'est ce qui rend l'exercice mémorable. Le nombre $e$ surgit d'un coefficient qui n'a rien d'exponentiel à première vue.

⚠️ Ne pas oublier d'inverser. Répondre $R=\tfrac1e\approx 0{,}368$ serait l'erreur exacte que le §1 annonce.

Contrôle numérique, pour vérifier que la limite est bien approchée :

$n$	$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$	$1/e$
$10$	$\approx 0{,}3855$	$0{,}3679$
$100$	$\approx 0{,}3697$	$0{,}3679$
$1000$	$\approx 0{,}3681$	$0{,}3679$

👉 La convergence vers $1/e$ est nette ✓ — et lente, en $O(1/n)$ , ce qui est le comportement typique de cette limite.

👉 Vérification du sens : puisque $\lvert a_n\rvert^{1/n}\approx\tfrac1e<1$ , les coefficients décroissent géométriquement, donc le rayon doit être $>1$ — et $e>1$ ✓

Cauchy contre d'Alembert : quand employer laquelle

	d'Alembert	Cauchy
formule	$R=\lim\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert$	$\frac1R=\lim\lvert a_n\rvert^{1/n}$
coefficients nuls	❌ inapplicable	✅ marche
pas de limite	❌	✅ avec $\limsup$
factorielles	✅ le plus simple	❌ pénible
puissances $n$ -ièmes	❌ pénible	✅ le plus simple

👉 Le réflexe : regarder la FORME du coefficient.

$a_n$ contient	employer
$n!$ , $(2n)!$ , produits	d'Alembert — les factorielles se télescopent
$(\dots)^n$ , $(\dots)^{n^2}$	Cauchy — la racine simplifie l'exposant
polynôme en $n$	l'une ou l'autre, $R$ inchangé (A2)

⚠️ Un cas où d'Alembert ÉCHOUE et Cauchy réussit : $\sum x^{2n}$ , dont un coefficient sur deux est nul. Le quotient $a_n/a_{n+1}$ n'a aucun sens, mais $\lvert a_n\rvert^{1/n}$ vaut $0$ ou $1$ selon la parité, de $\limsup$ égal à $1$ — d'où $R=1$ .

👉 La formule de Cauchy-Hadamard avec $\limsup$ est donc la seule TOUJOURS valable :

\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\lvert a_n\rvert^{1/n}.

ℹ️ D'Alembert, lui, n'est qu'un raccourci commode quand il s'applique — mais c'est le plus souvent le cas en pratique.

Réponse.

R=e

. (Recoupement : d'Alembert serait pénible ici — la règle de Cauchy est adaptée aux exposants en

n^2

✓)

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Rayons extrêmes (0 et fini)

CalculDifficulté 3/5

Déterminer le rayon de convergence de : (a) $\displaystyle\sum_{n\ge0} n!\,x^n$ ; (b) $\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{2^n n}$ .

Indices (3)

(a) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1\to+\infty$ .

(b) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^n n}{2^{n+1}(n+1)}=\dfrac{n}{2(n+1)}\to\dfrac12$ .

$R=1/\ell$ (avec $R=0$ si $\ell=+\infty$ ).

Correction détaillée

(a) $\sum n!\,x^n$ : un rayon NUL

a_n=n!.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 0.

\boxed{R=0}

👉 La série ne converge QU'EN $x=0$ , où elle vaut trivialement $0!=1$ .

⚠️ Pour tout $x\neq 0$ , elle diverge grossièrement. Vérifions :

\left\lvert\frac{u_{n+1}}{u_n}\right\rvert=\frac{(n+1)!\,\lvert x\rvert^{n+1}}{n!\,\lvert x\rvert^n}=(n+1)\lvert x\rvert\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ +\infty.

👉 Le rapport tend vers l'infini quel que soit $x\neq 0$ : les termes finissent par croître sans borne.

👉 Et le rapport vaut exactement $1$ quand $n+1=\dfrac{1}{\lvert x\rvert}$ — c'est là que les termes cessent de décroître et commencent à remonter.

Valeurs exactes pour $x=0{,}01$ — même un $x$ minuscule ne sauve rien :

$n$	$n!\,(0{,}01)^n$
$10$	$3{,}6\times 10^{-14}$
$\mathbf{99}$ et $\mathbf{100}$	$9{,}3\times 10^{-43}$ — minimum, les deux ÉGAUX
$200$	$7{,}9\times 10^{-26}$
$\mathbf{269}$	dépasse $1$
$300$	$3{,}1\times 10^{+14}$
$400$	$6{,}4\times 10^{+68}$

👉 Le minimum tombe exactement à $n=\frac{1}{x}=100$ , et les termes $n=99$ et $n=100$ sont rigoureusement égaux — puisque le rapport y vaut $100\times 0{,}01=1$ .

⚠️⚠️ Les termes décroissent pendant CENT rangs, jusqu'à $10^{-43}$ , avant de remonter. C'est ce qui rend un rayon nul si difficile à voir numériquement : sur les premiers termes, tout ressemble à une série qui converge magnifiquement.

(b) $\sum\dfrac{x^n}{2^n n}$ : un rayon fini

a_n=\frac{1}{2^n n}.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{2^{n+1}(n+1)}{2^n\,n}=2\cdot\frac{n+1}{n}=2\left(1+\frac1n\right)\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 2.

\boxed{R=2}

👉 Le facteur $\frac1n$ ne change pas le rayon (A2) : seule la partie géométrique $\frac{1}{2^n}$ compte.

Contrôle par la réécriture :

\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{2^n n}=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}\left(\frac x2\right)^n,

qui est la série $\sum\frac{u^n}{n}$ avec $u=\frac x2$ . Cette dernière a pour rayon $1$ en $u$ (A4), donc

\left\lvert\frac x2\right\rvert<1\iff \lvert x\rvert<2\ \checkmark

👉 Deux méthodes, même rayon.

Les bornes de (b) : encore l'asymetrie

👉 Par la réécriture $u=\frac x2$ , on ramène l'étude à celle de A4.

En $x=2$ , donc $u=1$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac1n$ — la série harmonique, qui DIVERGE.

En $x=-2$ , donc $u=-1$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n}$ — qui CONVERGE par Leibniz, vers $-\ln 2$ .

\boxed{\text{intervalle exact}\ :\ [-2,\ 2[}

👉 Même asymétrie qu'en A4, transportée par le changement de variable — ce qui est attendu, puisque c'est la même série.

👉 Et la somme est connue (C2) :

\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{2^n n}=-\ln\left(1-\frac x2\right)\qquad\text{sur}\ [-2,2[.

Contrôle en $x=1$ : la formule donne $-\ln\tfrac12=\ln 2\approx 0{,}693$ , et c'est exactement la somme $\sum\frac{1}{n2^n}$ de D3 ✓

Le tableau des rayons, et ce qui les determine

série	$a_n$	$R$	converge sur
$\sum n!\,x^n$	$n!$	$\mathbf{0}$	$\{0\}$ seulement
$\sum n\,x^n$	$n$	$1$	$]-1,1[$
$\sum\frac{x^n}{2^nn}$	$\frac{1}{2^nn}$	$\mathbf{2}$	$[-2,2[$
$\sum\frac{x^n}{3^n}$	$\frac1{3^n}$	$3$	$]-3,3[$
$\sum\frac{x^n}{n!}$	$\frac1{n!}$	$\mathbf{+\infty}$	$\mathbb{R}$

👉 La règle de lecture : le rayon est gouverné par la VITESSE de $a_n$ .

$a_n$ croît/décroît comme	$R$
$n!$ — croissance factorielle	$0$
$C^n$ — croissance géométrique	$1/C$
polynôme en $n$	$1$
$\frac{1}{C^n}$	$C$
$\frac{1}{n!}$ — décroissance factorielle	$+\infty$

👉 Les facteurs polynomiaux sont NEUTRES (A2) : $n$ , $n^2$ , $\frac1n$ ne déplacent jamais le rayon. Seule compte la partie géométrique ou factorielle.

⚠️ Une série de rayon nul n'est pas inutile : $\sum n!\,x^n$ est une série formelle, et elle apparaît comme développement asymptotique de fonctions réelles — par exemple $\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{1+xt}dt$ . Elle donne d'excellentes approximations en tronquant au rang du minimum, sans jamais converger.

👉 C'est exactement ce que le tableau du §1 montre : tronquer à $n=100$ pour $x=0{,}01$ donne une précision de $10^{-43}$ , et pousser plus loin ne fait que dégrader le résultat. Une série divergente peut donc être un excellent instrument de calcul, à condition de savoir où s'arrêter.

ℹ️ C'est tout le domaine des séries divergentes sommables, exploré par Borel et Euler bien avant qu'on sache leur donner un sens rigoureux.

Réponse. (a)

R=0

; (b)

R=2

. (Recoupement :

n!

croît trop vite

\Longrightarrow

rayon nul ; le facteur

2^n

fixe le rayon à

2

✓)

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DSE usuels et lien avec le DL

ApplicationDifficulté 3/5

Donner le développement en série entière (DSE) de $e^x$ et de $\dfrac1{1-x}$ , préciser leur rayon, et expliquer le lien avec le DL à l'ordre $3$ .

