Exercices corrigés — Statistique descriptive

Une fréquence est un effectif divisé par $n=25$ : chaque étudiant pèse $4\,\%$.

La médiane d'une série de $25$ valeurs rangées est la $13^{\text{e}}$ : compter les effectifs cumulés jusqu'à dépasser $13$.

$Q_1$ est la plus petite note dont la fréquence cumulée atteint $25\,\%$ ; $Q_3$, celle qui atteint $75\,\%$.

Une série avec des répétitions se lit dans un tableau, et le tableau répond à tout. Les $25$ notes ne sont pas $25$ nombres à manipuler un par un : ce sont $10$ valeurs distinctes, chacune avec son effectif $n_i$. La fréquence $f_i=\tfrac{n_i}{25}$ dit le poids de chaque note ; la fréquence cumulée $F(x)$ dit quelle proportion des étudiants a au plus $x$ — et c'est elle qui donne la médiane et les quartiles sans rien ranger.

👉 Avec $n=25$, chaque étudiant pèse $\tfrac1{25}=4\,\%$ : toutes les fréquences sont des multiples de $4\,\%$, ce qui rend le tableau vérifiable de tête.

Fréquence : $f_i=\dfrac{n_i}{n}$, et $\sum f_i=1$. Fréquence cumulée croissante : $F(x_k)=f_1+\dots+f_k$, proportion des valeurs $\leq x_k$.

Moyenne pondérée : $\bar x=\dfrac1n\sum n_i\,x_i$. Médiane ($n$ impair) : la $\tfrac{n+1}2$-ième valeur rangée. Mode : la valeur d'effectif maximal.

Quartiles (convention du chapitre) : $Q_1$ est la plus petite valeur telle que $F\geq\tfrac14$, $Q_3$ la plus petite telle que $F\geq\tfrac34$.

Les effectifs totalisent $1+2+3+4+5+4+2+2+1+1=25$ ✓ et les fréquences $100\,\%$ ✓. Chaque cumulée est la précédente plus la fréquence de la colonne : $24+16=40$, $40+20=60$, $60+16=76$…

Moyenne. On pondère chaque note par son effectif :

Médiane. $n=25$ est impair : la médiane est la $13^{\text{e}}$ note rangée. Les effectifs cumulés valent $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15$ pour les notes $6,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11$ : les rangs $11$ à $15$ portent la note $11$, donc la $13^{\text{e}}$ vaut $11$.

Le mode est la note la plus fréquente, $11$ (effectif $5$). Ici les trois résumés sont proches : la série est à peu près symétrique autour de $11$, avec une légère queue vers le haut ($16$, $18$) qui tire la moyenne un peu au-dessus de la médiane.

« Au moins $12$ » est le complémentaire de « au plus $11$ » : $1-F(11)=100\,\%-60\,\%=40\,\%$. Contrôle direct : $4+2+2+1+1=10$ étudiants sur $25$, soit $\tfrac{10}{25}=40\,\%$ ✓.

« Au plus $9$ » se lit directement : $F(9)=24\,\%$, soit $1+2+3=6$ étudiants ✓.

$Q_1$ est la plus petite note dont la cumulée atteint $25\,\%$. Or $F(9)=24\,\%<25\,\%$ et $F(10)=40\,\%\geq25\,\%$ : donc $Q_1=10$. De même $F(11)=60\,\%<75\,\%$ et $F(12)=76\,\%\geq75\,\%$ : $Q_3=12$.

Lecture : la moitié centrale des étudiants a entre $10$ et $12$. Une boîte à moustaches de cette classe serait très resserrée — deux points de largeur — avec des moustaches de $6$ à $18$.

⚠️ Prendre la médiane des valeurs distinctes. Les dix notes distinctes rangées ont pour « milieu » $11$ et $12$ — mais ce n'est pas la médiane de la série, où le $11$ est porté par cinq étudiants et le $18$ par un seul. La médiane se lit sur les effectifs cumulés, jamais sur la liste des valeurs.

⚠️ Confondre $F(9)=24\,\%<25\,\%$ avec « $Q_1=9$ ». La convention dit la plus petite valeur pour laquelle on atteint $25\,\%$ : à $9$ on n'y est pas encore, c'est $10$ qui franchit.

