Statistique descriptive

Statistique descriptive — série à une variable (socle)

Idée. Une série statistique est une liste de valeurs mesurées sur une population : les notes d'une classe, les temps d'attente de $40$ clients, les masses de $50$ colis. La statistique descriptive ne cherche pas à prédire ni à tester : elle résume la série par quelques nombres (une position — où sont les valeurs ? — et une dispersion — sont-elles serrées ou étalées ?) et par un graphique, pour qu'on puisse la lire et la comparer à une autre. Tout le chapitre tient dans une question : quel résumé pour quelle question ?

Note (périmètre de vérification). Chaque moyenne, médiane, quartile, variance et proportion de ce chapitre est certifiée machine (_verif_statistique_descriptive.py, calcul exact en fractions, recoupé par numpy). Les conventions employées sont écrites ci-dessous et employées partout : elles ne sont pas les seules possibles — l'approfondissement (C5) explique pourquoi deux manuels donnent parfois deux premiers quartiles pour la même série.

A. Série, effectifs, caractéristiques de position

• Vocabulaire. La population est l'ensemble étudié ; chaque individu porte une valeur du caractère. Un caractère est qualitatif (une couleur, une filière), quantitatif discret (un nombre de pièces défectueuses, une note entière) ou quantitatif continu (une masse, une durée) — les valeurs d'un caractère continu se regroupent en classes.
• Tableau d'effectifs. Pour chaque valeur $x_i$, l'effectif $n_i$ est le nombre d'individus qui la portent ; $n=\sum n_i$ est l'effectif total ; la fréquence est $f_i=\dfrac{n_i}{n}$ (les fréquences totalisent $1$, soit $100\,\%$) ; la fréquence cumulée croissante $F(x)$ est la proportion des valeurs inférieures ou égales à $x$. C'est elle qui sert à lire médiane et quartiles.
• Moyenne. $\bar x=\dfrac1n\sum_i n_i\,x_i$ — une moyenne pondérée par les effectifs, ce qui est la même chose que la moyenne de la liste où chaque valeur est répétée $n_i$ fois. C'est le barycentre des valeurs. Elle vaut pour un caractère quantitatif seulement.
• Médiane. On range les $n$ valeurs par ordre croissant. Si $n$ est impair, la médiane $\mathrm{Me}$ est la valeur du milieu (la $\tfrac{n+1}2$-ième) ; si $n$ est pair, c'est la demi-somme des deux valeurs centrales (la $\tfrac n2$-ième et la suivante). Au moins la moitié des valeurs sont $\leq\mathrm{Me}$, au moins la moitié sont $\geq\mathrm{Me}$.
• Mode. La valeur (ou la classe) d'effectif maximal. Il peut y en avoir plusieurs, et c'est le seul résumé qui ait un sens pour un caractère qualitatif.
• Moyenne ou médiane ? La moyenne bouge dès qu'une valeur bouge : un seul salaire très élevé la tire vers le haut. La médiane, elle, ne dépend que du rang des valeurs : la même valeur extrême ne la déplace pas. On dit que la médiane est robuste. Sur une série symétrique les deux coïncident ; sur une série étalée à droite (salaires, temps d'attente), la moyenne est au-dessus de la médiane.
• Série regroupée en classes. Pour un caractère continu on regroupe les valeurs en intervalles $[a_i,b_i[$ d'effectifs $n_i$. Faute de connaître les valeurs exactes, on estime la moyenne en remplaçant chaque classe par son centre $c_i=\tfrac{a_i+b_i}2$ : $\bar x\approx\tfrac1n\sum n_i\,c_i$. Ce n'est plus la moyenne de la série brute, c'est une estimation — et elle dépend du découpage.
• Histogramme. Chaque classe est un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif. Si les classes ont la même largeur, la hauteur suffit. Si elles sont inégales, la hauteur est la densité de fréquence $\dfrac{f_i}{b_i-a_i}$ (ou l'effectif par unité de largeur) : une classe deux fois plus large et de même effectif est deux fois moins haute. Tracer les effectifs en hauteur avec des classes inégales est le contresens le plus courant du chapitre.

• Médiane d'une série groupée. On ne connaît pas les valeurs : on cherche la classe médiane (celle où $F$ franchit $\tfrac12$) et on y interpole linéairement — on suppose les valeurs uniformément réparties dans la classe. Si $F(a)<\tfrac12\leq F(b)$ sur la classe $[a,b[$, alors
  $$\mathrm{Me}\approx a+(b-a)\,\frac{\tfrac12-F(a)}{F(b)-F(a)}.$$
  Même formule pour $Q_1$ et $Q_3$ avec $\tfrac14$ et $\tfrac34$. Graphiquement : on trace le polygone des fréquences cumulées (les points $(b_i,F(b_i))$ reliés par des segments) et on lit l'abscisse où il coupe l'horizontale $50\,\%$.

• Changement d'unité ou de barème. Si $y_i=a\,x_i+b$ avec $a>0$, alors $\bar y=a\,\bar x+b$ et $\mathrm{Me}_y=a\,\mathrm{Me}_x+b$ : une transformation affine croissante se transporte sur les caractéristiques de position (les rangs ne changent pas, et la moyenne est linéaire).

