Espaces euclidiens & isométries

Espaces euclidiens & isométries — socle

Idée. Tu sais déjà mesurer dans un espace euclidien : le produit scalaire donne les longueurs, les angles, les projections (chapitre Formes quadratiques, approfondissement A à D). Ce chapitre répond à une autre question : quelles applications linéaires respectent ces mesures ? Ce sont les isométries — rotations, réflexions, et en dimension $3$ un troisième cas qu'on oublie toujours. Deux fils les traversent : l'orientation (une réflexion retourne le plan, une rotation non — et c'est le signe d'un déterminant qui le dit), et la composition (deux réflexions font une rotation, ce qui suffit à fabriquer toutes les isométries). Le chapitre finit dans le plan affine, avec les isométries qui ne fixent pas l'origine et les similitudes, qui ont le droit de changer d'échelle.

Note (périmètre de vérification). Tout ce qui est une matrice ou un nombre est certifié machine (_verif_espaces_euclidiens.py) : orthogonalité, déterminants, axes et angles — le signe de l'angle par le produit mixte —, points fixes, centres de similitudes, projecteurs. Les classifications de $\mathrm{O}(2)$ et des isométries affines du plan, la décomposition en réflexions en dimensions $2$ et $3$ sont démontrées dans la leçon et les exercices. Trois énoncés sont admis : le théorème de Cartan-Dieudonné (dimension $n$), la réduction des isométries en dimension $n$, la liste des sous-groupes finis de $\mathrm{SO}(3)$ — tous trois en approfondissement.

A. Espace euclidien, orientation, produit mixte

• Rappel en une page (le détail est au chapitre Formes quadratiques, approfondissement A–D). Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ (bilinéaire, symétrique, défini positif). Il définit la norme $\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}$, la distance $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$, l'orthogonalité $x\perp y\iff\langle x,y\rangle=0$, et l'inégalité de Cauchy-Schwarz $\lvert\langle x,y\rangle\rvert\leq\lVert x\rVert\,\lVert y\rVert$, d'où l'angle $\cos\theta=\dfrac{\langle x,y\rangle}{\lVert x\rVert\,\lVert y\rVert}$. Dans une base orthonormée (BON) $(e_1,\dots,e_n)$, les coordonnées se lisent : $x=\sum_i\langle x,e_i\rangle e_i$ et $\lVert x\rVert^2=\sum_i\langle x,e_i\rangle^2$. Le procédé de Gram-Schmidt fabrique une BON à partir de toute famille libre.
• Projection orthogonale. Sur une droite $D=\mathbb{R}u$ : $p_D(x)=\dfrac{\langle x,u\rangle}{\lVert u\rVert^2}\,u$. Sur un plan $P$ de $\mathbb{R}^3$ de vecteur normal $n$ : $p_P(x)=x-\dfrac{\langle x,n\rangle}{\lVert n\rVert^2}\,n$, et la distance de $x$ au plan vaut $d(x,P)=\dfrac{\lvert\langle x,n\rangle\rvert}{\lVert n\rVert}$. Dans tous les cas $x-p_F(x)\perp F$, et $\lVert x\rVert^2=\lVert p_F(x)\rVert^2+d(x,F)^2$ (Pythagore).
• Matrices orthogonales. Une matrice carrée $A$ est orthogonale si $A^{\mathsf T}A=I$ ; de façon équivalente, ses colonnes forment une BON, ou encore $A^{-1}=A^{\mathsf T}$ (l'inverse est gratuit). Alors $\det A=\pm1$ (car $\det(A^{\mathsf T}A)=(\det A)^2=1$). ⚠️ La réciproque est fausse : $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ a pour déterminant $1$ et n'est pas orthogonale (sa seconde colonne a pour norme $\sqrt2$). Et une matrice symétrique n'a rien à voir avec une matrice orthogonale : $A=A^{\mathsf T}$ contre $A^{\mathsf T}A=I$.
• Orientation. Deux bases de $E$ ont la même orientation si le déterminant de la matrice de passage est positif ; cela partage les bases en deux classes. Orienter $E$, c'est déclarer l'une des deux classe des bases directes (l'autre, des indirectes). Dans $\mathbb{R}^n$ on prend la base canonique directe ; alors une base est directe si et seulement si $\det(u_1,\dots,u_n)>0$. Pour une BON, le déterminant vaut $\pm1$ : changer l'ordre de deux vecteurs, ou remplacer $u_3$ par $-u_3$, change l'orientation.
• Angle orienté de deux vecteurs non nuls $u,v$ du plan orienté : l'unique $\theta\in\,]-\pi,\pi]$ tel que $\cos\theta=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\lVert u\rVert\lVert v\rVert}$ et $\sin\theta=\dfrac{\det(u,v)}{\lVert u\rVert\lVert v\rVert}$ — le déterminant (dans une BON directe) donne le signe. Donc $(v,u)=-(u,v)$, et changer l'orientation du plan change tous les signes. C'est l'angle de la rotation qui envoie $\dfrac{u}{\lVert u\rVert}$ sur $\dfrac{v}{\lVert v\rVert}$.
• Produit mixte. Dans $\mathbb{R}^3$ orienté, $[u,v,w]=\det(u,v,w)$ (dans une BON directe — sa valeur ne dépend pas de la BON directe choisie). Il vaut le volume orienté du parallélépipède construit sur $u,v,w$ ; il est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires, positif si et seulement si $(u,v,w)$ est une base directe. Il est trilinéaire, alterné (échanger deux vecteurs change le signe), invariant par permutation circulaire.
• Produit vectoriel. L'unique vecteur $u\wedge v$ tel que $\langle u\wedge v,w\rangle=[u,v,w]$ pour tout $w$ ; en coordonnées dans une BON directe :
  $$u\wedge v=\begin{pmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}.$$
  Il est orthogonal à $u$ et à $v$, nul si et seulement si $u,v$ sont colinéaires, et $\lVert u\wedge v\rVert=\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\,\sin\theta$ est l'aire du parallélogramme construit sur $u,v$ (identité de Lagrange : $\lVert u\wedge v\rVert^2+\langle u,v\rangle^2=\lVert u\rVert^2\lVert v\rVert^2$). Si $u\not\parallel v$, la base $(u,v,u\wedge v)$ est directe. Il est anticommutatif : $v\wedge u=-(u\wedge v)$. Recoupement avec le chapitre Matrices : le déterminant est un facteur d'aire ; ici il devient un volume.