Tableau d'abord, calculs ensuite. Effectifs, fréquences, cumulées : les trois lignes répondent à la moyenne (somme des $n_ix_i$), à la médiane et aux quartiles (cumulées), aux proportions (cumulées et complémentaire).

Chaque individu pèse $\tfrac1n$. Avec $n=25$ c'est $4\,\%$ : tout se vérifie de tête, et une fréquence qui n'est pas un multiple de $4\,\%$ est une faute de calcul.

Avec $n=8$ (pair), la médiane est la demi-somme des $4^{\text{e}}$ et $5^{\text{e}}$ valeurs rangées.

Avec $n=9$, la médiane est la $5^{\text{e}}$ valeur rangée — quelle que soit la taille de la valeur ajoutée, pourvu qu'elle soit au-dessus.

La moyenne varie de $\tfrac{\text{valeur ajoutée}-\bar x}{n+1}$ : elle dépend de la valeur, la médiane seulement de son rang.

La moyenne dépend de toutes les valeurs, la médiane seulement de leur ordre. C'est la différence de nature entre les deux résumés, et cet exercice la fait mesurer : ajouter une valeur au-dessus de la médiane la décale d'un cran dans la liste rangée, que cette valeur soit $44$ ou $440$. La moyenne, elle, absorbe la valeur entière — et $440$ minutes de trajet, c'est plus que les huit autres réunis.

👉 La série est rangée dès l'énoncé : profites-en, la médiane se lit sans calcul.

Moyenne : $\bar x=\dfrac1n\sum x_i$.

Médiane, série rangée $x_{(1)}\leq\dots\leq x_{(n)}$ : si $n$ est pair, $\mathrm{Me}=\dfrac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}2$ ; si $n$ est impair, $\mathrm{Me}=x_{((n+1)/2)}$.

Ajouter une valeur $v$ à une série de moyenne $\bar x$ donne la nouvelle moyenne $\dfrac{n\bar x+v}{n+1}=\bar x+\dfrac{v-\bar x}{n+1}$.

$n=8$ est pair : les valeurs centrales sont la $4^{\text{e}}$ et la $5^{\text{e}}$, soit $18$ et $22$ :

La moyenne dépasse la médiane : la série est étalée à droite (les longs trajets $30$ et $35$ pèsent plus que les courts ne compensent).

Moyenne. $\bar x'=\dfrac{172+44}{9}=\dfrac{216}{9}=24$ min. Par la formule d'ajout : $21{,}5+\dfrac{44-21{,}5}{9}=21{,}5+2{,}5=24$ ✓.

Médiane. La série rangée devient $12,15,15,18,\mathbf{22},25,30,35,44$ ; $n=9$ impair, la médiane est la $5^{\text{e}}$ valeur : $22$.

La moyenne a gagné $2{,}5$ min, la médiane $2$ min — ici les deux bougent d'un ordre comparable, parce que $44$ n'est pas très éloigné des autres.

Moyenne. $\bar x''=\dfrac{172+440}{9}=\dfrac{612}{9}=68$ min. Le « trajet moyen » a triplé à cause d'un seul étudiant, et huit sur neuf sont largement en dessous.

Médiane. La série rangée est $12,15,15,18,\mathbf{22},25,30,35,440$ : la $5^{\text{e}}$ valeur est toujours $22$. Que le dernier vaille $44$ ou $440$ ne change pas qui est au milieu.

Pourquoi. La médiane ne « voit » de la valeur ajoutée que sa position (au-dessus ou au-dessous du centre) ; la moyenne la reçoit tout entière, divisée par $n+1$ : $\dfrac{440-21{,}5}{9}\approx46{,}5$ min d'augmentation.

Les trois moyennes se recoupent par la somme : $172$, $216=172+44$, $612=172+440$, divisées par $8$, $9$, $9$ — soit $21{,}5$, $24$ et $68$ ✓. Et pour la médiane, on peut vérifier la propriété « au moins la moitié de chaque côté » : avec $\mathrm{Me}''=22$, quatre valeurs sont strictement en dessous et quatre strictement au-dessus, la neuvième est la médiane elle-même ✓.