B. Caractéristiques de dispersion

• Étendue. $\max-\min$. Un seul nombre, très sensible aux extrêmes : il décrit l'intervalle occupé, pas la façon dont les valeurs s'y répartissent.
• Quartiles — la convention de ce chapitre. $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle que la fréquence cumulée $F(Q_1)$ soit $\geq\tfrac14$ ; $Q_3$ est la plus petite valeur telle que $F(Q_3)\geq\tfrac34$. En pratique : au moins $25\,\%$ des valeurs sont $\leq Q_1$, au moins $75\,\%$ sont $\leq Q_3$. Sur une série de $n=12$ valeurs rangées, $Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ (car $\tfrac3{12}=\tfrac14$) et $Q_3$ la $9^{\text{e}}$ ; sur $n=10$, $Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ (car $\tfrac2{10}<\tfrac14\leq\tfrac3{10}$) et $Q_3$ la $8^{\text{e}}$. ⚠️ Les tableurs et les calculatrices emploient souvent une autre convention (interpolation) et donnent des quartiles légèrement différents : l'approfondissement compare les trois.
• Écart interquartile. $\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1$ : la largeur de l'intervalle qui contient la moitié centrale des valeurs. Insensible aux extrêmes, comme la médiane.
• Boîte à moustaches. Une boîte de $Q_1$ à $Q_3$, coupée par la médiane, prolongée par des moustaches jusqu'au minimum et au maximum. Deux séries se comparent d'un coup d'œil : position (médiane), dispersion (longueur de la boîte), asymétrie (la médiane n'est pas au milieu de la boîte). Variante fréquente : moustaches limitées à $1{,}5\times\mathrm{IQR}$ au-delà de la boîte, les valeurs plus lointaines étant marquées comme isolées — dire la convention qu'on emploie.

• Variance et écart-type. La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
  $$V=\frac1n\sum_i n_i\,(x_i-\bar x)^2,\qquad\sigma=\sqrt V.$$
  L'écart-type $\sigma$ a l'unité de la série (des minutes, des grammes), la variance a le carré de cette unité. Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs s'éloignent de la moyenne. Dans ce chapitre la variance est toujours divisée par $n$ : c'est la variance de la série. La calculatrice affiche aussi une valeur divisée par $n-1$ ($\sigma_{n-1}$, la « variance corrigée ») ; elle sert à estimer la variance d'une population à partir d'un échantillon, ce qui est une autre question (approfondissement D3).
• Formule de Koenig-Huygens. $V=\overline{x^2}-\bar x^{\,2}$ : la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. Plus rapide à la main (pas d'écarts à calculer), et un excellent recoupement de la définition — les deux doivent coïncider exactement.
• Transformation affine. Si $y=ax+b$ : $V_y=a^2\,V_x$ et $\sigma_y=\lvert a\rvert\,\sigma_x$. Ajouter $b$ ne change pas la dispersion (translation) ; multiplier par $a$ la multiplie par $\lvert a\rvert$. Cas important : la valeur centrée réduite $z_i=\dfrac{x_i-\bar x}{\sigma}$ a pour moyenne $0$ et pour écart-type $1$, et dit à combien d'écarts-types de la moyenne se trouve $x_i$ — c'est ce qui permet de comparer une note sur $20$ et une note sur $40$.
• Série groupée. Variance et écart-type s'estiment par les centres des classes, comme la moyenne.
• ⚠️ « $68\,\%$ des valeurs dans $[\bar x-\sigma,\bar x+\sigma]$ » est une propriété de la loi normale, pas des séries : une série peut en avoir $50\,\%$, $72\,\%$ ou $100\,\%$. Ce qui est vrai pour toute série est bien plus faible et se démontre (approfondissement C2) : au plus $\tfrac1{k^2}$ des valeurs sont à plus de $k\sigma$ de la moyenne.

E. Choisir un résumé, comparer deux séries

• Quel résumé ? Position : la moyenne quand les valeurs se compensent (une moyenne de production, un panier moyen) ; la médiane quand la série est asymétrique ou contient des extrêmes (salaires, délais). Dispersion : l'écart-type accompagne la moyenne, l'écart interquartile accompagne la médiane. Donner les deux familles quand on peut, avec le graphique qui va avec.
• Comparer deux séries d'unités ou de niveaux différents. L'écart-type seul ne compare pas $10$ grammes à $1$ millimètre. Le coefficient de variation $\mathrm{CV}=\dfrac{\sigma}{\bar x}$ (sans unité, souvent en $\%$) mesure la dispersion relative : $\sigma=10$ g sur une moyenne de $500$ g, c'est $2\,\%$ ; $\sigma=1$ mm sur $20$ mm, c'est $5\,\%$ — la seconde machine est relativement moins régulière.
• Moyenne de moyennes. La moyenne d'une population réunissant deux sous-populations est la moyenne pondérée par les effectifs des deux moyennes : $\bar x=\dfrac{n_1\bar x_1+n_2\bar x_2}{n_1+n_2}$. La moyenne simple $\tfrac{\bar x_1+\bar x_2}2$ est fausse dès que $n_1\neq n_2$.
• Quel graphique ? Diagramme en bâtons pour un caractère discret (une barre par valeur, séparées), en secteurs pour un qualitatif (des parts de $100\,\%$), histogramme pour un continu regroupé en classes (rectangles accolés, aire proportionnelle à l'effectif), boîte à moustaches pour comparer plusieurs séries, polygone des fréquences cumulées pour lire médiane et quartiles.
• Lire un problème type BTS. Compléter le tableau (effectifs, fréquences, cumulées), calculer les résumés à la calculatrice en sachant lesquels (moyenne, $\sigma_n$ et non $\sigma_{n-1}$), lire graphiquement médiane et quartiles sur le polygone, puis interpréter : « au moins $75\,\%$ des ampoules durent moins de… ». Un résultat sans interprétation n'est pas une réponse.