Courbes paramétrées

Courbes paramétrées — socle

Idée. Une courbe paramétrée est une trajectoire : à chaque instant $t$ on associe un point $M(t)=(x(t),y(t))$ du plan. La courbe n'est plus le graphe d'une fonction $y=f(x)$ — elle peut repasser deux fois au même endroit, se refermer, faire une pointe. La question centrale du chapitre est : comment la parcourt-on, et quelle forme cela dessine-t-il ? Le vecteur dérivé (la vitesse) répond à la première ; le tableau de variations conjointes, les symétries et les branches infinies répondent à la seconde.

Note (périmètre de vérification). Tout ce qui est écrit ici est certifié machine (_verif_courbes_parametrees.py) : vecteurs dérivés, tangentes, points doubles, limites des branches infinies, aires. Le chapitre est calculatoire de bout en bout — aucun théorème n'y est admis.

A. Point courant, vecteur dérivé, tangente

Définition. Une courbe paramétrée est une application $t\mapsto M(t)=(x(t),y(t))$ définie sur un intervalle $I$ , avec $x$ et $y$ dérivables. L'ensemble des points $M(t)$ est le support ; le paramètre $t$ n'est pas un point : c'est l'instant où l'on y passe. Deux paramétrages différents peuvent dessiner le même support à des vitesses différentes.
Le cercle, deux fois. $(\cos t,\sin t)$ pour $t\in[0,2\pi]$ décrit le cercle unité à vitesse constante $1$ . Le paramétrage rationnel $\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\dfrac{2t}{1+t^2}\right)$ , $t\in\mathbb{R}$ , décrit le même cercle privé du point $(-1,0)$ (atteint seulement à la limite $t\to\pm\infty$ ), à la vitesse $\dfrac{2}{1+t^2}$ : vite près de $(1,0)$ , de plus en plus lentement en s'approchant de $(-1,0)$ . C'est le changement de variable $t=\tan\frac{\theta}{2}$ .
Vecteur dérivé. $\vec v(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)$ est le vecteur vitesse. Le point $M(t)$ est régulier si $\vec v(t)\neq\vec 0$ ; la tangente en un point régulier est la droite passant par $M(t)$ et dirigée par $\vec v(t)$ . Son équation : $y'(t)\,(x-x(t))-x'(t)\,(y-y(t))=0$ , sa pente $\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ quand $x'(t)\neq0$ .
Tangentes horizontales et verticales. Tangente horizontale là où $y'=0$ et $x'\neq0$ ; verticale là où $x'=0$ et $y'\neq0$ . Ce sont les points que l'on repère en premier dans un tableau de variations.
Quand tout s'annule. Si $x'(t_0)=y'(t_0)=0$ , le point est stationnaire : la vitesse est nulle, mais la tangente peut exister quand même — c'est la direction limite de $\vec v(t)$ quand $t\to t_0$ , ou celle du premier vecteur dérivé non nul. Sur $(t^2,t^3)$ , $\vec v(0)=\vec0$ et pourtant la pente $\dfrac{3t}{2}\to0$ : tangente horizontale en $O$ . ⚠️ Vecteur dérivé nul ne veut pas dire pas de tangente. La nature de ces points (rebroussement ou non) est traitée dans l'approfondissement.
Deux exemples du BTS. Le projectile $x=v_0t\cos\alpha$ , $y=v_0t\sin\alpha-\tfrac12gt^2$ : sa vitesse est $\vec v=(v_0\cos\alpha,\,v_0\sin\alpha-gt)$ , horizontale au sommet, et le support est une parabole. La courbe de Bézier quadratique $M(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2$ (le « design » du programme) part de $P_0$ , arrive en $P_2$ , et sa tangente aux extrémités vise le point de contrôle : $\vec v(0)=2\overrightarrow{P_0P_1}$ , $\vec v(1)=2\overrightarrow{P_1P_2}$ .