⚠️ Recalculer la médiane comme si $n$ était resté pair. Après ajout, $n=9$ : il n'y a plus deux valeurs centrales mais une seule. Prendre $\tfrac{18+22}2=20$ ou $\tfrac{22+25}2=23{,}5$ est faux.

⚠️ Croire que la médiane « ne bouge jamais ». Elle a bougé de $20$ à $22$ : ajouter une valeur au-dessus déplace le centre d'un demi-cran. Ce qui ne bouge pas, c'est sa sensibilité à la taille de la valeur ajoutée.

Une valeur extrême déplace la moyenne d'environ $\tfrac{v-\bar x}{n+1}$ et la médiane d'au plus un cran. C'est pourquoi on cite la médiane pour les temps, les salaires, les délais — toute série où quelques valeurs peuvent être énormes.

Avant de calculer une médiane : compter $n$, et ranger. Pair ou impair, la règle change.

Dix valeurs : la médiane est la demi-somme des $5^{\text{e}}$ et $6^{\text{e}}$.

Remplacer $2\,800$ par $12\,800$ ajoute $10\,000$ à la somme, donc $1\,000$ à la moyenne.

Le directeur reste la plus grande valeur : le rang des neuf autres n'a pas changé.

Les deux résumés sont exacts, et ils ne répondent pas à la même question. La moyenne divise la masse salariale par le nombre de personnes : c'est ce que coûte un salarié « en moyenne » à l'entreprise. La médiane est le salaire de la personne du milieu : c'est ce que gagne un salarié « typique ». Sur une série symétrique les deux coïncident ; dès qu'un salaire s'envole, elles se séparent — et chacun cite celle qui l'arrange.

👉 L'exercice chiffre l'écart : un seul salaire de $12\,800$ euros fait passer la moyenne de $2\,000$ à $3\,000$ euros sans toucher à la médiane.

La moyenne est le barycentre des valeurs : elle est sensible à chaque valeur, et une valeur extrême la déplace de $\dfrac{\Delta}{n}$ si $\Delta$ est la variation de cette valeur.

La médiane ne dépend que des rangs : remplacer la plus grande valeur par une valeur encore plus grande ne la change pas. On dit qu'elle est robuste.

Sur une série étalée à droite (salaires, patrimoines, durées), $\bar x>\mathrm{Me}$ ; la majorité des individus est sous la moyenne.

$n=10$, pair : la médiane est la demi-somme des $5^{\text{e}}$ et $6^{\text{e}}$ valeurs rangées, $1\,900$ et $2\,000$ :

Moyenne et médiane sont proches : la série est presque symétrique, à peine tirée vers le haut par le $2\,800$.

Moyenne. La somme gagne $12\,800-2\,800=10\,000$ : $\bar x'=\dfrac{20\,000+10\,000}{10}=3\,000$ euros. Un seul salaire a ajouté $1\,000$ euros à la moyenne de tout le monde.

Médiane. La série rangée est $1500,1600,1700,1800,\mathbf{1900},\mathbf{2000},2100,2200,2400,12800$ : les $5^{\text{e}}$ et $6^{\text{e}}$ valeurs sont les mêmes, donc $\mathrm{Me}'=1\,950$ euros.

Le directeur aurait pu gagner $100\,000$ euros : la médiane serait encore $1\,950$. Elle ne sait pas combien il gagne, seulement qu'il est au-dessus du milieu.

Les salaires inférieurs à $3\,000$ euros sont $1500,\dots,2400$ : neuf salariés sur dix, soit $90\,\%$. Le « salaire moyen » n'est atteint par personne sauf le directeur.

C'est le mécanisme général d'une série étalée à droite : la moyenne est tirée vers les grandes valeurs, et la majorité se retrouve en dessous d'elle. « La moitié des salariés gagnent moins que la moyenne » est faux en général — ici c'est $90\,\%$.

Les deux. $3\,000$ euros est bien la moyenne, $1\,950$ euros est bien la médiane : aucun des deux chiffres n'est faux. Ce qui diffère, c'est la question à laquelle chacun répond.

