Réels, suites & séries numériques

Réels et suites numériques — socle

Idée. Une suite $(u_n)$ est une liste infinie de réels, indexée par $n\in\mathbb{N}$. La question centrale du chapitre est : que devient $u_n$ quand $n$ grandit ? Tout le reste — définition de la limite, théorèmes d'existence, suites récurrentes, bornes supérieures — sert à répondre proprement à cette question, y compris quand on ne sait pas calculer la limite.

Note (périmètre de vérification). Tout ce qui se calcule ici est certifié machine (_verif_suites_series.py) : limites, rangs $N(\varepsilon)$, points fixes, monotonie et encadrements sur des dizaines de termes, valeurs affichées. Les deux énoncés qui reposent sur la construction de $\mathbb{R}$ — la propriété de la borne supérieure et le théorème « toute suite monotone bornée converge » qui en découle — sont admis à ce palier ; l'approfondissement en esquisse la preuve.

A. Limite d'une suite et théorèmes d'existence

• Définition. $(u_n)$ converge vers $\ell$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rang $N$ tel que $n\geq N\Rightarrow\lvert u_n-\ell\rvert<\varepsilon$. Autrement dit : aussi petit que soit $\varepsilon$, tous les termes finissent par rester dans $]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$. La limite est unique. Une suite qui ne converge pas diverge (vers $\pm\infty$, ou sans limite).
• Ce que la définition ne dit pas. Elle ne demande ni monotonie ni que $u_n$ atteigne $\ell$ : $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge vers $0$ en oscillant, sans jamais valoir $0$.
• Opérations. Somme, produit, quotient (dénominateur de limite non nulle) de suites convergentes convergent vers la somme, le produit, le quotient des limites. Les formes indéterminées $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\tfrac\infty\infty$, $\tfrac00$ se lèvent en factorisant le terme dominant ou par la quantité conjuguée : $\sqrt{n^2+n}-n=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\to\dfrac12$.
• Gendarmes. Si $a_n\leq u_n\leq b_n$ et $a_n,b_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$. Cas d'usage : $\lvert u_n\rvert\leq b_n$ avec $b_n\to0$. C'est le théorème qu'on emploie quand $u_n$ contient un $\cos n$, une partie entière, une somme qu'on ne sait pas calculer.
• Théorème de la limite monotone (admis, repose sur la borne supérieure). Une suite croissante et majorée converge (vers sa borne supérieure) ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$. Même énoncé en décroissante/minorée. ⚠️ Il prouve l'existence de la limite sans la donner : pour l'identifier, on passe à la limite dans une relation vérifiée par $u_n$.
• Suites adjacentes. Si $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ décroissante et $b_n-a_n\to0$, alors elles convergent vers une même limite $\ell$, et $a_n\leq\ell\leq b_n$ pour tout $n$ : chaque couple $(a_n,b_n)$ est un encadrement de $\ell$.

• Limites de référence. $q^n\to0$ si $\lvert q\rvert<1$, $q^n\to+\infty$ si $q>1$, $(q^n)$ diverge sans limite si $q\leq-1$ ; $n^\alpha\to+\infty$ pour $\alpha>0$ ; $\left(1+\tfrac1n\right)^n\to e$.
• Croissances comparées. Pour $\alpha>0$ et $a>1$ : $\ln n\ll n^\alpha\ll a^n\ll n!\ll n^n$, où $u_n\ll v_n$ signifie $\tfrac{u_n}{v_n}\to0$. Exemple : $\dfrac{n^3}{2^n}\to0$ bien que $n^3$ domine jusqu'à $n=9$.

B. Suites récurrentes

• Forme $u_{n+1}=f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell=f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$. La méthode en quatre temps : (1) trouver un intervalle stable $I$ ($f(I)\subset I$) contenant $u_0$ ; (2) monotonie — si $f$ est croissante sur $I$, $(u_n)$ est monotone, dans le sens donné par la comparaison de $u_0$ et $u_1$ ; sinon, lire le signe de $f(x)-x$ ; (3) bornée par les bords de $I$, donc convergente ; (4) identifier $\ell$ parmi les points fixes.
• Attractif ou répulsif. Si $\lvert f'(\ell)\rvert<1$, les termes proches de $\ell$ s'en rapprochent (point fixe attractif, convergence géométrique de raison $\approx\lvert f'(\ell)\rvert$) ; si $\lvert f'(\ell)\rvert>1$ ils s'en éloignent (répulsif). Un point fixe n'est donc pas automatiquement une limite.

• Arithmético-géométrique $u_{n+1}=a\,u_n+b$ ($a\neq1$). Point fixe $\ell=\dfrac{b}{1-a}$ ; la suite $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$, d'où la forme close $u_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^n$. Convergence vers $\ell$ si et seulement si $\lvert a\rvert<1$ (ou $u_0=\ell$).
• Récurrence linéaire d'ordre 2 $u_{n+2}=p\,u_{n+1}+q\,u_n$. On résout l'équation caractéristique $r^2=pr+q$ : deux racines réelles distinctes $r_1\neq r_2$ donnent $u_n=A\,r_1^n+B\,r_2^n$ ; une racine double $r_0$ donne $u_n=(A+Bn)\,r_0^n$. Les constantes se lisent sur $u_0$ et $u_1$.

E. Réels : bornes, décimaux, suites extraites

• Majorant, borne supérieure. $M$ majore $A\subset\mathbb{R}$ si $a\leq M$ pour tout $a\in A$. La borne supérieure $\sup A$ est le plus petit des majorants ; elle est caractérisée par : pour tout $\varepsilon>0$, il existe $a\in A$ avec $a>\sup A-\varepsilon$. Elle n'est pas forcément atteinte : $\sup\{1-\tfrac1n\}=1$, jamais atteint. Quand elle l'est, c'est le maximum.
• Propriété de la borne supérieure (axiome de $\mathbb{R}$). Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure. C'est ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : $\{x\in\mathbb{Q} : x^2<2\}$ est majoré et n'a pas de borne supérieure rationnelle. C'est aussi ce qui fonde le théorème de la limite monotone.
• Décimaux et valeurs approchées. $d_n=\dfrac{\lfloor 10^n x\rfloor}{10^n}$ est la valeur approchée décimale par défaut de $x$ à $10^{-n}$ près : $d_n\leq x<d_n+10^{-n}$. Les décimaux sont denses dans $\mathbb{R}$ (entre deux réels distincts il y en a toujours un), et tout réel est limite de la suite de ses approximations décimales.
• Suites extraites. $(u_{\varphi(n)})$ avec $\varphi$ strictement croissante. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, toute extraite converge vers $\ell$. Conséquence utile dans l'autre sens : deux extraites de limites différentes prouvent la divergence. Et si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite, alors $(u_n)$ converge.
• Vitesse de convergence. Pour atteindre $10^{-6}$ : $\tfrac1n$ demande un million de termes, $\tfrac1{2^n}$ en demande $20$, la méthode de Héron pour $\sqrt2$ en demande $4$. Convergence géométrique (erreur divisée par une constante à chaque pas) contre quadratique (nombre de décimales justes doublé à chaque pas).
• La série harmonique diverge. $H_n=1+\tfrac12+\dots+\tfrac1n$ est croissante et $H_{2n}-H_n\geq\tfrac12$, donc $H_n$ n'est pas majorée : $H_n\to+\infty$ — très lentement ($H_{1000}\approx7{,}49$). L'encadrement par des rectangles sous et sur $\tfrac1x$ donne $\ln(n+1)\leq H_n\leq1+\ln n$.