Fonctions d'une variable réelle

Fonctions d'une variable réelle — socle

Idée. Tu sais déjà calculer avec les fonctions : dériver, dresser un tableau de variations, lire une limite. Ce chapitre répond à une autre question : pourquoi ces calculs ont-ils le droit de conclure ? Pourquoi une fonction continue qui change de signe s'annule-t-elle, pourquoi une dérivée positive fait-elle croître, pourquoi une tangente approche-t-elle la courbe ? Les théorèmes qui portent ces réponses — valeurs intermédiaires, bornes atteintes, bijection, Rolle, accroissements finis — sont démontrés ici, et chacun vient avec l'exemple qui montre que ses hypothèses ne sont pas décoratives.

Note (périmètre de vérification). Tout ce qui se calcule ici est certifié machine (_verif_fonctions_reelles.py) : limites des deux côtés, prolongements, taux d'accroissement, points $c$ des théorèmes, inégalités par le signe d'une dérivée, valeurs affichées. Les théorèmes sont démontrés dans la leçon et les exercices. Un seul énoncé est admis à ce palier — Bolzano-Weierstrass (déjà admis au chapitre sur les suites), qui sert à prouver le théorème des bornes atteintes.

A. Limites et continuité

Les fonctions de référence. Le tableau à connaître, sans calcul :

fonction	ensemble de définition	parité / périodicité	aux bornes
$x^n$ ( $n$ entier)	$\mathbb{R}$	parité de $n$	$\pm\infty$ selon $n$
$\sqrt{x}$	$[0,+\infty[$	—	$\to+\infty$
$\dfrac1x$	$\mathbb{R}^*$	impaire	$0$ en $\pm\infty$ , $\pm\infty$ en $0$
$\ln x$	$]0,+\infty[$	—	$-\infty$ en $0^+$ , $+\infty$ en $+\infty$
$e^x$	$\mathbb{R}$	—	$0$ en $-\infty$ , $+\infty$ en $+\infty$
$\sin$ , $\cos$	$\mathbb{R}$	impaire / paire, $2\pi$ -périodiques	pas de limite en $\pm\infty$
$\tan$	$\mathbb{R}\setminus\{\tfrac\pi2+k\pi\}$	impaire, $\pi$ -périodique	$\pm\infty$ aux pôles

Limite en un point. $f(x)\to\ell$ quand $x\to a$ signifie : pour tout $\varepsilon>0$ , il existe $\delta>0$ tel que $0<\lvert x-a\rvert<\delta\Rightarrow\lvert f(x)-\ell\rvert<\varepsilon$ . Le $\delta$ a le droit de dépendre de $\varepsilon$ (et de $a$ ). Version « à l'infini » : $f(x)\to\ell$ quand $x\to+\infty$ si, pour tout $\varepsilon$ , il existe $A$ tel que $x>A\Rightarrow\lvert f(x)-\ell\rvert<\varepsilon$ . La limite est unique ; les opérations (somme, produit, quotient, composition) passent à la limite comme pour les suites, avec les mêmes formes indéterminées.
Caractérisation séquentielle. $f(x)\to\ell$ quand $x\to a$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de limite $a$ (avec $x_n\neq a$ ), $f(x_n)\to\ell$ . C'est l'outil pour réfuter une limite : deux suites $x_n\to a$ et $y_n\to a$ avec $f(x_n)$ et $f(y_n)$ de limites différentes prouvent que $f$ n'a pas de limite en $a$ . Exemple : $\sin\!\left(\tfrac1x\right)$ en $0$ .
Limites à gauche et à droite. $f(x)\to\ell^-$ en $a$ (par valeurs $x<a$ ) et $f(x)\to\ell^+$ (par $x>a$ ). La limite existe si et seulement si les deux existent et coïncident. $\dfrac{\lvert x\rvert}{x}$ vaut $-1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite : pas de limite en $0$ .
Continuité. $f$ est continue en $a$ si $f(x)\to f(a)$ quand $x\to a$ — la limite existe et vaut la valeur. Continue sur un intervalle = continue en chaque point. Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul), composées de fonctions continues sont continues ; toutes les fonctions de référence sont continues sur leur ensemble de définition. $\lvert f\rvert$ , $\max(f,g)=\tfrac{f+g+\lvert f-g\rvert}2$ et $\min(f,g)$ sont continues dès que $f$ et $g$ le sont.
Prolongement par continuité. Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais admet une limite finie $\ell$ en $a$ , on pose $\tilde f(a)=\ell$ : $\tilde f$ est continue en $a$ . Ainsi $\dfrac{\sin x}{x}$ se prolonge par $1$ en $0$ , $x\ln x$ par $0$ en $0$ . $\dfrac1x$ ne se prolonge pas : ses limites en $0$ sont infinies.