• La direction parle de masse salariale par tête : $3\,000\times10=30\,000$ euros de salaires versés chaque mois. C'est le point de vue du budget.
• Le syndicat parle du salarié typique : la moitié du personnel gagne au plus $1\,950$ euros. C'est le point de vue des personnes.

Un résumé honnête donne les deux, et dit pourquoi ils diffèrent : un salaire très élevé. Donner l'un sans l'autre, c'est choisir ce qu'on veut faire croire.

⚠️ Recalculer toute la somme quand une seule valeur change. $\bar x'=\bar x+\dfrac{12800-2800}{10}$ : la moyenne se met à jour par la variation, sans refaire l'addition — et c'est aussi ce qui montre d'où vient l'écart.

⚠️ Croire que la médiane « est » le salaire de quelqu'un. Ici $1\,950$ euros n'est le salaire de personne : avec $n$ pair, la médiane est une demi-somme. Ce qu'elle garantit, c'est que la moitié gagne au plus $1\,900$ et l'autre moitié au moins $2\,000$.

Salaires, délais, durées : citer la médiane, et donner la moyenne à côté. Leur écart mesure l'asymétrie ; un écart de $1\,050$ euros sur dix personnes signale une valeur hors norme, pas une « erreur ».

Une valeur extrême change la moyenne de $\tfrac{\Delta}{n}$ et la médiane de rien tant qu'elle reste du même côté du centre.

Le centre de $[a,b[$ est $\tfrac{a+b}2$ ; la moyenne estimée est $\tfrac1n\sum n_ic_i$.

Dans un histogramme, c'est l'aire qui représente l'effectif : hauteur $=$ fréquence $/$ largeur.

La classe médiane est celle où la fréquence cumulée franchit $50\,\%$ ; on y interpole linéairement.

Quand les classes n'ont pas la même largeur, la hauteur ment. Un histogramme représente un effectif par une aire ; si $[10,20[$ est deux fois plus large que $[5,10[$, un rectangle de même hauteur y contiendrait deux fois plus de clients. Tracer les effectifs en hauteur revient donc à gonfler visuellement les classes larges — ici $[10,20[$ et surtout $[20,40[$, qui s'étale sur la moitié de l'axe avec $4$ clients seulement.

👉 La correction consiste à diviser chaque fréquence par la largeur de sa classe : on obtient une densité, et l'aire de chaque rectangle redevient la fréquence.

Série groupée. On estime la moyenne par les centres : $\bar x\approx\dfrac1n\sum n_i\,c_i$ avec $c_i=\dfrac{a_i+b_i}2$.

Histogramme. Aire du rectangle de la classe $[a_i,b_i[$ proportionnelle à $n_i$. Hauteur $=$ densité de fréquence $\dfrac{f_i}{b_i-a_i}$ (ou effectif par unité, $\dfrac{n_i}{b_i-a_i}$). Avec des classes de même largeur, hauteur et effectif sont proportionnels et la question ne se pose pas.

Médiane d'une série groupée : classe $[a,b[$ où $F$ franchit $\tfrac12$, puis $\mathrm{Me}\approx a+(b-a)\dfrac{\frac12-F(a)}{F(b)-F(a)}$.

C'est une estimation : on a supposé que dans chaque classe les clients attendent en moyenne le temps du centre. Les vraies valeurs pourraient donner $10{,}2$ ou $11{,}3$ ; on ne le saura pas sans elles.

Hauteur $=$ fréquence divisée par la largeur :

Contrôle : la somme des aires vaut $0{,}05\times5+0{,}07\times5+0{,}03\times10+0{,}005\times20=0{,}25+0{,}35+0{,}30+0{,}10=1$ ✓ — l'aire totale d'un histogramme de densités est toujours $1$.

En effectifs par minute, c'est $2$ ; $2{,}8$ ; $1{,}2$ ; $0{,}2$ clients par minute d'attente : le graphique décroît après $[5,10[$, ce que le tracé en hauteur $=$ effectif masquait complètement.

