Exercices corrigés — Séries entières

$a_n=\dfrac1{n!}$ ; calculer $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n!}{(n+1)!}$.

$\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac1{n+1}\to0$.

$R=\dfrac1\ell$ avec $\ell=\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1/(n+1)!}{1/n!}=\dfrac1{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$.

$\ell=0\Rightarrow R=\dfrac10=+\infty$.

$a_n=n$ ; $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{n}$.

$\dfrac{n+1}{n}\to1$.

$R=1/\ell$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{n}\to1$, donc $\ell=1$.

$R=\dfrac11=1$.

$a_n=\dfrac1{3^n}$ ; $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{3^n}{3^{n+1}}=\dfrac13$.

$\ell=\dfrac13$.

$R=1/\ell$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac13$ (constant), donc $\ell=\dfrac13$.

$R=\dfrac1{1/3}=3$.

Rayon : $a_n=\dfrac1n$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac n{n+1}\to1$, donc $R=1$.

En $x=1$ : $\sum\dfrac1n$ (série harmonique).

En $x=-1$ : $\sum\dfrac{(-1)^n}n$ (série alternée).

$R=1$ : convergence sur $]-1,1[$.

$\sum\dfrac1n$ diverge (harmonique) : $x=1$ exclu.

$\sum\dfrac{(-1)^n}n$ converge (critère des séries alternées, vaut $-\ln2$) : $x=-1$ inclus.

$|a_n|^{1/n}=\left(\dfrac n{n+1}\right)^{n}$.

$\left(\dfrac n{n+1}\right)^{n}=\left(1-\dfrac1{n+1}\right)^{n}\to e^{-1}$.

$R=1/\ell$ avec $\ell=\lim|a_n|^{1/n}$.

$|a_n|^{1/n}=\left(\dfrac n{n+1}\right)^{n}=\left(\dfrac{n+1}n\right)^{-n}\to e^{-1}$.

$\ell=e^{-1}\Rightarrow R=\dfrac1{e^{-1}}=e$.

(a) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1\to+\infty$.

(b) $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^n n}{2^{n+1}(n+1)}=\dfrac{n}{2(n+1)}\to\dfrac12$.

$R=1/\ell$ (avec $R=0$ si $\ell=+\infty$).

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=n+1\to+\infty$, donc $\ell=+\infty$ et $R=0$ : la série diverge pour tout $x\neq0$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac n{2(n+1)}\to\dfrac12$, donc $\ell=\dfrac12$ et $R=2$.

Table : $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$, $\dfrac1{1-x}=\sum x^n$.

Rayons : $+\infty$ et $1$.

Le DL à l'ordre $3$ est la troncature $\sum_{k=0}^3$.

$e^x=\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^n}{n!}$ ($R=+\infty$) ; $\dfrac1{1-x}=\displaystyle\sum_{n\ge0}x^n$ ($R=1$).

DL$_3$ : $e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+o(x^3)$ et $\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$ — exactement la troncature de la série.

$\dfrac1{1+x}=\dfrac1{1-(-x)}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n x^n$ ($R=1$).

$\ln(1+x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac{dt}{1+t}$ : intégrer terme à terme.

$\int_0^x t^n\,dt=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

$\dfrac1{1+x}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n x^n$, $R=1$.

$\ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n\dfrac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots$.

$\left(\dfrac1{1-x}\right)'=\dfrac1{(1-x)^2}$.

Dériver $\sum x^n$ terme à terme : $\sum_{n\ge1} n x^{n-1}$.

Réindexer $n-1=m$.

$\dfrac1{(1-x)^2}=\displaystyle\sum_{n\ge1} n x^{n-1}$.

poser $m=n-1$ : $\displaystyle\sum_{m\ge0}(m+1)x^{m}$, soit $\dfrac1{(1-x)^2}=\sum_{n\ge0}(n+1)x^n$, $R=1$.