B. Valeurs intermédiaires, bornes atteintes, bijection

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $y$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=y$ . Forme la plus utilisée : $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires $\Rightarrow$ $f$ s'annule sur $]a,b[$ . La preuve est une dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, on garde la moitié où le signe change, et les deux bornes forment des suites adjacentes dont la limite commune est un zéro de $f$ — la continuité sert exactement là, pour passer à la limite dans $f(a_n)\leq0\leq f(b_n)$ . ⚠️ Le théorème donne l'existence, jamais l'unicité (qui demande la stricte monotonie) ni la valeur.
Conséquences. Un polynôme de degré impair a au moins une racine réelle. Une fonction continue de $[a,b]$ dans $[a,b]$ a un point fixe (appliquer le TVI à $f(x)-x$ ). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Théorème des bornes atteintes. Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ , elle est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_1,x_2\in[a,b]$ avec $f(x_1)=\min f$ et $f(x_2)=\max f$ . Preuve par Bolzano-Weierstrass (admis) : une suite $(x_n)$ telle que $f(x_n)\to\sup f$ admet une sous-suite convergente, et la continuité fait passer $f$ à la limite. Les trois hypothèses comptent : $x\mapsto x$ sur $]0,1[$ n'atteint pas $1$ (intervalle ouvert), $\tfrac1x$ sur $]0,1]$ n'est pas bornée, $\arctan$ sur $\mathbb{R}$ est bornée sans atteindre $\pm\tfrac\pi2$ (non borné).
Théorème de la bijection. Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$ , et sa réciproque $f^{-1}$ est continue et strictement monotone (même sens). Si de plus $f$ est dérivable en $x_0$ avec $f'(x_0)\neq0$ , alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ et
$\bigl(f^{-1}\bigr)'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)}.$
Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ ; en un point où $f'=0$ (tangente horizontale), $f^{-1}$ a une tangente verticale et n'y est pas dérivable ( $x^3$ en $0$ ).

Courbe de tangente entre moins pi sur 2 et pi sur 2, courbe d'arctangente bornee par plus ou moins pi sur 2, symetriques l'une de l'autre par rapport a la diagonale y egale x en pointilles. — **$\tan$ et $\arctan$** , symétriques par rapport à la droite $y=x$ : les asymptotes **verticales** de $\tan$ en $\pm\tfrac\pi2$ deviennent les asymptotes **horizontales** d' $\arctan$ , et le point $\left(\tfrac\pi4,1\right)$ devient $\left(1,\tfrac\pi4\right)$ . La réciproque hérite de la continuité et de la stricte croissance ; sa pente en $y=f(x)$ vaut $\tfrac1{f'(x)}$ .

Fonctions trigonométriques inverses. $\tan$ est continue et strictement croissante sur $\left]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right[$ , de limites $\mp\infty$ aux bornes : c'est une bijection sur $\mathbb{R}$ , de réciproque $\arctan:\mathbb{R}\to\left]-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right[$ , impaire, strictement croissante, de dérivée $\dfrac1{1+x^2}$ , avec $\arctan1=\tfrac\pi4$ et $\arctan x\to\tfrac\pi2$ en $+\infty$ . De même $\arcsin:[-1,1]\to\left[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right]$ (réciproque de $\sin$ restreint) et $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$ , dérivables sur $]-1,1[$ avec $\arcsin'x=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ , $\arccos'x=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ , et $\arcsin x+\arccos x=\tfrac\pi2$ . ⚠️ $\arcsin(\sin x)$ ne vaut $x$ que sur $\left[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right]$ .