En effectif, $[10,20[$ contient $12$ clients contre $14$ pour $[5,10[$ : presque autant. Mais $[10,20[$ est deux fois plus large. Par minute, elle porte $0{,}03$ contre $0{,}07$, soit $\tfrac{0{,}03}{0{,}07}=\tfrac37\approx43\,\%$ de la densité de $[5,10[$.

Autrement dit, entre $10$ et $20$ minutes il arrive moins de la moitié de clients par minute qu'entre $5$ et $10$. Le rectangle tracé en hauteur $=$ effectif faisait croire l'inverse.

Fréquences cumulées aux bornes : $F(5)=0{,}25$, $F(10)=0{,}60$, $F(20)=0{,}90$, $F(40)=1$. La cumulée franchit $0{,}5$ dans $[5,10[$ : c'est la classe médiane.

La médiane ($8{,}6$) est nettement sous la moyenne ($10{,}75$) : la longue classe $[20,40[$ tire la moyenne vers le haut — signature d'une série étalée à droite, comme presque tous les temps d'attente.

⚠️ Hauteur $=$ effectif avec des classes inégales. C'est l'erreur visée par tout l'exercice : elle multiplie visuellement l'importance de chaque classe par sa largeur. Le contrôle est immédiat — si l'aire totale des rectangles n'est pas $1$ (ou $n$), le graphique est faux.

⚠️ Prendre le centre de $[20,40[$ pour $20$. Le centre est $30$ ; avec $20$ la moyenne tombe à $9{,}75$. Sur une classe large, le choix du centre pèse lourd — c'est une raison de plus de se méfier des estimations sur classes inégales.

Histogramme : l'aire, jamais la hauteur. Classes égales, on trace les effectifs ; classes inégales, on trace les densités $\tfrac{f_i}{b_i-a_i}$, et l'aire totale vaut $1$.

Sur une série groupée, moyenne et médiane sont des estimations. Les dire comme telles, avec le symbole $\approx$.

$F(b_i)$ est la proportion de colis de masse $<b_i$ : on cumule les effectifs et on divise par $50$.

Le polygone joint les points $(b_i,F(b_i))$, en partant de $(0,0)$.

Dans la classe $[a,b[$ où $F$ franchit $p$ : $x_p\approx a+(b-a)\dfrac{p-F(a)}{F(b)-F(a)}$.

Le polygone des fréquences cumulées est une machine à lire les quantiles. On ne connaît pas les $50$ masses, seulement combien tombent dans chaque classe. Mais si l'on suppose les masses uniformément réparties à l'intérieur de chaque classe, la fréquence cumulée croît linéairement d'une borne à l'autre : c'est le polygone. Pour lire $Q_1$, on cherche où il coupe $25\,\%$ ; pour la médiane, $50\,\%$ ; pour $Q_3$, $75\,\%$.

👉 L'interpolation n'est rien d'autre que « lire sur la ligne droite » entre deux points connus.

Fréquence cumulée aux bornes : $F(b_k)=\dfrac{n_1+\dots+n_k}{n}$, avec $F(a_1)=0$ et $F(b_{\text{dernier}})=1$.

Interpolation linéaire dans $[a,b[$ : si $F(a)<p\leq F(b)$, le quantile d'ordre $p$ est estimé par $x_p\approx a+(b-a)\dfrac{p-F(a)}{F(b)-F(a)}$. Le quotient est la fraction de la classe qu'il faut parcourir pour atteindre $p$.

Ce sont des estimations ; la médiane réelle des $50$ masses peut différer.

Et $F(0)=0$. La cumulée passe $0{,}25$ entre $2$ et $4$, passe $0{,}50$ entre $4$ et $6$, passe $0{,}75$ entre $6$ et $8$ : voilà déjà les trois classes où se trouvent $Q_1$, $\mathrm{Me}$ et $Q_3$.

On place les points $(0,0)$, $(2,0{,}10)$, $(4,0{,}30)$, $(6,0{,}60)$, $(8,0{,}84)$, $(10,1)$ et on les joint par des segments. L'horizontale $50\,\%$ coupe le segment de $(4,0{,}30)$ à $(6,0{,}60)$ un peu au-delà de son milieu — le milieu du segment est à $F=0{,}45$, on est donc un peu plus loin : on lit $\mathrm{Me}\approx5{,}3$ kg. C'est ce que le calcul va confirmer.