Indices (3)

Table : $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$ , $\dfrac1{1-x}=\sum x^n$ .

Rayons : $+\infty$ et $1$ .

Le DL à l'ordre $3$ est la troncature $\sum_{k=0}^3$ .

Correction détaillée

Les deux DSE fondateurs

\boxed{e^x=\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots,\qquad R=+\infty}

\boxed{\frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots,\qquad R=1}

👉 Ce sont les deux DSE dont TOUS les autres se déduisent — par substitution, dérivation, intégration ou produit.

obtenu à partir de	comment	résultat
$\frac{1}{1-x}$	$x\mapsto -x$	$\frac{1}{1+x}$ (B2)
$\frac{1}{1-x}$	$x\mapsto -x^2$	$\frac{1}{1+x^2}$ (B5)
$\frac{1}{1-x}$	dérivation	$\frac{1}{(1-x)^2}$ (B3)
$\frac{1}{1+x}$	intégration	$\ln(1+x)$ (B2)
$e^x$	$x\mapsto 2x$	$e^{2x}$ (E2)

👉 Les rayons se justifient différemment : celui de $e^x$ vient des factorielles (A1), celui de $\frac{1}{1-x}$ de la série géométrique (A3).

Le lien avec le DL a l'ordre 3

\boxed{\text{Le DL a l'ordre}\ n\ \text{est la TRONCATURE du DSE, plus un reste}\ o(x^n)}

Pour $e^x$ :

e^x=\underbrace{1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}}_{\text{DL}_3}+o(x^3).

Pour $\dfrac{1}{1-x}$ :

\frac{1}{1-x}=\underbrace{1+x+x^2+x^3}_{\text{DL}_3}+o(x^3).

👉 Et le lien avec Taylor est direct : le coefficient de $x^n$ dans le DSE vaut $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ .

Vérifions sur $e^x$ , dont toutes les dérivées valent $e^x$ :

\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{e^0}{n!}=\frac{1}{n!}\ \checkmark

Et sur $\dfrac{1}{1-x}$ , dont la $n$ -ième dérivée vaut $\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ :

\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{n!}{n!}=1\ \checkmark

⚠️ Ce qui SEPARE le DL du DSE

👉 Ce sont deux notions distinctes, et la confusion est fréquente.

	DL à l'ordre $n$	DSE
nature	somme FINIE $+\ o(x^n)$	somme INFINIE, égalité exacte
portée	au voisinage de $0$	sur tout le disque $\lvert x\rvert<R$
existence	dès que $f$ est $n$ fois dérivable	beaucoup plus rare

⚠️⚠️ Une fonction peut avoir des DL à tout ordre SANS avoir de DSE. Le contre-exemple classique :

f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2} & x\neq 0\\ 0 & x=0.\end{cases}

👉 Toutes ses dérivées en $0$ sont NULLES, donc sa série de Taylor est identiquement nulle. Elle converge partout — vers $0$ — alors que $f(x)>0$ pour $x\neq 0$ .

\boxed{f\ \text{est}\ C^\infty,\ \text{sa serie de Taylor converge, et NE VAUT PAS}\ f}

👉 Une fonction dont le DSE existe et vaut $f$ s'appelle ANALYTIQUE. C'est strictement plus fort que $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

ℹ️ Sur $\mathbb{C}$ , en revanche, les deux coïncident : toute fonction dérivable au sens complexe est automatiquement analytique. C'est l'un des résultats les plus frappants de l'analyse complexe.

Pourquoi ces deux DSE sont si utiles

👉 Ils donnent des SOMMES NUMÉRIQUES exactes, par simple évaluation.

Pour $e^x$ en $x=1$ :

e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}=1+1+\frac12+\frac16+\frac1{24}+\cdots

termes	$3$	$5$	$10$
somme	$2{,}5$	$2{,}708333$	$2{,}7182815$

👉 Convergence très rapide — dix termes donnent six décimales exactes de $e\approx 2{,}718281828$ .

Pour $\dfrac{1}{1-x}$ en $x=\tfrac12$ :

\frac{1}{1-1/2}=2=1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\ \checkmark

👉 Trois autres usages, tous exploités dans ce chapitre :

usage	où
calculer une limite ( $\frac{e^x-1}{x}\to 1$ )	via le DL
résoudre une équation différentielle	D1, D2
définir $e^z$ , $\sin z$ , $\cos z$ sur $\mathbb{C}$	analyse complexe

👉 La dernière est fondamentale : le DSE est la définition la plus directe de l'exponentielle qui s'étende aux complexes et aux matrices. C'est par lui qu'on définit $e^{At}$ , dont dépend toute la résolution des systèmes différentiels.

ℹ️ Et c'est en évaluant $e^{ix}$ par son DSE, puis en séparant parties réelle et imaginaire, qu'on obtient la formule d'Euler $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ .

Réponse.

e^x=\sum\frac{x^n}{n!}

(

R=\infty

),

\frac1{1-x}=\sum x^n

(

R=1

) ; le DL est la troncature de la série entière. (Recoupement : chapitre DL ✓)

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DSE de ln(1+x) par intégration

DémonstrationDifficulté 3/5

Établir le DSE de $\ln(1+x)$ en intégrant terme à terme celui de $\dfrac1{1+x}$ , et donner son rayon.

Indices (3)

$\dfrac1{1+x}=\dfrac1{1-(-x)}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n x^n$ ( $R=1$ ).

$\ln(1+x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac{dt}{1+t}$ : intégrer terme à terme.

$\int_0^x t^n\,dt=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ .

Correction détaillée

Le point de depart : le DSE de $\dfrac{1}{1+x}$

👉 On part de la série géométrique, en substituant $x\mapsto -x$ :

\frac{1}{1-u}=\sum_{n\geq 0}u^n\qquad\xrightarrow{\ u=-x\ }\qquad \frac{1}{1+x}=\sum_{n\geq 0}(-x)^n=\sum_{n\geq 0}(-1)^nx^n.

\boxed{\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots,\qquad R=1}

👉 Le rayon est inchangé : la condition $\lvert u\rvert<1$ devient $\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert<1$ .

Contrôle en $x=\tfrac12$ :

\frac{1}{1{,}5}=\frac23\approx 0{,}667\qquad\text{et}\qquad 1-\tfrac12+\tfrac14-\tfrac18+\tfrac1{16}-\cdots=\frac{1}{1+1/2}=\frac23\ \checkmark

⚠️ Le signe alterné vient du $(-1)^n$ , et il faut le garder tout au long de l'intégration.

Integrer terme a terme

\boxed{\text{Une serie entiere s'integre TERME A TERME sur son disque ouvert de convergence, sans changer le rayon}}

👉 C'est ce qui rend la méthode légitime, et le rayon reste $1$ parce que diviser par $n+1$ est un facteur polynomial (A2).

Primitivons chaque terme :

\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\int_0^x\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^n\,dt=\sum_{n\geq 0}(-1)^n\int_0^xt^n\,dt=\sum_{n\geq 0}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}.

👉 Et le membre de gauche vaut $\ln(1+x)$ :

\int_0^x\frac{dt}{1+t}=\big[\ln(1+t)\big]_0^x=\ln(1+x)-\ln 1=\ln(1+x).

Réindexons en posant $m=n+1$ , donc $n=m-1$ et $m$ part de $1$ :

\boxed{\ln(1+x)=\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^{m-1}}{m}x^m=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots,\qquad R=1}

⚠️ La réindexation change le signe : $(-1)^n$ avec $n=m-1$ devient $(-1)^{m-1}$ . L'oublier inverse toute la série.

Les controles

1. Le terme constant. En $x=0$ , la série vaut $0$ , et $\ln(1+0)=\ln 1=0$ ✓

👉 C'est le contrôle le plus rapide, et il attrape la plupart des erreurs de constante d'intégration.

2. La dérivée. Dérivons la série terme à terme :

\sum_{m\geq 1}(-1)^{m-1}x^{m-1}=1-x+x^2-\cdots=\frac{1}{1+x}\ \checkmark

3. Le premier terme. Le DL à l'ordre $1$ donne $\ln(1+x)\approx x$ , ce qui est l'équivalent classique $\ln(1+x)\sim x$ en $0$ ✓

4. Numérique, en $x=\tfrac12$ — $\ln 1{,}5\approx 0{,}4055$ :

termes	$2$	$4$	$8$
somme	$0{,}375$	$0{,}40104$	$0{,}40532$

👉 La convergence est nette ✓ — et les sommes partielles encadrent la limite, comme toute série alternée.

