Exercices corrigés — Réels, suites & séries numériques

Diviser numérateur et dénominateur par $n$ pour lire la limite.

$\ell-u_n=\dfrac{2(n+3)-(2n+1)}{n+3}$ : le numérateur est une constante.

Résoudre $\dfrac{5}{n+3}<\varepsilon$ en $n$ ; le rang $N$ dépend de $\varepsilon$, c'est normal.

La définition de la limite n'est pas une formule à réciter : c'est un contrat. Quelqu'un te donne une marge $\varepsilon$, aussi petite qu'il veut ; tu dois lui rendre un rang $N$ à partir duquel tous les termes tiennent dans la marge. Si tu sais toujours répondre, la suite converge.

Sur $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$, trois valeurs suffisent pour deviner vers quoi elle va :

La suite monte vers $2$ par en dessous, et de plus en plus lentement. La conjecture est $\ell=2$ : pour $n$ grand, $2n+1\approx2n$ et $n+3\approx n$, donc $u_n\approx\dfrac{2n}{n}=2$.

👉 Mais « $\approx$ » n'est pas une preuve. Ce que la définition exige, c'est de contrôler l'écart $\lvert u_n-2\rvert$ — et la bonne nouvelle est qu'ici il se calcule exactement.

Deux informations dans cette ligne :

• $2-u_n>0$ pour tout $n$ : la suite est strictement inférieure à $2$, elle ne l'atteint jamais — ce qui confirme la lecture du tableau ;
• l'écart vaut $\dfrac5{n+3}$, qui tend vers $0$ : c'est exactement ce qu'il faut rendre plus petit que $\varepsilon$.

Pour $\varepsilon=10^{-2}$. On veut $\dfrac{5}{n+3}<\dfrac1{100}$, c'est-à-dire $n+3>500$, soit $n>497$. Le rang $N=498$ convient :

Et $497$ ne convient pas : $\dfrac5{500}=\dfrac1{100}$ exactement, l'inégalité stricte échoue. Le rang $N=498$ est le plus petit possible — la preuve n'en a pas besoin, mais le savoir montre qu'on a compris le mécanisme.

Pour $\varepsilon$ quelconque. Même calcul : $\dfrac5{n+3}<\varepsilon\iff n>\dfrac5\varepsilon-3$. On pose donc

et pour $n\geq N$ on a $n+3>\dfrac5\varepsilon$, donc $\lvert u_n-2\rvert=\dfrac5{n+3}<\varepsilon$. C'est toute la démonstration : un $\varepsilon$ arbitraire, un $N$ explicite, une inégalité vérifiée. $\blacksquare$

Avec $\varepsilon=10^{-3}$, la même formule donne $N=4998$ : diviser la marge par $10$ multiplie le rang par $10$. C'est la signature d'une convergence lente, en $\tfrac1n$.

Définition. $u_n\to\ell$ signifie : pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\geq N$, $\lvert u_n-\ell\rvert<\varepsilon$.

L'ordre des quantificateurs porte tout le sens : $\varepsilon$ est donné avant $N$, et $N$ a le droit de dépendre de $\varepsilon$. Un rang qui marcherait pour tous les $\varepsilon$ à la fois n'existe que pour une suite constante à partir d'un certain rang.

Unicité. Si $u_n\to\ell$ et $u_n\to\ell'$, alors $\ell=\ell'$ : pour $n$ grand, $u_n$ est à moins de $\varepsilon$ de chacune, donc $\lvert\ell-\ell'\rvert<2\varepsilon$ pour tout $\varepsilon$.

⚠️ Prendre $N$ avant $\varepsilon$, en écrivant « il existe $N$ tel que pour tout $\varepsilon$… ». Cette phrase dit que $u_n$ est égal à $\ell$ pour $n\geq N$, ce qui est faux ici — $u_n<2$ toujours. L'ordre « pour tout $\varepsilon$, il existe $N$ » est le seul qui décrive une convergence.

⚠️ Conclure du tableau. Trois valeurs qui s'approchent de $2$ ne prouvent rien : $u_n=2-\dfrac5{n+3}+\dfrac{n}{10^6}$ donnerait le même tableau jusqu'à $n=1000$ et diverge. La preuve tient dans le contrôle de $\lvert u_n-\ell\rvert$ pour tout $n\geq N$, pas dans quelques valeurs.