B. Isométries vectorielles du plan et de l'espace

• Définition. Un endomorphisme $f$ de $E$ est une isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) s'il conserve la norme : $\lVert f(x)\rVert=\lVert x\rVert$ pour tout $x$. Les conditions suivantes sont équivalentes : $f$ conserve la norme $\iff$ $f$ conserve le produit scalaire (par polarisation, $\langle x,y\rangle=\tfrac12(\lVert x+y\rVert^2-\lVert x\rVert^2-\lVert y\rVert^2)$) $\iff$ $f$ envoie une BON sur une BON $\iff$ la matrice de $f$ dans une BON est orthogonale. Une isométrie est bijective, conserve les angles et les distances, et ses valeurs propres réelles valent $\pm1$.
• Les groupes. Les matrices orthogonales $n\times n$ forment le groupe orthogonal $\mathrm{O}(n)$ ; celles de déterminant $1$ le groupe spécial orthogonal $\mathrm{SO}(n)$, sous-groupe d'indice $2$. Une isométrie de déterminant $1$ est directe (elle conserve l'orientation), de déterminant $-1$ indirecte.
• Dimension 2 — rotations. $\mathrm{SO}(2)$ est l'ensemble des rotations $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$. On a $R_\theta R_\varphi=R_{\theta+\varphi}$ : composer, c'est ajouter les angles, et $\mathrm{SO}(2)$ est abélien — c'est l'exemple à avoir en tête, l'isomorphisme $R_\theta\mapsto e^{i\theta}$ vers les complexes de module $1$ étant celui du chapitre Nombres complexes (multiplier par $e^{i\theta}$ = tourner de $\theta$). Une rotation $R_\theta$ avec $\theta\not\equiv0\ [2\pi]$ n'a aucun vecteur fixe non nul.
• Dimension 2 — réflexions. $\mathrm{O}(2)\setminus\mathrm{SO}(2)$ est l'ensemble des réflexions $S_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$ : symétrie orthogonale par rapport à la droite $\Delta$ d'angle $\tfrac\theta2$. Une réflexion est involutive ($S^2=I$), a pour valeurs propres $1$ (sur l'axe) et $-1$ (sur la normale), et $\det S=-1$. On lit l'axe comme $\ker(S-I)$. Classification de $\mathrm{O}(2)$ (démontrée en B3) : toute matrice orthogonale $2\times2$ est une rotation ou une réflexion.
• Composer deux réflexions. $S_\beta S_\alpha=R_{\beta-\alpha}$ : la composée de deux réflexions d'axes $\Delta_1$ et $\Delta_2$ est la rotation d'angle double de l'angle $(\Delta_1,\Delta_2)$ — et dans l'ordre inverse, la rotation d'angle opposé. Réciproquement $R_\theta=S_\theta S_0$ : toute rotation est composée de deux réflexions (dont l'une peut être choisie librement), et toute isométrie du plan est composée d'au plus deux réflexions — démontré en B2. Enfin $R_\theta S_0=S_\theta$ : une réflexion suivie d'une rotation est une réflexion — et dans l'autre ordre, $S_0R_\theta=S_{-\theta}$, une réflexion encore, mais pas la même.