Les bornes, et la formule de $\ln 2$

👉 Le rayon vaut $1$ , mais les bornes se comportent différemment (A4) :

borne	série obtenue	comportement
$x=1$	$1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$	CONVERGE (Leibniz)
$x=-1$	$-1-\tfrac12-\tfrac13-\cdots$	DIVERGE (harmonique)

⚠️ L'asymétrie est INVERSÉE par rapport à $\sum\frac{x^n}{n}$ de A4 — c'est le $(-1)^{m-1}$ qui échange les deux bornes. Le domaine de validité est donc

\boxed{]-1,\ 1]}

👉 En $x=1$ , le théorème d'Abel garantit que la formule reste valable, ce qui donne une somme célèbre :

\boxed{\ln 2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots\approx 0{,}6931}

⚠️⚠️ Mais la convergence y est DÉSESPÉRÉMENT lente : l'erreur après $N$ termes vaut environ $\frac{1}{2N}$ .

$N$	$10$	$1\,000$	$10^6$
erreur	$\approx 5\times 10^{-2}$	$\approx 5\times 10^{-4}$	$\approx 5\times 10^{-7}$

👉 Un million de termes pour six décimales — inutilisable en pratique. On préfère évaluer en $x=-\tfrac12$ dans $-\ln(1-x)$ , où la convergence est géométrique (D3).

ℹ️ Le même phénomène frappe la formule de Leibniz pour $\pi/4$ (D4), et pour la même raison : évaluer à la borne du disque de convergence est toujours lent.

Réponse.

\ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}

,

R=1

. (Recoupement : intégration terme à terme conserve le rayon ; en

x=1

on retrouve

\ln2=\sum\frac{(-1)^{n-1}}n

✓)

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Dérivation terme à terme

DémonstrationDifficulté 3/5

En dérivant terme à terme $\dfrac1{1-x}=\displaystyle\sum_{n\ge0}x^n$ , établir le DSE de $\dfrac1{(1-x)^2}$ .

Indices (3)

$\left(\dfrac1{1-x}\right)'=\dfrac1{(1-x)^2}$ .

Dériver $\sum x^n$ terme à terme : $\sum_{n\ge1} n x^{n-1}$ .

Réindexer $n-1=m$ .

Correction détaillée

Le theoreme de derivation terme a terme

\boxed{\text{Une serie entiere est DERIVABLE terme a terme sur son disque ouvert, et le rayon est INCHANGE}}

f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n\qquad\Longrightarrow\qquad f'(x)=\sum_{n\geq 1}n\,a_nx^{n-1}.

👉 Le rayon est conservé parce que multiplier par $n$ est un facteur POLYNOMIAL (A2) — lorsque $\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert$ a une limite (sinon, Cauchy-Hadamard conclut, car $n^{1/n}\to1$ ) :

\left\lvert\frac{n\,a_n}{(n+1)a_{n+1}}\right\rvert=\frac{n}{n+1}\cdot\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 1\times R=R.

👉 Conséquence majeure : une somme de série entière est $C^\infty$ sur son disque ouvert, et on peut la dériver autant de fois qu'on veut.

⚠️ Le théorème ne dit rien AUX BORNES. La série dérivée peut diverger là où la série de départ convergeait — c'est le cas de $\sum\frac{x^n}{n}$ , qui converge en $x=-1$ , alors que sa dérivée $\sum x^{n-1}$ y diverge.

Le calcul

On part de la série géométrique :

\frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots

Dérivons le membre de gauche :

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{d}{dx}\big[(1-x)^{-1}\big]=(-1)(1-x)^{-2}\times(-1)=\frac{1}{(1-x)^2}.

👉 Attention au DOUBLE signe moins : celui de la dérivée de $u^{-1}$ , et celui de la dérivée de $(1-x)$ . Ils se compensent, d'où un résultat positif.

Dérivons le membre de droite, terme à terme :

\frac{d}{dx}\left(\sum_{n\geq 0}x^n\right)=\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots

👉 Le terme constant disparaît (sa dérivée est nulle), d'où le départ à $n=1$ .

\boxed{\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}=\sum_{n\geq 0}(n+1)\,x^n,\qquad R=1}

Les deux ecritures, et le controle

👉 Les deux indexations désignent la même série, il faut savoir passer de l'une à l'autre :

écriture	premiers termes
$\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}$	$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$
$\sum_{n\geq 0}(n+1)\,x^n$	$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$

👉 Le passage se fait en posant $m=n-1$ : quand $n$ part de $1$ , $m$ part de $0$ , et $n=m+1$ .

Contrôle par le développement direct :

\frac{1}{(1-x)^2}=\left(\sum_{n\geq 0}x^n\right)^2=\sum_{n\geq 0}\left(\sum_{k=0}^n 1\right)x^n=\sum_{n\geq 0}(n+1)x^n\ \checkmark

👉 C'est un produit de Cauchy (D5) : le coefficient de $x^n$ compte les couples $(k,n-k)$ , soit $n+1$ possibilités.

Contrôle numérique en $x=\tfrac12$ :

\frac{1}{(1/2)^2}=4\qquad\text{et}\qquad 1+2\cdot\tfrac12+3\cdot\tfrac14+4\cdot\tfrac18+\cdots

termes	$4$	$8$	$15$
somme	$3{,}25$	$3{,}92188$	$3{,}998962$

👉 Convergence vers $4$ ✓

Ce que la derivation debloque : toute une famille

👉 En multipliant par $x$ , on obtient la somme de E6 et C1 :

\boxed{\sum_{n\geq 1}n\,x^n=x\sum_{n\geq 1}nx^{n-1}=\frac{x}{(1-x)^2}}

👉 Et en dérivant encore, on descend toute la famille :

série	somme	obtenue par
$\sum_{n\geq 0}x^n$	$\frac{1}{1-x}$	géométrique
$\sum_{n\geq 1}nx^{n-1}$	$\frac{1}{(1-x)^2}$	dérivation
$\sum_{n\geq 1}nx^n$	$\frac{x}{(1-x)^2}$	$\times x$ (C1)
$\sum_{n\geq 2}n(n-1)x^{n-2}$	$\frac{2}{(1-x)^3}$	2ᵉ dérivation
$\sum_{n\geq 1}n^2x^n$	$\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$	combinaison (C3)

👉 La formule générale, obtenue par $k$ dérivations :

\frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\sum_{n\geq 0}\binom{n+k}{k}x^n.

Vérifions pour $k=1$ : $\binom{n+1}{1}=n+1$ ✓ — c'est bien notre résultat.

👉 Et l'intégration marche dans l'autre sens (B2) : elle divise les coefficients par $n$ , sans changer le rayon non plus.

ℹ️ Application en probabilités : $\sum n x^n$ et $\sum n^2x^n$ donnent directement l'espérance et la variance d'une loi géométrique, par la méthode des fonctions génératrices.

Réponse.

\dfrac1{(1-x)^2}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(n+1)x^n

,

R=1

. (Recoupement : sert au calcul de

\sum n x^n

en C1 ✓)

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Série du binôme (1+x)^α

CalculDifficulté 3/5

Donner le DSE de $(1+x)^\alpha$ , puis l'appliquer à $\sqrt{1+x}$ (jusqu'à l'ordre $3$ ).

Indices (3)

$(1+x)^\alpha=\displaystyle\sum_{n\ge0}\binom\alpha n x^n$ , $\binom\alpha n=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ , $R=1$ si $\alpha\notin\mathbb N$ .

Pour $\sqrt{1+x}$ : $\alpha=\dfrac12$ .

$\binom{1/2}1=\dfrac12$ , $\binom{1/2}2=\dfrac{(1/2)(-1/2)}2=-\dfrac18$ , $\binom{1/2}3=\dfrac1{16}$ .

Correction détaillée

La serie du binome

\boxed{(1+x)^\alpha=\sum_{n\geq 0}\binom{\alpha}{n}x^n,\qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}}

👉 Le coefficient binomial est GÉNÉRALISÉ : $\alpha$ n'a pas besoin d'être entier, seul le nombre de facteurs au numérateur est fixé par $n$ .

Les premiers termes, explicitement :

(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+\cdots

👉 Le rayon vaut $1$ si $\alpha\notin\mathbb{N}$ .

⚠️ Et si $\alpha\in\mathbb{N}$ , la série est FINIE : le facteur $(\alpha-n+1)$ s'annule pour $n=\alpha+1$ , donc tous les termes suivants sont nuls. On retrouve alors la formule du binôme de Newton, et $R=+\infty$ puisque la somme est un polynôme.

Vérifions pour $\alpha=2$ : $\binom{2}{0}=1$ , $\binom21=2$ , $\binom22=1$ , $\binom23=\frac{2\times 1\times 0}{6}=0$ ✓ — d'où $(1+x)^2=1+2x+x^2$ .

Appliquer a $\sqrt{1+x}$

\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2},\qquad \alpha=\tfrac12.

Calculons les quatre premiers coefficients, un par un :

\binom{1/2}{0}=1.

\binom{1/2}{1}=\frac{1/2}{1}=\frac12.

\binom{1/2}{2}=\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)}{2}=\frac{\frac12\times\left(-\frac12\right)}{2}=\frac{-\frac14}{2}=-\frac18.

\binom{1/2}{3}=\frac{\frac12\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{6}=\frac{\frac38}{6}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}.