La preuve d'une limite par la définition suit toujours le même chemin : calculer $\lvert u_n-\ell\rvert$, le majorer par une expression simple qui tend vers $0$, puis résoudre « expression $<\varepsilon$ » en $n$ pour exhiber le rang.

Le rang $N(\varepsilon)$ mesure la vitesse. Ici $N\approx\dfrac5\varepsilon$ : une décimale de plus coûte dix fois plus de termes. Pour une suite géométrique, une décimale de plus ne coûte qu'un nombre fixe de termes — c'est ce qu'on compare dans l'exercice E5.

Forme $\tfrac\infty\infty$ : factoriser le terme de plus haut degré en haut et en bas.

Forme $\infty-\infty$ : multiplier par la quantité conjuguée $\sqrt{n^2+n}+n$.

Forme $\infty\times0$ : poser $h=\tfrac1n\to0$ et reconnaître $\dfrac{\sin h}{h}$.

Une forme indéterminée n'est pas une impasse : c'est un signal qu'il faut réécrire avant de passer à la limite. Les trois suites de l'énoncé sont les trois formes qu'on rencontre le plus, et chacune a son geste :

👉 Dans les trois cas, l'idée est la même : mettre en évidence ce qui compte quand $n$ est grand, et faire tendre le reste vers $0$.

Chaque terme entre parenthèses tend vers sa constante ($\tfrac1n\to0$, $\tfrac1{n^2}\to0$), et le quotient de deux limites non nulles est la limite du quotient.

Contrôle : $u_{10}=\dfrac{291}{205}\approx1{,}420$ et $u_{100}=\dfrac{29\,901}{20\,005}\approx1{,}495$ — l'approche de $1{,}5$ se voit, et l'écart décroît en $\tfrac1n$ (le terme $-\tfrac1n$ du numérateur).

Écrire $\sqrt{n^2+n}\approx n$ ne suffit pas — la différence de deux quantités équivalentes peut tendre vers n'importe quoi. On multiplie et divise par le conjugué :

La forme indéterminée a disparu au numérateur ; il reste un $\tfrac\infty\infty$ qu'on traite comme en 1, en factorisant $n$ sous la racine :

Contrôle : $v_1=\sqrt2-1\approx0{,}4142$, $v_{10}\approx0{,}4881$, $v_{100}\approx0{,}4988$. Trois valeurs qui montent vers $0{,}5$, à un écart qui se divise par $10$ quand $n$ est multiplié par $10$.

ℹ️ Le même geste sur $\sqrt{n+1}-\sqrt n$ donne $\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0$ : même forme $\infty-\infty$, limite différente. C'est bien pour ça qu'il faut calculer.

On pose $h=\dfrac1n$, qui tend vers $0^+$ quand $n\to\infty$ :

Or $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$ : c'est le taux d'accroissement de $\sin$ en $0$, c'est-à-dire $\sin'(0)=\cos0=1$. Donc

Contrôle : $w_{10}=10\sin(0{,}1)\approx0{,}9983$ — déjà à $2\times10^{-3}$ de $1$. La convergence est rapide parce que $\sin h=h-\tfrac{h^3}6+\dots$ : l'écart à $1$ vaut environ $\tfrac{h^2}6=\tfrac1{6n^2}$, soit $\tfrac1{600}$ pour $n=10$ ✓.

Opérations sur les limites. Si $u_n\to\ell$ et $v_n\to\ell'$ : $u_n+v_n\to\ell+\ell'$, $u_nv_n\to\ell\ell'$, et $\dfrac{u_n}{v_n}\to\dfrac\ell{\ell'}$ si $\ell'\neq0$.

Formes indéterminées : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\tfrac\infty\infty$, $\tfrac00$ (et $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ pour les puissances). Elles ne se lisent pas, elles se transforment.

Réflexes : dominant en facteur (polynômes, racines), quantité conjuguée (différence de racines), $h=\tfrac1n$ (fonction d'un infiniment petit), croissances comparées (exponentielle contre puissance).