$(1+x)^\alpha=\displaystyle\sum_{n\ge0}\binom\alpha n x^n$, $\binom\alpha n=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$, $R=1$.

Pour $\sqrt{1+x}$ : $\alpha=\dfrac12$.

$\binom{1/2}1=\dfrac12$, $\binom{1/2}2=\dfrac{(1/2)(-1/2)}2=-\dfrac18$, $\binom{1/2}3=\dfrac1{16}$.

$(1+x)^\alpha=\displaystyle\sum_{n\ge0}\binom\alpha n x^n$, $R=1$.

$\sqrt{1+x}=1+\dfrac x2-\dfrac{x^2}8+\dfrac{x^3}{16}-\cdots$.

$\dfrac1{1+x^2}=\dfrac1{1-(-x^2)}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n x^{2n}$, $R=1$.

$\arctan x=\displaystyle\int_0^x\dfrac{dt}{1+t^2}$.

$\int_0^x t^{2n}\,dt=\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$.

$\dfrac1{1+x^2}=\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n x^{2n}$, $R=1$.

$\arctan x=\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}=x-\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5-\cdots$.

DES : $\dfrac1{(1-x)(1-2x)}=\dfrac{A}{1-x}+\dfrac{B}{1-2x}$.

On trouve $A=-1$, $B=2$.

$\dfrac1{1-x}=\sum x^n$, $\dfrac1{1-2x}=\sum 2^n x^n$.

$\dfrac1{(1-x)(1-2x)}=\dfrac{-1}{1-x}+\dfrac{2}{1-2x}$.

$=-\displaystyle\sum_{n\ge0}x^n+2\sum_{n\ge0}2^n x^n=\sum_{n\ge0}(2^{n+1}-1)x^n$.

$R=\min(1,\tfrac12)=\dfrac12$ ; DL$_3$ : $1+3x+7x^2+15x^3+o(x^3)$.

$a_n=n^2+1$ ; $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1}$.

Ce quotient tend vers $1$.

$R=1/\ell$.

$\dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1}\to1$, donc $\ell=1$.

$R=1$.

$e^{u}=\sum\dfrac{u^n}{n!}$ avec $u=2x$.

$(2x)^n=2^n x^n$.

Rayon de l'exponentielle.

$e^{2x}=\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(2x)^n}{n!}=\sum_{n\ge0}\dfrac{2^n}{n!}x^n$.

$R=+\infty$.

Factoriser : $\dfrac1{2-x}=\dfrac12\cdot\dfrac1{1-\tfrac x2}$.

$\dfrac1{1-\frac x2}=\sum\left(\dfrac x2\right)^n$ pour $\left|\dfrac x2\right|<1$.

Rassembler.

$\dfrac1{2-x}=\dfrac12\cdot\dfrac1{1-x/2}$.

$=\dfrac12\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^n}{2^n}=\sum_{n\ge0}\dfrac{x^n}{2^{n+1}}$, valable pour $|x|<2$.

$\ln(1+u)=\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}u^n}{n}$ avec $u=x^2$.

$u^n=x^{2n}$.

Rayon : $|u|<1\Leftrightarrow|x|<1$.

$\ln(1+x^2)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}(x^2)^n}{n}=\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n}$.

$=x^2-\dfrac{x^4}2+\dfrac{x^6}3-\cdots$, $R=1$.

Comparer aux DSE usuels.

$\sum\dfrac{x^n}{n!}$ : exponentielle.

$\sum\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ : cosinus.

$\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^n}{n!}=e^x$.

$\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=\cos x$.

C'est la dérivée terme à terme de $\sum_{n\ge0}x^n=\dfrac1{1-x}$.

$\left(\dfrac1{1-x}\right)'=\dfrac1{(1-x)^2}$.

Conclure.

$\displaystyle\sum_{n\ge1}n x^{n-1}=\dfrac{d}{dx}\sum_{n\ge0}x^n=\dfrac{d}{dx}\dfrac1{1-x}$.

$=\dfrac1{(1-x)^2}$.