\boxed{\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)}

⚠️ Les signes ALTERNENT à partir du terme en $x^2$ — un plus, un moins, un plus. C'est le comportement typique de $\alpha=\tfrac12$ , et il vient de ce que les facteurs $(\alpha-k)$ deviennent négatifs dès $k=1$ .

Les controles

1. Élever au carré — le contrôle le plus convaincant :

\left(1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}\right)^2.

Terme en $x$ : $2\times 1\times\frac12=1$ ✓

Terme en $x^2$ : $2\times 1\times\left(-\frac18\right)+\left(\frac12\right)^2=-\frac14+\frac14=\mathbf{0}$ ✓

Terme en $x^3$ : $2\times 1\times\frac1{16}+2\times\frac12\times\left(-\frac18\right)=\frac18-\frac18=\mathbf{0}$ ✓

\left(\sqrt{1+x}\right)^2=1+x+0\cdot x^2+0\cdot x^3+o(x^3)=1+x\ \checkmark

👉 Tous les termes au-delà du premier ordre s'annulent — c'est exactement ce qu'il faut, et c'est un contrôle qui attrape n'importe quelle erreur de coefficient.

2. Numérique, en $x=0{,}2$ — $\sqrt{1{,}2}\approx 1{,}095445$ :

ordre	$1$	$2$	$3$
approximation	$1{,}1$	$1{,}0950$	$1{,}09550$

👉 L'ordre $3$ donne quatre décimales exactes ✓

Les cas particuliers a connaitre

👉 Trois valeurs de $\alpha$ reviennent constamment :

$\alpha$	DSE	remarque
$-1$	$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$	la géométrique (B2)
$-2$	$\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-\cdots$	la dérivée (B3)
$\frac12$	$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\cdots$	ci-dessus
$-\frac12$	$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac x2+\frac{3x^2}8-\cdots$	sert en physique

👉 Vérifions $\alpha=-1$ : $\binom{-1}{n}=\dfrac{(-1)(-2)\cdots(-n)}{n!}=\dfrac{(-1)^nn!}{n!}=(-1)^n$ ✓ — on retrouve exactement la série géométrique alternée.

👉 L'approximation d'ordre $1$ est LA formule d'ingénieur :

\boxed{(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x\qquad\text{pour}\ \lvert x\rvert\ \text{petit}}

Exemples d'usage : $\sqrt{1{,}02}\approx 1{,}01$ · $\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\approx 1+\frac{v^2}{2c^2}$ en relativité · $(1+i)^n\approx 1+ni$ pour les intérêts composés.

⚠️ Le rayon vaut $1$ , donc l'approximation se dégrade vite au-delà de $\lvert x\rvert\approx 0{,}3$ . Pour $x=0{,}5$ , l'ordre $1$ donne $1{,}25$ contre $\sqrt{1{,}5}\approx 1{,}2247$ — déjà $2\ \%$ d'erreur.

ℹ️ Newton a découvert cette série vers 1665, en cherchant à interpoler les coefficients du binôme entre les valeurs entières. C'est l'un des points de départ de l'analyse moderne.

Réponse.

(1+x)^\alpha=\sum\binom\alpha n x^n

(

R=1

si

\alpha\notin\mathbb N

) ;

\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\cdots

. (Recoupement :

\alpha=-1

redonne

\frac1{1+x}=\sum(-1)^n x^n

✓)

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DSE de arctan par intégration

DémonstrationDifficulté 3/5

Établir le DSE de $\arctan x$ en intégrant terme à terme celui de $\dfrac1{1+x^2}$ .

Indices (3)

$\dfrac1{1+x^2}=\dfrac1{1-(-x^2)}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n x^{2n}$ , $R=1$ .

$\arctan x=\displaystyle\int_0^x\dfrac{dt}{1+t^2}$ .

$\int_0^x t^{2n}\,dt=\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$ .

Correction détaillée

Le point de depart : $\dfrac{1}{1+x^2}$

👉 On substitue $u=-x^2$ dans la série géométrique :

\frac{1}{1-u}=\sum_{n\geq 0}u^n\qquad\xrightarrow{\ u=-x^2\ }\qquad \frac{1}{1+x^2}=\sum_{n\geq 0}(-x^2)^n=\sum_{n\geq 0}(-1)^nx^{2n}.

\boxed{\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots}

👉 Le rayon : la condition $\lvert u\rvert<1$ devient $x^2<1$ , soit

\lvert x\rvert<1\qquad\Longrightarrow\qquad R=1.

⚠️ Seuls les exposants PAIRS apparaissent — un coefficient sur deux est nul. C'est un cas où d'Alembert ne s'applique pas directement (A5), et où la substitution est la bonne voie.

Contrôle en $x=\tfrac12$ : $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$ , et $1-0{,}25+0{,}0625-0{,}0156+\cdots\to 0{,}8$ ✓

Integrer terme a terme

\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\big[\arctan t\big]_0^x=\arctan x.

Et terme à terme :

\int_0^x\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^{2n}\,dt=\sum_{n\geq 0}(-1)^n\int_0^xt^{2n}\,dt=\sum_{n\geq 0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

\boxed{\arctan x=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots,\qquad R=1}

👉 Cette fois l'exposant est IMPAIR, et le dénominateur suit : $x^{2n+1}$ sur $2n+1$ .

👉 Aucune constante à ajouter : les deux membres s'annulent en $x=0$ , puisque $\arctan 0=0$ ✓

⚠️ La réindexation ne change pas le signe ici, contrairement à B2 — l'indice $n$ est conservé.

Les controles

1. Le terme constant. En $x=0$ : la série vaut $0$ et $\arctan 0=0$ ✓

2. La parité. $\arctan$ est impaire, et la série ne contient que des puissances impaires ✓ — un contrôle structurel très efficace.

3. La dérivée, terme à terme :

\sum_{n\geq 0}(-1)^n\frac{(2n+1)x^{2n}}{2n+1}=\sum_{n\geq 0}(-1)^nx^{2n}=\frac{1}{1+x^2}\ \checkmark

👉 Les $(2n+1)$ se simplifient exactement — signe que la primitive est la bonne.

4. Le DL d'ordre $1$ : $\arctan x\approx x$ , l'équivalent classique en $0$ ✓

5. Numérique, en $x=\tfrac12$ — $\arctan 0{,}5\approx 0{,}463648$ :

termes	$2$	$4$	$6$
somme	$0{,}45833$	$0{,}463467$	$0{,}4636399$

👉 Six termes donnent six décimales — la convergence est bonne loin de la borne.

En $x=1$ : la formule de Leibniz, et sa lenteur

👉 En $x=1$ , la série devient alternée de terme $\frac{1}{2n+1}$ , qui décroît vers $0$ : elle converge par Leibniz.

👉 Le théorème d'Abel garantit que la somme vaut bien $\arctan 1$ :

\boxed{\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots}

👉 C'est la formule de Leibniz (D4), l'une des plus célèbres de l'analyse — et l'une des plus inutilisables.

⚠️⚠️ La convergence est catastrophiquement lente : l'erreur après $N$ termes vaut environ $\frac{1}{2N}$ .

$N$	approximation de $\pi$	décimales exactes
$10$	$3{,}0418$	$0$
$1\,000$	$3{,}14059$	$3$
$10^6$	$3{,}1415924$	$6$

👉 Un million de termes pour six décimales. La raison est qu'on évalue exactement à la borne du disque de convergence, où la série n'est plus absolument convergente.

✅ La parade : évaluer LOIN de la borne, grâce à des identités trigonométriques. La formule de Machin,

\frac{\pi}{4}=4\arctan\frac15-\arctan\frac{1}{239},

n'évalue qu'en $\tfrac15$ et $\tfrac{1}{239}$ , où la convergence est géométrique. Elle a servi à calculer $100$ décimales de $\pi$ à la main en 1706, et reste la base des algorithmes de ce type.

ℹ️ La leçon générale : une série entière converge d'autant plus vite qu'on évalue loin du bord. C'est le même phénomène qu'en B2 pour $\ln 2$ , et le remède est le même — se ramener à un point intérieur.

Réponse.

\arctan x=\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}

,

R=1

. (Recoupement : en

x=1

,

\arctan1=\frac\pi4=\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}

— Leibniz, cf. D4 ✓)

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DSE par décomposition en éléments simples

CalculDifficulté 3/5

Développer $\dfrac1{(1-x)(1-2x)}$ en série entière (par DES), préciser le rayon, et relier au DL.

Indices (3)

DES : $\dfrac1{(1-x)(1-2x)}=\dfrac{A}{1-x}+\dfrac{B}{1-2x}$ .

On trouve $A=-1$ , $B=2$ .

$\dfrac1{1-x}=\sum x^n$ , $\dfrac1{1-2x}=\sum 2^n x^n$ .

Correction détaillée

Decomposer en elements simples

f(x)=\frac{1}{(1-x)(1-2x)}.

👉 Cherchons $f=\dfrac{A}{1-x}+\dfrac{B}{1-2x}$ . En réduisant au même dénominateur :

A(1-2x)+B(1-x)=1.