Une courbe de Bezier quadratique entre P0 et P2, sous le point de controle P1, avec trois fleches de vitesse tangentes a la courbe, celles des extremites pointant vers P1. — **La vitesse est tangente à la courbe, et sa longueur dit l'allure.** Sur la courbe de Bézier quadratique $M(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2$ , le vecteur $\vec v(t)=M'(t)$ est dessiné en trois instants : il est porté par la tangente, et **aux extrémités il vise le point de contrôle** — $\vec v(0)=2\,\overrightarrow{P_0P_1}$ , $\vec v(1)=2\,\overrightarrow{P_1P_2}$ . C'est ce qui permet à un graphiste de raccorder deux arcs sans cassure en alignant des points.

B. Étude et tracé

Le plan d'étude, dans l'ordre : (1) domaine de définition et de dérivabilité ; (2) réduction de l'intervalle par les symétries et la périodicité ; (3) tableau de variations conjointes de $x$ et $y$ ; (4) points remarquables (tangentes horizontales, verticales, points stationnaires) ; (5) branches infinies ; (6) points doubles ; (7) tracé, en suivant les flèches du tableau.
Symétries. On cherche une transformation du paramètre qui envoie $M(t)$ sur un point simple à décrire :

si	alors $M(-t)$ ou $M(t')$ est	on trace sur	et on complète par
$x(-t)=x(t)$ , $y(-t)=-y(t)$	$(x,-y)$	$t\geq0$	symétrie d'axe $(Ox)$
$x(-t)=-x(t)$ , $y(-t)=y(t)$	$(-x,y)$	$t\geq0$	symétrie d'axe $(Oy)$
$x(-t)=-x(t)$ , $y(-t)=-y(t)$	$(-x,-y)$	$t\geq0$	symétrie de centre $O$
$x(\pi-t)=-x(t)$ , $y(\pi-t)=y(t)$	$(-x,y)$	$[0,\tfrac\pi2]$	symétrie d'axe $(Oy)$
$x(t+T)=x(t)$ , $y(t+T)=y(t)$	$M(t)$	une période	rien : la courbe est fermée
$x(1/t)=y(t)$ , $y(1/t)=x(t)$	$(y,x)$	$\lvert t\rvert\leq1$	symétrie d'axe $y=x$

Une symétrie réduit l'intervalle d'étude, elle ne le remplace pas : il faut dire par quelle transformation on complète le tracé.

Tableau de variations conjointes. Une ligne pour $x'$ et $x$ , une ligne pour $y'$ et $y$ , sur le même axe des $t$ . Sur chaque intervalle, le couple de signes $(x',y')$ donne la direction du parcours : $(+,+)$ vers le haut à droite, $(-,+)$ vers le haut à gauche, etc. Aux zéros de $x'$ ou de $y'$ , on note le point et sa tangente.
Branches infinies. Quand $t\to t_0$ (fini ou infini) et que $x$ ou $y$ tend vers l'infini :

ce qui tend vers l'infini	ce qu'on regarde	conclusion
$y$ seul, $x\to x_0$	—	asymptote verticale $x=x_0$
$x$ seul, $y\to y_0$	—	asymptote horizontale $y=y_0$
$x$ et $y$	$\dfrac yx\to a\neq0$ , puis $y-ax\to b$	asymptote oblique $y=ax+b$
$x$ et $y$	$\dfrac yx\to a$ , mais $y-ax\to\pm\infty$	branche parabolique de direction $y=ax$
$x$ et $y$	$\dfrac yx\to\pm\infty$	branche parabolique de direction $(Oy)$
$x$ et $y$	$\dfrac yx\to0$	branche parabolique de direction $(Ox)$

Le signe de $y-(ax+b)$ dit de quel côté de l'asymptote la courbe se trouve. Le folium de Descartes $\left(\dfrac{3t}{1+t^3},\dfrac{3t^2}{1+t^3}\right)$ a pour asymptote $x+y+1=0$ quand $t\to-1$ , et il reste au-dessus d'elle des deux côtés.