$Q_1$, dans $[2,4[$ où $F$ passe de $0{,}10$ à $0{,}30$ :

Médiane, dans $[4,6[$ où $F$ passe de $0{,}30$ à $0{,}60$ :

$Q_3$, dans $[6,8[$ où $F$ passe de $0{,}60$ à $0{,}84$ :

Écart interquartile estimé : $7{,}25-3{,}5=3{,}75$ kg — la moitié centrale des colis pèse entre $3{,}5$ et $7{,}25$ kg.

Centres $1,3,5,7,9$ :

Moyenne $5{,}32$ et médiane $5{,}33$ : quasiment égales — la répartition est presque symétrique autour de $5$–$6$ kg (les classes $[2,4[$ et $[6,8[$ se répondent, $[0,2[$ et $[8,10[$ aussi, à peu près). Sur une série asymétrique on aurait vu un écart net, comme en A4.

⚠️ Interpoler avec les effectifs de la mauvaise classe. Le dénominateur $F(b)-F(a)$ est la fréquence de la classe où l'on interpole, pas la fréquence cumulée. Pour la médiane, c'est $0{,}30$ (la fréquence de $[4,6[$), pas $0{,}60$.

⚠️ Confondre $F(b_i)$ et $f_i$. Le polygone se trace avec les cumulées ; tracer les fréquences simples donne un polygone des fréquences (une courbe en cloche), sur lequel on ne lit aucun quantile.

Cumuler, tracer, lire. Les points $(b_i,F(b_i))$ reliés en ligne droite ; les horizontales $25\,\%$, $50\,\%$, $75\,\%$ ; l'abscisse de chaque intersection est le quantile estimé.

Interpolation $=$ « fraction de la classe à parcourir » : $\dfrac{p-F(a)}{F(b)-F(a)}$, multipliée par la largeur, ajoutée à la borne inférieure.

Ranger d'abord ; $n=10$ et $n=15$ ne donnent pas la médiane au même endroit.

L'étendue est $\max-\min$ : un premier indicateur de régularité, très sensible aux extrêmes.

Si $y=ax+b$ avec $a>0$ : $\bar y=a\bar x+b$ et $\mathrm{Me}_y=a\,\mathrm{Me}_x+b$.

Comparer, c'est mettre en regard une position ET une dispersion. L'atelier A produit plus en moyenne — mais il a aussi la journée exceptionnelle à $58$ pièces ; l'atelier B produit moins, mais ses journées se ressemblent davantage. Deux résumés au lieu d'un, et déjà la comparaison prend du sens. La question 3 ajoute la troisième idée du lot : une transformation affine croissante se transporte sur moyenne et médiane, sans qu'on ait à refaire les calculs.

Étendue $=\max-\min$. Médiane : $n=10$ (pair) $\Rightarrow$ demi-somme des $5^{\text{e}}$ et $6^{\text{e}}$ ; $n=15$ (impair) $\Rightarrow$ la $8^{\text{e}}$.

Transformation affine. Si $y_i=ax_i+b$ : $\bar y=\dfrac1n\sum(ax_i+b)=a\bar x+b$ (linéarité de la somme). Si de plus $a>0$, l'ordre des valeurs est conservé, donc $\mathrm{Me}_y=a\,\mathrm{Me}_x+b$.

La série est rangée. Somme $=40+42+44+45+45+46+48+50+52+58=470$, donc $\bar x_A=\dfrac{470}{10}=47$ pièces.

Médiane : $n=10$, demi-somme des $5^{\text{e}}$ et $6^{\text{e}}$ valeurs ($45$ et $46$) : $\mathrm{Me}_A=45{,}5$. Étendue : $58-40=18$.

Somme $=30+33+38+38+39+39+41+42+42+43+45+48+49+51+52=630$, donc $\bar x_B=\dfrac{630}{15}=42$ pièces.

Médiane : $n=15$, la $8^{\text{e}}$ valeur rangée : $30,33,38,38,39,39,41,\mathbf{42},\dots$ soit $\mathrm{Me}_B=42$. Étendue : $52-30=22$.