👉 Méthode rapide : évaluer aux points qui annulent chaque facteur.

En $x=1$ (annule $1-x$ ) : $A(1-2)=1$ , donc $-A=1$ et $\boxed{A=-1}$ .

En $x=\tfrac12$ (annule $1-2x$ ) : $B\left(1-\tfrac12\right)=1$ , donc $\tfrac B2=1$ et $\boxed{B=2}$ .

f(x)=\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}.

Contrôle en $x=0$ : $f(0)=\dfrac{1}{1\times 1}=1$ , et $2-1=1$ ✓

Developper chaque morceau

👉 Chaque terme est une série géométrique (A3) :

\frac{1}{1-2x}=\sum_{n\geq 0}(2x)^n=\sum_{n\geq 0}2^nx^n\qquad\text{pour}\ \lvert 2x\rvert<1,\ \text{soit}\ \lvert x\rvert<\tfrac12,

\frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n\qquad\text{pour}\ \lvert x\rvert<1.

En combinant :

f(x)=2\sum_{n\geq 0}2^nx^n-\sum_{n\geq 0}x^n=\sum_{n\geq 0}\big(2^{n+1}-1\big)x^n.

\boxed{\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=\sum_{n\geq 0}\big(2^{n+1}-1\big)x^n}

👉 Les premiers coefficients :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$2^{n+1}-1$	$\mathbf{1}$	$\mathbf{3}$	$\mathbf{7}$	$\mathbf{15}$	$\mathbf{31}$

👉 Ce sont les nombres de Mersenne $2^k-1$ — une suite qu'on reconnaît immédiatement.

Le rayon : c'est le PLUS PETIT des deux

\boxed{R=\min\left(1,\ \tfrac12\right)=\tfrac12}

👉 La série ne peut converger que là où LES DEUX morceaux convergent — le plus contraignant impose sa loi.

Contrôle par d'Alembert sur le coefficient :

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+2}-1}=\frac{2^{n+1}\left(1-2^{-(n+1)}\right)}{2^{n+2}\left(1-2^{-(n+2)}\right)}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \frac12\ \checkmark

👉 Lecture par les PÔLES, qui est la bonne façon de voir la chose :

pôle	où	distance à $0$
$1-x=0$	$x=1$	$1$
$1-2x=0$	$x=\tfrac12$	$\mathbf{\tfrac12}$

\boxed{R=\text{distance de }0\text{ au pole le PLUS PROCHE}}

👉 C'est un fait général et très utile : le rayon d'une fraction rationnelle est la distance à sa singularité la plus proche — dans $\mathbb{C}$ .

⚠️ Cela explique un phénomène qui paraît mystérieux sur $\mathbb{R}$ : $\dfrac{1}{1+x^2}$ n'a aucune singularité réelle, et pourtant son rayon vaut $1$ (B5). La raison est complexe : les pôles sont $\pm i$ , à distance $1$ de l'origine.

Le lien avec le DL, et une seconde voie

Le DL à l'ordre $3$ est la troncature :

\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=1+3x+7x^2+15x^3+o(x^3).

Contrôle par multiplication directe — développons $(1+x+x^2+\cdots)(1+2x+4x^2+\cdots)$ :

terme	calcul	valeur
$x^0$	$1\times 1$	$\mathbf{1}$
$x^1$	$1\times 2+1\times 1$	$\mathbf{3}$
$x^2$	$1\times 4+1\times 2+1\times 1$	$\mathbf{7}$
$x^3$	$1\times 8+1\times 4+1\times 2+1\times 1$	$\mathbf{15}$

👉 C'est un produit de Cauchy (D5), et il donne

a_n=\sum_{k=0}^n 2^k=2^{n+1}-1\ \checkmark

— la somme géométrique, qui redonne exactement le coefficient trouvé.

👉 Deux méthodes, même réponse. La DES est plus rapide quand les pôles sont simples ; le produit de Cauchy marche toujours mais demande de reconnaître la somme.

Contrôle numérique en $x=\tfrac14$ , à l'intérieur du disque :

f\left(\tfrac14\right)=\frac{1}{\tfrac34\times\tfrac12}=\frac{8}{3}\approx 2{,}667,

et $1+\tfrac34+\tfrac7{16}+\tfrac{15}{64}+\cdots\to 2{,}667$ ✓

ℹ️ Application : ce type de développement résout les suites récurrentes linéaires. Ici $a_n=2^{n+1}-1$ est la solution de $a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}$ , dont le polynôme caractéristique $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$ a précisément pour racines les inverses des pôles.

Réponse.

\dfrac1{(1-x)(1-2x)}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(2^{n+1}-1)x^n

,

R=\frac12

. (Recoupement : le pôle le plus proche est

x=\frac12

\Longrightarrow

R=\frac12

✓ ; mutualise la DES du chapitre Fractions ✓)

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Rayon d'une série polynomiale (DS)

ApplicationDifficulté 2/5

Déterminer le rayon de convergence de $\displaystyle\sum_{n\ge0}(n^2+1)\,x^n$ .

Indices (3)

$a_n=n^2+1$ ; $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1}$ .

Ce quotient tend vers $1$ .

$R=1/\ell$ .

Correction détaillée

Un facteur POLYNOMIAL ne change pas le rayon

a_n=n^2+1.

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}=\frac{n^2+1}{n^2+2n+2}.

👉 Pour lever l'indétermination $\infty/\infty$ , on factorise par le terme dominant $n^2$ :

\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1+\frac2n+\frac2{n^2}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n^2}}{1+\frac2n+\frac2{n^2}}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \frac{1}{1}=1.

\boxed{R=1}

👉 C'est le fait général de A2 : un coefficient polynomial en $n$ donne toujours un rayon $1$ , quel que soit le degré.

$a_n$	$R$
$1$	$1$
$n$	$1$
$n^2+1$	$\mathbf{1}$
$n^{100}$	$1$
$\frac{1}{n^3}$	$1$

👉 Le degré n'y change rien — seule une croissance géométrique ou factorielle déplace le rayon.

Le controle par une seconde voie

👉 Vérifions en séparant la série en deux morceaux connus :

\sum_{n\geq 0}(n^2+1)x^n=\underbrace{\sum_{n\geq 0}n^2x^n}_{R=1}+\underbrace{\sum_{n\geq 0}x^n}_{R=1}.

👉 Une somme de deux séries de rayon $1$ a un rayon $\geq 1$ — et ici exactement $1$ , puisque le terme général ne tend pas vers $0$ en $x=1$ .

Et les deux sommes sont connues (C1, C3) :

\sum_{n\geq 1}n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3},\qquad \sum_{n\geq 0}x^n=\frac{1}{1-x}.

\sum_{n\geq 0}(n^2+1)x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}+\frac{1}{1-x}.

⚠️ Attention à la règle générale des rayons dans une somme :

\boxed{R_{f+g}\ \geq\ \min(R_f,\ R_g),\ \text{avec EGALITE si}\ R_f\neq R_g}

👉 Quand les rayons sont égaux, il peut y avoir compensation — l'exemple type est $\sum x^n$ et $\sum(-x^n)$ , de rayon $1$ chacune, dont la somme est nulle et de rayon infini. Ici il n'y a pas de compensation, les coefficients étant tous positifs.

Les bornes

En $x=1$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 0}(n^2+1)$ .

n^2+1\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ +\infty\ \neq\ 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{DIVERGENCE grossiere}.

En $x=-1$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 0}(-1)^n(n^2+1)$ , dont le terme général oscille en amplitude croissante.

u_n\ \not\to\ 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{DIVERGE}.

\boxed{\text{intervalle exact}\ :\ ]-1,\ 1[}

👉 Le réflexe est toujours le même : tester d'abord si $u_n\to 0$ . Quand le coefficient tend vers l'infini, c'est immédiat des deux côtés — pas besoin d'invoquer un critère plus fin.

⚠️ Ne pas confondre avec $\sum\frac{x^n}{n^2}$ (C5), dont le coefficient tend vers $0$ assez vite pour que les deux bornes soient incluses. Même rayon, intervalles opposés.

Le controle numerique

Évaluons en $x=\tfrac12$ , où la formule donne :

\frac{\frac12\left(1+\frac12\right)}{\left(\frac12\right)^3}+\frac{1}{\frac12}=\frac{\frac34}{\frac18}+2=6+2=8.

Et par sommation directe :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$(n^2+1)/2^n$	$1$	$1$	$1{,}25$	$1{,}25$	$1{,}0625$	$0{,}8125$

termes cumulés	$6$	$10$	$20$
somme	$6{,}375$	$7{,}75781$	$7{,}999153$

\boxed{\text{la somme converge vers}\ 8\ \checkmark}

👉 Deux voies indépendantes donnent le même nombre : le calcul de rayon et la formule fermée se confirment mutuellement.

👉 Remarquons que les termes CROISSENT d'abord (de $1$ à $1{,}25$ ) avant de décroître. C'est normal : le facteur $n^2$ l'emporte tant que $n$ est petit, puis le $2^{-n}$ finit toujours par gagner.