⚠️ Remplacer par un équivalent dans une différence. « $\sqrt{n^2+n}\sim n$, donc $v_n\sim n-n=0$ » est faux : on ne peut pas soustraire des équivalents. La limite est $\tfrac12$, pas $0$. Les équivalents se multiplient et se divisent ; ils ne s'ajoutent pas.

⚠️ Lire $n\sin(\tfrac1n)$ comme « $\infty\times0=0$ ». Le produit d'un infiniment grand par un infiniment petit n'a pas de valeur par défaut : ici $1$, ailleurs $0$ ($n\sin\tfrac1{n^2}$), ailleurs $+\infty$ ($n^2\sin\tfrac1n$).

Trois formes, trois gestes, et le geste se choisit AVANT de calculer. Un $\tfrac\infty\infty$ appelle la factorisation, un $\infty-\infty$ avec racines appelle le conjugué, une fonction d'un infiniment petit appelle $h=\tfrac1n$.

Chaque résultat se contrôle par une valeur numérique. $u_{100}\approx1{,}495$, $v_{100}\approx0{,}4988$, $w_{10}\approx0{,}9983$ : ce sont ces trois nombres qui disent que $\tfrac32$, $\tfrac12$ et $1$ ne sont pas des erreurs de signe ou de facteur $2$.

$-1\leq\cos n\leq1$ : encadrer $u_n$ entre $-\tfrac1n$ et $\tfrac1n$.

Chaque terme de la somme est entre $\dfrac1{n^2+n}$ (le plus petit) et $\dfrac1{n^2+1}$ (le plus grand), et il y a $n$ termes.

$x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$ pour tout réel $x$ ; appliquer à $x=n\sqrt2$ puis diviser par $n$.

Le théorème des gendarmes sert quand on ne sait pas calculer $u_n$ — mais qu'on sait l'encadrer. Un $\cos n$ dont on ignore la valeur, une somme sans forme close, une partie entière : trois objets qu'on ne peut pas « simplifier », et trois cas où l'encadrement remplace le calcul.

La logique est toujours la même : trouver $a_n\leq u_n\leq b_n$ avec $a_n$ et $b_n$ qui tendent vers la même limite. Coincé entre deux gendarmes qui vont au même endroit, $u_n$ y va aussi.

On ne sait rien de $\cos n$ — sauf qu'il est dans $[-1,1]$. C'est suffisant :

La forme à retenir est plus courte encore : $\lvert u_n\rvert\leq\dfrac1n\to0$, donc $u_n\to0$. Une suite majorée en valeur absolue par une suite qui tend vers $0$ tend vers $0$. Le signe de $\cos n$, sa valeur exacte, ses oscillations : rien de tout cela ne compte.

$v_n=\dfrac1{n^2+1}+\dfrac1{n^2+2}+\dots+\dfrac1{n^2+n}$ est une somme de $n$ termes, et aucune formule ne la simplifie. Mais ses termes sont rangés : le plus grand est le premier, $\dfrac1{n^2+1}$, le plus petit est le dernier, $\dfrac1{n^2+n}$. Donc

Les deux gendarmes tendent vers $0$ ($\tfrac1{n+1}\to0$, et $\tfrac{n}{n^2+1}=\tfrac1{n+1/n}\to0$).

Contrôle numérique ($n=10$) : $v_{10}=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\frac1{100+k}\approx0{,}0949$, encadré par $\tfrac{10}{110}\approx0{,}0909$ et $\tfrac{10}{101}\approx0{,}0990$ ✓. L'encadrement est serré : les deux bornes ne diffèrent que de $10\,\%$, ce qui n'est pas nécessaire au théorème mais rassure sur le calcul.

L'outil est l'encadrement fondamental de la partie entière : pour tout réel $x$,

Avec $x=n\sqrt2$, puis en divisant par $n>0$ :

Le gendarme de gauche tend vers $\sqrt2$, celui de droite est $\sqrt2$.

Contrôle : $w_{10}=\dfrac{\lfloor14{,}14\rfloor}{10}=\dfrac{14}{10}=1{,}4$ et $w_{100}=\dfrac{141}{100}=1{,}41$. Ce sont les valeurs approchées décimales par défaut de $\sqrt2$ : la suite $(w_{10^k})$ égrène les décimales de $\sqrt2$ une par une. C'est exactement le mécanisme de l'exercice E2.