Points doubles. La courbe se recoupe si $M(t_1)=M(t_2)$ avec $t_1\neq t_2$ . On résout le système $x(t_1)=x(t_2)$ , $y(t_1)=y(t_2)$ en factorisant par $t_1-t_2$ , qu'on simplifie puisqu'il est non nul. Au point double, il y a deux tangentes, dirigées par $\vec v(t_1)$ et $\vec v(t_2)$ .
Les classiques à connaître. L'ellipse $(a\cos t,b\sin t)$ ; la cycloïde $\bigl(a(t-\sin t),a(1-\cos t)\bigr)$ , trace d'un point d'une roue qui roule, avec ses rebroussements à chaque contact au sol (la vitesse s'y annule, la tangente y est verticale) ; l'astroïde $(a\cos^3t,a\sin^3t)$ et ses quatre pointes ; la courbe de Lissajous $(\sin2t,\sin3t)$ , fermée, avec ses points doubles ; le folium et son asymptote.

Une roue posee sur l'axe des abscisses et l'arche de cycloide tracee par un de ses points, avec la fleche de vitesse en un point courant, le sommet marque et les deux rebroussements au sol. — **La cycloïde** $x=a(t-\sin t)$ , $y=a(1-\cos t)$ : la trace d'un point du bord d'une roue qui roule sans glisser — une arche par tour. À chaque contact avec le sol ( $t=0,\,2\pi,\dots$ ), **la vitesse s'annule et la courbe pique** : ce sont les rebroussements, à tangente verticale, que l'approfondissement explique par un développement limité. Le sommet $(\pi a,2a)$ est atteint à mi-tour, à la vitesse maximale $2a$ .

E. Synthèse : ce qu'une courbe paramétrée permet de calculer

Un mouvement. Si $M(t)$ est la position d'un mobile, $\vec v(t)=M'(t)$ est sa vitesse, $\|\vec v(t)\|$ sa vitesse scalaire, $\vec a(t)=M''(t)$ son accélération. La vitesse scalaire est minimale là où sa dérivée s'annule ; sur $\bigl(t^2,\tfrac{t^3}3-t\bigr)$ on trouve $\|\vec v\|=t^2+1$ , minimale en $t=0$ . La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse scalaire — c'est la longueur d'arc, traitée dans l'approfondissement.
Intersections. Avec l'axe $(Ox)$ : résoudre $y(t)=0$ ; avec $(Oy)$ : $x(t)=0$ ; avec une droite $y=mx+p$ : résoudre $y(t)=m\,x(t)+p$ en $t$ , puis calculer les points. Un même point peut correspondre à deux valeurs de $t$ : c'est un point double.
Reconnaître une conique. On élimine le paramètre : $(2+3\cos t,-1+2\sin t)$ vérifie $\dfrac{(x-2)^2}9+\dfrac{(y+1)^2}4=1$ (ellipse), $(t^2,2t)$ vérifie $y^2=4x$ (parabole), $\left(\dfrac1{\cos t},\tan t\right)$ vérifie $x^2-y^2=1$ (hyperbole, une branche). En écrivant $M(t)=A+t\vec B+t^2\vec C$ , le support est un arc de parabole dès que $\vec B$ et $\vec C$ ne sont pas colinéaires ; s'ils le sont — $\vec C=\vec0$ compris —, il est contenu dans une droite. C'est le cadre du BTS.
Aire d'une boucle. Si la courbe est fermée et simple (sans point double) et parcourue dans le sens direct (l'intérieur à gauche), la formule de Green donne
$\mathcal A=\frac12\oint\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr)=\frac12\int_{t_0}^{t_1}\bigl(x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\bigr)\,dt.$
Parcourue dans l'autre sens, l'intégrale change de signe. Une arche de cycloïde enferme $3\pi a^2$ — trois fois l'aire du disque qui roule ; la boucle du folium enferme $\tfrac32$ ; l'ellipse enferme $\pi ab$ . Cette formule est celle du chapitre d'analyse vectorielle (Green-Riemann) appliquée à un contour paramétré.