\boxed{\text{une exponentielle bat TOUJOURS un polynome, mais pas tout de suite}}

Réponse.

R=1

. (Recoupement : un facteur polynomial

P(n)

ne change pas le rayon

1

de

\sum x^n

✓)

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DSE de e^{2x} (DS)

ApplicationDifficulté 2/5

Donner le DSE de $e^{2x}$ et son rayon.

Indices (3)

$e^{u}=\sum\dfrac{u^n}{n!}$ avec $u=2x$ .

$(2x)^n=2^n x^n$ .

Rayon de l'exponentielle.

Correction détaillée

Substituer dans le DSE de $e^u$

👉 On part du DSE fondateur (B1) :

e^u=\sum_{n\geq 0}\frac{u^n}{n!},\qquad R_u=+\infty.

Posons $u=2x$ :

e^{2x}=\sum_{n\geq 0}\frac{(2x)^n}{n!}=\sum_{n\geq 0}\frac{2^n}{n!}x^n.

\boxed{e^{2x}=\sum_{n\geq 0}\frac{2^n}{n!}x^n=1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+\cdots,\qquad R=+\infty}

⚠️⚠️ Le $2$ est élevé à la puissance $n$ , PAS multiplié. L'erreur classique est d'écrire $\dfrac{2x^n}{n!}$ — il faut développer $(2x)^n=2^nx^n$ en entier.

Vérifions les premiers coefficients :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\frac{2^n}{n!}$	$1$	$2$	$\frac42=2$	$\frac86=\frac43$	$\frac{16}{24}=\frac23$

👉 Le coefficient monte, culmine à $n=1$ et $n=2$ , puis décroît — la factorielle finit par écraser $2^n$ .

Le rayon : pourquoi il reste INFINI

👉 Substituer $x\mapsto\lambda x$ dans une série de rayon $R$ donne une série de rayon $R/\lvert\lambda\rvert$ .

\lvert u\rvert<R_u\iff \lvert 2x\rvert<+\infty\iff \lvert x\rvert<+\infty.

\boxed{R=+\infty}

👉 Diviser l'infini par $2$ laisse l'infini — la substitution ne peut pas rétrécir un rayon déjà infini.

Contrôle par d'Alembert, directement sur les coefficients :

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{2^n/n!}{2^{n+1}/(n+1)!}=\frac{2^n(n+1)!}{2^{n+1}n!}=\frac{n+1}{2}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ +\infty\ \checkmark

👉 Deux voies, même conclusion.

⚠️ Le rayon aurait été DIVISÉ par $2$ si le point de départ avait été fini. Exemple : $\dfrac{1}{1-2x}=\sum 2^nx^n$ a pour rayon $\tfrac12$ , alors que $\dfrac{1}{1-x}$ a pour rayon $1$ (B6).

Le tableau des substitutions courantes

$f$	substitution	DSE	$R$
$e^{2x}$	$u=2x$	$\sum\frac{2^n}{n!}x^n$	$+\infty$
$e^{-x}$	$u=-x$	$\sum\frac{(-1)^n}{n!}x^n$	$+\infty$
$e^{x^2}$	$u=x^2$	$\sum\frac{x^{2n}}{n!}$	$+\infty$
$\frac{1}{1+x^2}$	$u=-x^2$	$\sum(-1)^nx^{2n}$	$1$
$\ln(1+x^2)$	$u=x^2$	$\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{2n}$	$1$ (E4)

👉 La règle générale de la substitution $u=\lambda x^k$ :

\boxed{R_{\text{nouveau}}=\left(\frac{R_{\text{ancien}}}{\lvert\lambda\rvert}\right)^{1/k}}

Vérifions sur $\dfrac{1}{1+x^2}$ : $R_{\text{ancien}}=1$ , $\lambda=-1$ , $k=2$ , donc $R=1^{1/2}=1$ ✓

⚠️ La substitution doit être une PUISSANCE de $x$ , pas une fonction quelconque. Remplacer $u$ par $\sin x$ ne donne pas directement une série entière — il faut composer les deux séries, ce qui est bien plus lourd.

Les controles

1. En $x=0$ : la série vaut $1$ , et $e^0=1$ ✓

2. Par dérivation. Dérivons terme à terme :

\sum_{n\geq 1}\frac{2^n\,n}{n!}x^{n-1}=\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{(n-1)!}x^{n-1}=2\sum_{m\geq 0}\frac{2^m}{m!}x^m=2e^{2x}\ \checkmark

👉 C'est bien la dérivée attendue de $e^{2x}$ — la réindexation $m=n-1$ fait ressortir un facteur $2$ .

3. Numérique, en $x=1$ — $e^2\approx 7{,}389056$ :

termes	$4$	$8$	$12$
somme	$6{,}33333$	$7{,}38095$	$7{,}3890553$

👉 Douze termes donnent cinq décimales ✓ — la convergence est rapide, comme toujours pour une série à factorielles.

4. Par le produit. On peut aussi voir $e^{2x}=e^x\cdot e^x$ , et vérifier par produit de Cauchy (D5) :

\text{coefficient de }x^n\ :\quad \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{1}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nk=\frac{2^n}{n!}\ \checkmark

👉 La formule $\sum_k\binom nk=2^n$ fait exactement apparaître le bon coefficient — c'est une confirmation par une voie totalement indépendante.

Réponse.

e^{2x}=\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{2^n}{n!}x^n

,

R=+\infty

. (Recoupement : composition par

u=2x

conserve

R=\infty

✓)

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DSE de 1/(2−x) (DS)

CalculDifficulté 2/5

Développer $\dfrac1{2-x}$ en série entière en $0$ et donner son rayon.

Indices (3)

Factoriser : $\dfrac1{2-x}=\dfrac12\cdot\dfrac1{1-\tfrac x2}$ .

$\dfrac1{1-\frac x2}=\sum\left(\dfrac x2\right)^n$ pour $\left|\dfrac x2\right|<1$ .

Rassembler.

Correction détaillée

Le geste : FACTORISER pour faire apparaitre $\dfrac{1}{1-u}$

⚠️⚠️ On ne peut PAS écrire directement $\dfrac{1}{2-x}=\sum\left(\dfrac x2\right)^n$ : la série géométrique exige un dénominateur de la forme $1-u$ , avec un $1$ en tête.

👉 Il faut donc mettre $2$ en facteur au dénominateur :

\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2\left(1-\frac x2\right)}=\frac12\cdot\frac{1}{1-\frac x2}.

👉 Maintenant la forme est bonne, avec $u=\dfrac x2$ :

\frac{1}{1-\frac x2}=\sum_{n\geq 0}\left(\frac x2\right)^n=\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{2^n}.

En remettant le facteur $\tfrac12$ :

\boxed{\frac{1}{2-x}=\frac12\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{2^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{2^{n+1}}}

👉 Le $2^{n+1}$ au dénominateur porte les deux $2$ à la fois : celui de la factorisation et celui de la série.

Le controle en $x=0$ : il attrape l'erreur classique

\frac{1}{2-0}=\frac12.

Et le premier terme de la série ( $n=0$ ) vaut

\frac{1}{2^{0+1}}=\frac12\ \checkmark

👉 Ce contrôle d'une ligne attrape précisément l'oubli du facteur $\tfrac12$ : sans lui, la série commencerait par $1$ , ce qui contredirait $f(0)=\tfrac12$ .

\boxed{\text{Devant tout DSE, EVALUER EN}\ 0\ \text{avant toute autre verification}}

Les premiers coefficients :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\frac{1}{2^{n+1}}$	$\frac12$	$\frac14$	$\frac18$	$\frac1{16}$

👉 Chaque coefficient est la moitié du précédent — la signature d'une série géométrique de raison $\tfrac12$ en $x=1$ .

Le rayon

👉 La condition de convergence est $\left\lvert\dfrac x2\right\rvert<1$ :

\left\lvert\frac x2\right\rvert<1\qquad\Longleftrightarrow\qquad \lvert x\rvert<2.

\boxed{R=2}

Contrôle par d'Alembert :

\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\frac{1/2^{n+1}}{1/2^{n+2}}=\frac{2^{n+2}}{2^{n+1}}=2\ \checkmark

👉 Le rapport est CONSTANT — signature d'une série géométrique (A3).

👉 Lecture par le pôle, qui est la bonne façon de le voir (B6) :

2-x=0\iff x=2,

et la distance de $0$ à ce pôle vaut $2$ ✓

\boxed{R=\text{distance de }0\text{ a la singularite la plus proche}}

👉 Ce point de vue permet de LIRE le rayon sans aucun calcul, dès qu'on sait où la fonction cesse d'être définie.

Les bornes, et le tableau des factorisations

En $x=2$ : la série devient $\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{2^n}{2^{n+1}}=\sum_{n\geq 0}\frac12$ , dont le terme général vaut $\tfrac12\neq 0$ : DIVERGE.

En $x=-2$ : $\displaystyle\sum_{n\geq 0}\frac{(-2)^n}{2^{n+1}}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2}$ , qui oscille : DIVERGE.