Théorème des gendarmes. Si $a_n\leq u_n\leq b_n$ à partir d'un certain rang et si $a_n\to\ell$ et $b_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$.

Corollaire (le plus utilisé) : si $\lvert u_n\rvert\leq b_n$ avec $b_n\to0$, alors $u_n\to0$.

Variante infinie : si $u_n\geq a_n$ et $a_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$ — un seul gendarme suffit pour aller à l'infini.

Pour une somme de $n$ termes, l'encadrement standard est « $n$ fois le plus petit $\leq$ somme $\leq$ $n$ fois le plus grand ».

⚠️ Passer à la limite terme à terme dans une somme dont le nombre de termes grandit. « Chaque $\dfrac1{n^2+k}$ tend vers $0$, donc $v_n\to0$ » n'est pas un argument : $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1n$ a aussi des termes qui tendent vers $0$, et vaut $1$ pour tout $n$. Ce qui décide, c'est l'encadrement de la somme entière.

⚠️ Écrire $\lfloor n\sqrt2\rfloor\approx n\sqrt2$ sans borne. L'approximation est vraie, mais la preuve exige l'inégalité $x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$ — c'est elle qui donne le gendarme de gauche.

Les gendarmes remplacent un calcul impossible par deux calculs possibles. On n'a pas besoin de connaître $u_n$, seulement de le coincer.

Trois encadrements à connaître par cœur : $-1\leq\cos,\sin\leq1$ ; $x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$ ; et pour une somme, « nombre de termes fois le plus petit / le plus grand ».

Un encadrement se contrôle numériquement : si $v_{10}$ n'était pas entre $0{,}0909$ et $0{,}0990$, c'est l'encadrement qui serait faux, pas le théorème.

$u_{n+1}-u_n$ est le terme ajouté : quel est son signe ?

$k!=1\times2\times3\times\dots\times k$ : chacun des $k-1$ facteurs après le $1$ vaut au moins $2$.

Remplacer chaque $\dfrac1{k!}$ par $\dfrac1{2^{k-1}}$ et sommer la série géométrique obtenue.

On va prouver qu'une suite converge sans savoir vers quoi. C'est le rôle du théorème de la limite monotone : il donne l'existence de la limite, jamais sa valeur. Et c'est très souvent tout ce qu'on peut faire — ici la limite est $e$, mais rien dans l'exercice ne permet de le démontrer.

Le plan est celui de toutes les preuves de ce type :

1. la suite monte (croissante) ;
2. elle ne peut pas dépasser un plafond (majorée) ;
3. donc elle converge — vers quelque chose sous le plafond.

La seule difficulté réelle est l'étape 2 : trouver un plafond. On y arrive en comparant $\dfrac1{k!}$ à une suite géométrique, qu'on sait sommer.

Passer de $u_n$ à $u_{n+1}$, c'est ajouter $\dfrac1{(n+1)!}$, strictement positif. La suite est strictement croissante. $\blacksquare$

Les premières valeurs le confirment : $u_0=1$, $u_1=2$, $u_2=\tfrac52=2{,}5$, $u_3=\tfrac83\approx2{,}6667$, $u_5=\tfrac{163}{60}\approx2{,}7167$. Elle monte, et chaque marche est plus petite que la précédente.

Le lemme. Pour $k\geq1$, $k!=1\times2\times3\times\dots\times k$ contient $k-1$ facteurs supérieurs ou égaux à $2$ (tous sauf le $1$), donc

(Égalité pour $k=1$ et $k=2$, inégalité stricte dès $k=3$ : $6>4$.) Par passage à l'inverse, $\dfrac1{k!}\leq\dfrac1{2^{k-1}}$.

Le plafond. On garde le terme $k=0$ à part et on majore les autres :

La parenthèse est une somme géométrique de raison $\tfrac12$ : elle vaut $\dfrac{1-2^{-n}}{1-\frac12}=2\left(1-2^{-n}\right)=2-2^{1-n}$. Donc

Le majorant $3$ est confortable : la vraie limite est $e\approx2{,}718$. Un majorant n'a pas besoin d'être serré, il a besoin d'être prouvé.

$(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : par le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite $\ell$, et $\ell\leq3$.