• Dimension 3 — la classification. Soit $A\in\mathrm{O}(3)$. On regarde le déterminant et la dimension de $\ker(A-I)$ (les vecteurs fixes) :

⚠️ $\det A=-1$ ne veut pas dire « réflexion » : la matrice $-I$ (symétrie centrale) est une antirotation d'angle $\pi$, et elle n'a aucun plan fixe. C'est la dimension de $\ker(A-I)$ qui tranche, jamais le seul déterminant.

• Rotation de l'espace : axe et angle. Si $A\in\mathrm{SO}(3)$, $A\neq I$, son axe est la droite $\ker(A-I)$ et son angle $\theta$ vérifie
  $$\cos\theta=\frac{\operatorname{tr}A-1}{2}.$$
  La trace ne donne que $\cos\theta$, donc $\theta$ au signe près. Le signe n'a de sens qu'une fois l'axe orienté par un vecteur $a$ : on prend $u$ hors de l'axe, et le signe de $\theta$ est celui du produit mixte $[u,Au,a]$. Changer $a$ en $-a$ change le signe de $\theta$ : une rotation d'angle $\theta$ autour de $a$ est la rotation d'angle $-\theta$ autour de $-a$. Exemple (certifié) : la permutation circulaire $e_1\mapsto e_2\mapsto e_3\mapsto e_1$ est la rotation d'axe $(1,1,1)$ et d'angle $\tfrac{2\pi}3$ (trace $0$, $\cos\theta=-\tfrac12$, $[e_1,e_2,(1,1,1)]=1>0$).
• Réflexion de l'espace. La réflexion par rapport au plan $P=n^\perp$ a pour matrice $S=I-2\dfrac{nn^{\mathsf T}}{\lVert n\rVert^2}$ : elle fixe $P$ et renverse $n$. Antirotation : $A=S\circ R$ avec $R$ rotation d'axe $D$ et $S$ réflexion par rapport à $D^\perp$ ; alors $\ker(A+I)=D$ dès que $\theta\neq\pi$ (pour $A=-I$, tout axe convient) et $\cos\theta=\dfrac{\operatorname{tr}A+1}{2}$.
• Reconnaître une isométrie sur sa matrice — le geste central du chapitre : (1) vérifier $A^{\mathsf T}A=I$ ; (2) calculer $\det A$ ; (3) calculer $\ker(A-I)$ (et $\ker(A+I)$ si $\det=-1$) ; (4) pour une rotation, lire $\cos\theta$ sur la trace puis le signe sur un produit mixte, après avoir orienté l'axe. Sur $\begin{pmatrix}2&-1&2\\2&2&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}\!\big/3$ : orthogonale, $\det=1$, axe $(1,1,1)$, trace $2$ donc $\cos\theta=\tfrac12$, et $[e_1,Ae_1,(1,1,1)]=1>0$ : rotation d'angle $+\tfrac\pi3$ autour de $(1,1,1)$.