E. Dérivabilité, théorème de Rolle, accroissements finis

Dérivabilité en un point. $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ a une limite finie quand $h\to0$ ; cette limite est $f'(a)$ , pente de la tangente. Dérivable $\Rightarrow$ continue ; la réciproque est fausse : $\lvert x\rvert$ est continue en $0$ et ses taux à gauche et à droite valent $-1$ et $1$ (point anguleux). $\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ : son taux tend vers $+\infty$ (tangente verticale). $x\lvert x\rvert$ , elle, est dérivable en $0$ , de dérivée $0$ .
Extremum et dérivée (Fermat). Si $f$ est dérivable en un point $c$ intérieur à l'intervalle et y admet un extremum local, alors $f'(c)=0$ . La réciproque est fausse ( $x^3$ en $0$ ), et l'hypothèse « intérieur » compte : sur $[0,1]$ , $x\mapsto x$ atteint son maximum en $1$ avec $f'(1)=1$ .
Théorème de Rolle. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ , et si $f(a)=f(b)$ , alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$ . Preuve : par les bornes atteintes, $f$ a un maximum et un minimum ; s'ils sont tous deux aux bornes, $f$ est constante ; sinon l'un est intérieur, et Fermat conclut. Trois hypothèses, aucune n'est superflue : $\lvert x\rvert$ sur $[-1,1]$ (pas dérivable en $0$ ) n'a aucun point à dérivée nulle.
Égalité des accroissements finis. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ , il existe $c\in]a,b[$ tel que
$f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a).$
Autrement dit : la corde a la pente d'une tangente. Preuve : Rolle appliqué à $g(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ .

Courbe du logarithme, corde reliant les points d'abscisses 1 et e, et tangente en pointilles parallele a la corde au point d'abscisse e moins 1, entre les deux. — **Égalité des accroissements finis** sur $\ln$ entre $a=1$ et $b=e$ : la corde (de pente $\tfrac1{e-1}$ ) et, quelque part entre les deux, une **tangente parallèle** — ici en $c=e-1\approx1{,}718$ , unique parce que $\tfrac1x$ est injective. Le théorème dit que cette tangente existe toujours ; il ne dit ni où, ni combien.

Inégalité des accroissements finis. Si $\lvert f'\rvert\leq M$ sur $]a,b[$ , alors $\lvert f(b)-f(a)\rvert\leq M\lvert b-a\rvert$ . C'est l'outil des majorations d'erreur et des suites contractantes : si $\lvert f'\rvert\leq k<1$ sur un intervalle stable contenant le point fixe $\ell$ , alors $\lvert u_{n+1}-\ell\rvert\leq k\lvert u_n-\ell\rvert$ , donc $\lvert u_n-\ell\rvert\leq k^n\lvert u_0-\ell\rvert$ — convergence géométrique.
Ce que la dérivée dit de la fonction. Sur un intervalle : $f'\geq0\iff f$ croissante, $f'>0\Rightarrow f$ strictement croissante, $f'=0\Rightarrow f$ constante (ce sont des conséquences des accroissements finis, et elles supposent un intervalle). Inégalités classiques obtenues ainsi : $\sin x\leq x$ pour $x\geq0$ , $\ln(1+x)\leq x$ , $e^x\geq1+x$ .
Théorème de la limite de la dérivée. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b]$ , et si $f'(x)\to\ell$ quand $x\to a^+$ , alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$ . ⚠️ Sens unique : $x^2\sin\!\left(\tfrac1x\right)$ prolongée par $0$ est dérivable en $0$ alors que $f'$ n'a pas de limite en $0$ .
Approximation affine. Près de $a$ , $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)\,h$ : la courbe se confond avec sa tangente. L'erreur se majore par les accroissements finis appliqués à $f'$ : si $\lvert f''\rvert\leq M_2$ , l'écart entre $f(a+h)$ et $f(a)+f'(a)h$ est au plus $M_2h^2$ . L'approfondissement affine ce contrôle (Taylor-Lagrange), et le chapitre des développements limités en fait un calcul.