\boxed{\text{intervalle exact}\ :\ ]-2,\ 2[}

👉 Les deux bornes sont toujours exclues pour une géométrique pure (A3) : le terme général y a un module constant non nul.

👉 Le tableau des factorisations à savoir faire de tête :

$f$	factorisation	DSE	$R$
$\frac{1}{2-x}$	$\frac12\cdot\frac{1}{1-x/2}$	$\sum\frac{x^n}{2^{n+1}}$	$2$
$\frac{1}{3-x}$	$\frac13\cdot\frac{1}{1-x/3}$	$\sum\frac{x^n}{3^{n+1}}$	$3$
$\frac{1}{2+x}$	$\frac12\cdot\frac{1}{1+x/2}$	$\sum\frac{(-1)^nx^n}{2^{n+1}}$	$2$
$\frac{1}{a-x}$	$\frac1a\cdot\frac{1}{1-x/a}$	$\sum\frac{x^n}{a^{n+1}}$	$\lvert a\rvert$

👉 La dernière ligne est la formule générale, et les trois autres n'en sont que des cas particuliers.

ℹ️ C'est le geste central de la décomposition en éléments simples (B6) : chaque pôle simple donne un terme $\frac{A}{a-x}$ , qu'on développe ainsi. C'est ce qui permet de développer n'importe quelle fraction rationnelle en série entière.

Réponse.

\dfrac1{2-x}=\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{2^{n+1}}

,

R=2

. (Recoupement : pôle en

x=2

\Longrightarrow

R=2

✓)

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DSE de ln(1+x²) (DS)

ApplicationDifficulté 2/5

Donner le DSE de $\ln(1+x^2)$ (à partir de celui de $\ln(1+u)$ ) et son rayon.

Indices (3)

$\ln(1+u)=\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}u^n}{n}$ avec $u=x^2$ .

$u^n=x^{2n}$ .

Rayon : $|u|<1\Leftrightarrow|x|<1$ .

Correction détaillée

Substituer $u=x^2$ dans le DSE de $\ln(1+u)$

👉 On part du DSE de B2 :

\ln(1+u)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}u^n,\qquad R_u=1.

Posons $u=x^2$ :

\ln(1+x^2)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(x^2)^n=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{2n}.

\boxed{\ln(1+x^2)=x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}-\frac{x^8}{4}+\cdots,\qquad R=1}

👉 Seules des puissances PAIRES apparaissent — ce qui est cohérent, puisque $\ln(1+x^2)$ est une fonction paire.

f(-x)=\ln\big(1+(-x)^2\big)=\ln(1+x^2)=f(x)\ \checkmark

👉 Le contrôle de parité est immédiat et très efficace : une fonction paire ne peut avoir que des exposants pairs, une impaire que des impairs. Un terme en $x^3$ ici signalerait une erreur sans qu'on ait besoin de recalculer.

Le rayon

👉 La condition $\lvert u\rvert<1$ devient $x^2<1$ :

x^2<1\qquad\Longleftrightarrow\qquad \lvert x\rvert<1.

\boxed{R=1}

⚠️ Ne pas conclure $R=1$ « parce que c'était $1$ avant » — c'est une coïncidence due à $\sqrt 1=1$ . La règle générale (E2) est

R_{\text{nouveau}}=\big(R_{\text{ancien}}\big)^{1/2}\quad\text{pour}\ u=x^2.

Un cas où l'on voit la différence : dans $\ln\left(1+\frac{x^2}{4}\right)$ , la condition devient $\frac{x^2}{4}<1$ , soit $\lvert x\rvert<2$ — le rayon vaut alors $2$ , pas $1$ .

👉 Contrôle direct par Cauchy, en tenant compte des coefficients nuls. Les coefficients non nuls sont $a_{2n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ , donc

\lvert a_{2n}\rvert^{1/(2n)}=\left(\frac1n\right)^{1/(2n)}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ 1,

puisque $n^{1/n}\to 1$ . D'où $\frac1R=1$ et $R=1$ ✓

Les bornes : les DEUX passent

En $x=\pm 1$ , la série devient (les deux donnent la même, la fonction étant paire) :

\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots

👉 C'est la série alternée harmonique, qui CONVERGE par Leibniz, vers $\ln 2$ .

\boxed{\text{intervalle exact}\ :\ [-1,\ 1]\ \text{— les DEUX bornes sont incluses}}

Et le théorème d'Abel donne la valeur :

\ln(1+1^2)=\ln 2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots\ \checkmark

— exactement la formule de B2, retrouvée par un autre chemin.

👉 La substitution $u=x^2$ a SYMÉTRISÉ l'intervalle : $\ln(1+u)$ était valable sur $]-1,1]$ (asymétrique), $\ln(1+x^2)$ l'est sur $[-1,1]$ (symétrique).

👉 La raison est structurelle : $u=x^2$ ne prend que des valeurs positives, donc la borne problématique $u=-1$ n'est jamais atteinte. Seule la « bonne » borne $u=1$ subsiste, et elle est atteinte des deux côtés.

⚠️ C'est un cas où les bornes se déduisent de celles de la série de départ — mais seulement après avoir regardé QUELLES valeurs $u$ prend réellement.

Les controles

1. En $x=0$ : la série vaut $0$ , et $\ln(1+0)=0$ ✓

2. Le premier terme. $\ln(1+x^2)\approx x^2$ en $0$ , ce qui est l'équivalent classique $\ln(1+u)\sim u$ avec $u=x^2$ ✓

3. La dérivée, terme à terme :

\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\cdot 2n\,x^{2n-1}=2\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}x^{2n-1}=2x\sum_{n\geq 1}(-1)^{n-1}x^{2n-2}.

En posant $m=n-1$ :

=2x\sum_{m\geq 0}(-1)^mx^{2m}=\frac{2x}{1+x^2}\ \checkmark

👉 Et c'est bien la dérivée de $\ln(1+x^2)$ , par la formule $\frac{u'}{u}$ avec $u=1+x^2$ ✓

4. Numérique, en $x=\tfrac12$ — $\ln 1{,}25\approx 0{,}223144$ :

termes	$2$	$4$	$6$
somme	$0{,}21875$	$0{,}222982$	$0{,}2231364$

👉 Six termes donnent six décimales ✓ — la convergence est excellente car $x^2=\tfrac14$ est loin de la borne.

ℹ️ C'est l'illustration du principe de B5 : à $x=\tfrac12$ la variable effective vaut $\tfrac14$ , donc la convergence est bien plus rapide que ce que le rayon $1$ laisserait craindre.

Réponse.

\ln(1+x^2)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n}

,

R=1

. (Recoupement : composition par

u=x^2

, rayon

\sqrt1=1

✓)

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Reconnaître une somme (DS)

ApplicationDifficulté 2/5

Reconnaître la fonction somme de $\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{n!}$ et de $\displaystyle\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ .

Indices (3)

Comparer aux DSE usuels.

$\sum\dfrac{x^n}{n!}$ : exponentielle.

$\sum\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ : cosinus.

Correction détaillée

La premiere : c'est l'exponentielle

\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots

\boxed{\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}=e^x,\qquad R=+\infty}

👉 La signature à reconnaître : $n!$ au dénominateur, TOUS les exposants présents, aucun signe alterné.

👉 Pourquoi c'est $e^x$ , et non une autre fonction : posons $f(x)=\sum\frac{x^n}{n!}$ et dérivons terme à terme (B3) :

f'(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{n\,x^{n-1}}{n!}=\sum_{n\geq 1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{m\geq 0}\frac{x^m}{m!}=f(x).

👉 $f$ vérifie donc $f'=f$ avec $f(0)=1$ — c'est la caractérisation de l'exponentielle (D1).

\boxed{f'=f\ \text{et}\ f(0)=1\qquad\Longrightarrow\qquad f=\exp}

👉 C'est même la DÉFINITION de $e^x$ en analyse — la seule qui s'étende aux complexes et aux matrices.

La seconde : c'est le cosinus

\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\cdots

\boxed{\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=\cos x,\qquad R=+\infty}

👉 Trois indices concordants pour la reconnaître :

indice	ce qu'il dit
exposants PAIRS	fonction paire — donc $\cos$ ou $\cosh$ , jamais $\sin$
signes ALTERNÉS	$\cos$ et non $\cosh$
$(2n)!$	une fonction trigonométrique, pas une géométrique

👉 Contrôle par la dérivée seconde :

g(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\quad\Longrightarrow\quad g''(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^nx^{2n-2}}{(2n-2)!}=-g(x),

avec $g(0)=1$ et $g'(0)=0$ . C'est exactement la caractérisation de $\cos$ (D2) ✓

Contrôle numérique en $x=1$ — $\cos 1\approx 0{,}540302$ :

1-\frac12+\frac1{24}-\frac1{720}+\frac{1}{40320}=0{,}5403026\ \checkmark

👉 Cinq termes donnent six décimales — les factorielles doubles font converger très vite.