E. Isométries affines du plan et similitudes

• Isométrie affine. Une application $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ qui conserve les distances. Une telle application est nécessairement affine : elle s'écrit $f(X)=\vec f(X)+b$ avec $\vec f\in\mathrm{O}(2)$ sa partie linéaire et $b=f(O)$ — c'est de cette forme que part toute la classification ci-dessous. Ce passage se démontre en trois lignes : $g(X)=f(X)-f(O)$ conserve les distances et fixe $O$, donc conserve les normes, donc le produit scalaire (polarisation, C6) ; alors $(g(e_1),g(e_2))$ est une BON et $\langle g(X),g(e_i)\rangle=\langle X,e_i\rangle$, d'où $g(X)=\sum_i\langle X,e_i\rangle\,g(e_i)$ : $g$ est linéaire, et orthogonale. Un déplacement a $\det\vec f=1$, un antidéplacement $\det\vec f=-1$. Les déplacements forment un groupe ; la composée de deux antidéplacements est un déplacement.
• Classification par les points fixes (démontrée en E1). On résout $f(X)=X$, c'est-à-dire $(\vec f-I)X=-b$ :

Le cas « $R_\theta$ » a toujours un point fixe unique parce que $R_\theta-I$ est inversible ($1$ n'est pas valeur propre). Le cas « $S_\theta$ » se décide en décomposant $b=b_\parallel+b_\perp$ (composantes parallèle et orthogonale à l'axe de $S_\theta$) : si $b_\parallel=0$ c'est une réflexion, sinon une réflexion glissée de vecteur $b_\parallel$, qui n'a aucun point fixe alors que sa partie linéaire est une réflexion. ⚠️ On ne reconnaît donc pas une réflexion glissée à sa matrice — la même que celle d'une réflexion — mais à l'absence de point fixe.

• Composées. Deux réflexions d'axes parallèles distants de $d$ composent une translation de longueur $2d$, perpendiculaire aux axes, dirigée du premier axe vers le second ; d'axes sécants en $\Omega$ faisant l'angle orienté $\alpha$ du premier axe vers le second, une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $2\alpha$. Dans les deux cas, l'ordre inverse donne l'application réciproque. Deux rotations de centres distincts et d'angles $\theta_1,\theta_2$ composent une rotation d'angle $\theta_1+\theta_2$ (d'un troisième centre), ou une translation si $\theta_1+\theta_2\equiv0\ [2\pi]$. L'ordre compte : $r_2\circ r_1$ et $r_1\circ r_2$ n'ont pas le même centre.
• Similitudes. On identifie le plan à $\mathbb{C}$. Une similitude directe est $z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{C}^*$ : c'est la composée d'une rotation d'angle $\arg a$ et d'une homothétie de rapport $\lvert a\rvert$, de même centre $\omega=\dfrac{b}{1-a}$ si $a\neq1$ (l'unique point fixe ; si $a=1$ c'est une translation). Elle s'écrit $f(z)-\omega=a\,(z-\omega)$. Une similitude indirecte est $z\mapsto a\bar z+b$ : réflexion composée avec la même rotation-homothétie ; elle renverse les angles orientés. Une similitude multiplie toutes les distances par $\lvert a\rvert$, conserve les rapports de longueurs et les angles (au signe près pour une indirecte). Elle est déterminée par l'image de deux points : $f(z_1)=w_1$, $f(z_2)=w_2$ donnent $a=\dfrac{w_2-w_1}{z_2-z_1}$ pour une directe. Les isométries sont les similitudes de rapport $1$.

• Le groupe des isométries du carré. Les isométries du plan qui conservent un carré fixent son centre (isobarycentre des sommets), donc sont linéaires si l'on place le centre en $O$ ; elles permutent les sommets et sont déterminées par l'image de deux sommets adjacents. Il y en a exactement $8$ : les $4$ rotations d'angles $0,\tfrac\pi2,\pi,\tfrac{3\pi}2$ et les $4$ réflexions d'axes les deux médianes et les deux diagonales. C'est le groupe diédral $D_4$ du chapitre Groupes — retrouvé ici comme un groupe de matrices, non abélien ($rs\neq sr$). Pour le triangle équilatéral : $3$ rotations et $3$ réflexions, $D_3\simeq S_3$ (toute permutation des sommets est réalisée). Le chapitre Burnside fait agir ces groupes pour compter des coloriages.