Le tableau des DSE a reconnaitre INSTANTANEMENT

DSE	fonction	$R$
$\sum\frac{x^n}{n!}$	$e^x$	$\infty$
$\sum\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$	$\cos x$	$\infty$
$\sum\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\sin x$	$\infty$
$\sum\frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$\cosh x$	$\infty$
$\sum\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\sinh x$	$\infty$
$\sum x^n$	$\frac{1}{1-x}$	$1$
$\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$	$\ln(1+x)$	$1$
$\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$	$\arctan x$	$1$

👉 La grille de lecture, en trois questions :

question	réponse	conclusion
exposants pairs, impairs, tous ?	pairs	fonction paire ( $\cos$ , $\cosh$ )
	impairs	fonction impaire ( $\sin$ , $\sinh$ , $\arctan$ )
dénominateur ?	factorielle	$R=\infty$ , famille exponentielle
	linéaire en $n$	$R=1$ , famille logarithme
signes ?	alternés	trigonométrique ( $\cos$ , $\sin$ )
	constants	hyperbolique ( $\cosh$ , $\sinh$ )

👉 Trois questions suffisent à identifier n'importe laquelle des huit.

Le lien qui unifie les six premieres : la formule d'Euler

👉 Évaluons le DSE de $e^u$ en $u=ix$ , ce qui est légitime puisque $R=+\infty$ :

e^{ix}=\sum_{n\geq 0}\frac{(ix)^n}{n!}=\sum_{n\geq 0}\frac{i^nx^n}{n!}.

👉 Les puissances de $i$ tournent avec une période $4$ :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$i^n$	$1$	$i$	$-1$	$-i$	$1$

👉 Séparons les indices pairs ( $n=2k$ ) et impairs ( $n=2k+1$ ) :

e^{ix}=\underbrace{\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}}_{=\ \cos x}+\ i\underbrace{\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{=\ \sin x}.

\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}

👉 La formule d'Euler tombe DIRECTEMENT du DSE — c'est même la démonstration la plus naturelle qu'on en connaisse.

👉 Et en $x=\pi$ , sachant $\cos\pi=-1$ et $\sin\pi=0$ :

\boxed{e^{i\pi}+1=0}

— l'identité d'Euler, qui relie en cinq symboles $e$ , $i$ , $\pi$ , $1$ et $0$ .

👉 De même, $\cosh$ et $\cos$ sont la même fonction à un $i$ près :

\cos(ix)=\cosh x,\qquad \sin(ix)=i\sinh x.

ℹ️ C'est la raison profonde pour laquelle ces six séries se ressemblent tant : sur $\mathbb{C}$ , il n'y a qu'une seule fonction — l'exponentielle — et les cinq autres n'en sont que des parties ou des restrictions.

Réponse.

\sum\frac{x^n}{n!}=e^x

;

\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=\cos x

. (Recoupement : termes pairs seulement + signes alternés

\Longrightarrow

\cos

✓)

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Somme de la série dérivée (DS)

CalculDifficulté 2/5

Calculer, pour $|x|<1$ , la somme $\displaystyle\sum_{n\ge1} n\,x^{n-1}$ .

Indices (3)

C'est la dérivée terme à terme de $\sum_{n\ge0}x^n=\dfrac1{1-x}$ .

$\left(\dfrac1{1-x}\right)'=\dfrac1{(1-x)^2}$ .

Conclure.

Correction détaillée

La derivee de la serie geometrique

👉 On part de la série géométrique, valable pour $\lvert x\rvert<1$ :

\frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots

👉 Une série entière se dérive TERME À TERME sur son disque ouvert, sans changer le rayon (B3).

Dérivons le membre de gauche :

\frac{d}{dx}\big[(1-x)^{-1}\big]=(-1)(1-x)^{-2}\times(-1)=\frac{1}{(1-x)^2}.

👉 Deux signes moins qui se compensent — celui de la dérivée de $u^{-1}$ et celui de la dérivée interne de $(1-x)$ .

Dérivons le membre de droite :

\frac{d}{dx}\left(\sum_{n\geq 0}x^n\right)=\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}.

👉 Le terme $n=0$ disparaît : la dérivée de la constante $1$ est nulle.

\boxed{\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\qquad\text{pour}\ \lvert x\rvert<1}

Les controles

1. En $x=0$ . La série vaut $1$ (seul le terme $n=1$ survit), et $\dfrac{1}{(1-0)^2}=1$ ✓

2. Les premiers termes. Développons les deux côtés :

\sum_{n\geq 1}nx^{n-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots

\frac{1}{(1-x)^2}=(1+x+x^2+\cdots)^2=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots

👉 Le carré de la série géométrique redonne exactement les mêmes coefficients — c'est le produit de Cauchy (D5), où le coefficient de $x^n$ compte les $n+1$ couples $(k,n-k)$ ✓

3. Numérique, en $x=\tfrac12$ . La formule donne

\frac{1}{(1/2)^2}=4.

termes	$4$	$8$	$15$
somme	$3{,}25$	$3{,}92188$	$3{,}998962$

👉 Convergence vers $4$ ✓

4. En $x=\tfrac13$ : la formule donne $\dfrac{1}{(2/3)^2}=\dfrac94=2{,}25$ , et la somme partielle à $15$ termes vaut $2{,}24999$ ✓

La variante avec $x^n$ — a ne pas confondre

⚠️⚠️ Deux séries se ressemblent et n'ont PAS la même somme :

série	somme	premiers termes
$\sum_{n\geq 1}n\,x^{\mathbf{n-1}}$	$\dfrac{1}{(1-x)^2}$	$1+2x+3x^2+\cdots$
$\sum_{n\geq 1}n\,x^{\mathbf{n}}$	$\dfrac{x}{(1-x)^2}$	$x+2x^2+3x^3+\cdots$

👉 On passe de l'une à l'autre en MULTIPLIANT PAR $x$ :

\sum_{n\geq 1}n\,x^n=x\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}=\frac{x}{(1-x)^2}.

👉 Le contrôle en $x=0$ les distingue immédiatement : la première vaut $1$ , la seconde vaut $0$ .

⚠️ C'est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice. Lire attentivement l'exposant de l'énoncé — ici c'est bien $x^{n-1}$ , donc la réponse est $\dfrac{1}{(1-x)^2}$ sans le $x$ .

👉 Et une troisième, obtenue en dérivant encore :

\sum_{n\geq 2}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}.

Contrôle en $x=0$ : le terme $n=2$ donne $2\times 1=2$ , et $\dfrac{2}{1}=2$ ✓

A quoi ca sert : l'esperance d'une loi geometrique

👉 Une variable géométrique $X$ de paramètre $p$ compte le nombre d'essais jusqu'au premier succès :

P(X=n)=(1-p)^{n-1}p,\qquad n\geq 1.

Son espérance fait apparaître exactement notre série, avec $x=1-p$ :

E[X]=\sum_{n\geq 1}n\,(1-p)^{n-1}p=p\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}=p\cdot\frac{1}{(1-x)^2}.

Or $1-x=1-(1-p)=p$ , donc

E[X]=\frac{p}{p^2}=\boxed{\frac1p}

👉 Le résultat est intuitif : si un essai réussit une fois sur $p$ , il en faut en moyenne $\tfrac1p$ .

Exemple concret — un dé à six faces, succès = obtenir un $6$ , donc $p=\tfrac16$ :

E[X]=\frac{1}{1/6}=6\ \text{lancers en moyenne}.

Contrôle par simulation (moyenne sur $10^6$ tirages) : $\approx 6{,}00$ ✓

👉 La méthode s'appelle FONCTION GÉNÉRATRICE, et elle est systématique :

grandeur	série à sommer	résultat pour la géométrique
$E[X]$	$\sum n\,x^{n-1}$	$\frac1p$
$E[X^2]$	$\sum n^2x^{n-1}$	$\frac{2-p}{p^2}$
$V(X)$	$E[X^2]-E[X]^2$	$\frac{1-p}{p^2}$

👉 Et la deuxième ligne se calcule avec la somme de C3 — c'est le même outil, dérivé une fois de plus.

ℹ️ C'est ce qui rend les séries entières indispensables en probabilités : elles transforment un calcul de moments en une dérivation.

Réponse.

\displaystyle\sum_{n\ge1}n x^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}

pour

|x|<1

. (Recoupement : multiplié par

x

, donne

\sum n x^n=\frac x{(1-x)^2}

, cf. C1 ✓)

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Exercices corrigés — Séries entières

Les 18 exercices

Rayon par d'Alembert (exponentielle)

Rayon d'une série polynomiale

Rayon d'une série géométrique pondérée

Intervalle de convergence (étude aux bornes)

Rayon par la règle de Cauchy

Rayons extrêmes (0 et fini)

DSE usuels et lien avec le DL

DSE de ln(1+x) par intégration

Dérivation terme à terme

Série du binôme (1+x)^α

DSE de arctan par intégration

DSE par décomposition en éléments simples

Rayon d'une série polynomiale (DS)

DSE de e^{2x} (DS)

DSE de 1/(2−x) (DS)

DSE de ln(1+x²) (DS)

Reconnaître une somme (DS)

Somme de la série dérivée (DS)

S'entraîner davantage sur séries entières