Comme la suite est croissante, chaque terme est en dessous de la limite : $u_5\leq\ell$. D'où

ℹ️ Cette limite est le nombre $e$ : $u_{10}\approx2{,}7182818$ en donne déjà sept décimales. L'exercice E2 montre comment contrôler l'erreur $e-u_n$ pour obtenir une précision voulue — mais l'identification $\ell=e$ demande la définition de $e$ (par $\ln$ ou par $\left(1+\tfrac1n\right)^n$), qui n'est pas au programme de cet exercice. Ce qu'on a prouvé ici, c'est l'existence, et c'est déjà tout un théorème.

Théorème de la limite monotone. Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

Pourquoi c'est vrai (admis à ce palier) : la limite est la borne supérieure de l'ensemble des termes, qui existe par la propriété fondamentale de $\mathbb{R}$. Sur $\mathbb{Q}$, l'énoncé serait faux — la suite de Héron (exercice B4) est croissante-décroissante-bornée dans $\mathbb{Q}$ et n'y a pas de limite.

Ce qu'il donne et ne donne pas : l'existence de $\ell$, et l'encadrement $u_n\leq\ell\leq M$ (croissante, majorant $M$). Pas la valeur.

⚠️ « Les termes ajoutés tendent vers $0$, donc la suite converge. » Faux : $H_n=1+\tfrac12+\dots+\tfrac1n$ ajoute des termes qui tendent vers $0$ et tend vers $+\infty$ (exercice E6). La croissance ne suffit jamais ; il faut le plafond.

⚠️ Confondre majorant et limite. $u_n<3$ ne dit pas que la limite vaut $3$ — elle vaut $e\approx2{,}718$. Le majorant borne, la limite est ce vers quoi on tend ; ils coïncident seulement quand le majorant est la borne supérieure.

Existence d'abord, valeur ensuite — et parfois jamais. Le théorème de la limite monotone est l'outil des suites définies par une somme ou une récurrence, où la limite ne se calcule pas directement.

Un majorant se fabrique par comparaison : ici $\tfrac1{k!}\leq\tfrac1{2^{k-1}}$ ramène à une géométrique. C'est le même réflexe que pour les séries à termes positifs (approfondissement, lot C).

Croissante et majorée par $M$ donne un encadrement gratuit : $u_n\leq\ell\leq M$ pour tout $n$.

$b_{n+1}-b_n=\dfrac1{(n+1)^2}+\dfrac1{n+1}-\dfrac1n$ : réduire au même dénominateur $n(n+1)^2$.

Adjacentes = l'une croît, l'autre décroît, leur différence tend vers $0$. Ici $b_n-a_n=\dfrac1n$.

Pour tout $n$, $a_n\leq\ell\leq b_n$ : l'amplitude de l'encadrement est $b_n-a_n=\tfrac1n$.

Deux suites adjacentes, c'est un étau qui se resserre sur un nombre. L'une monte, l'autre descend, l'écart entre elles fond : elles ne peuvent que se rejoindre, et le point de rencontre est encadré par chaque couple $(a_n,b_n)$.

C'est plus fort que le théorème de la limite monotone seul : celui-ci donne l'existence de la limite de $(a_n)$, mais aucun moyen de la situer. Avec la suite $(b_n)$ qui descend dessus, on a une précision — et on la choisit.

Ici $a_n=1+\tfrac14+\tfrac19+\dots+\tfrac1{n^2}$ est une somme qu'on ne sait pas calculer (sa limite est $\tfrac{\pi^2}6$, un résultat d'Euler, admis ici et recoupé numériquement dans l'exercice D4). Mais on sait l'encadrer à $10^{-2}$ près sans rien connaître de $\pi$.

$(a_n)$ croît : $a_{n+1}-a_n=\dfrac1{(n+1)^2}>0$. Chaque terme ajoute une quantité positive.

$(b_n)$ décroît : c'est la seule ligne de calcul de l'exercice.

Au dénominateur commun $n(n+1)^2$ :

Le numérateur se réduit à $-1$ : tout se simplifie sauf ce signe. $(b_n)$ est strictement décroissante. $\blacksquare$

👉 L'idée derrière ce choix de $b_n$ : en ajoutant $\tfrac1n$ à $a_n$, on ajoute plus que ce que la somme gagnera jamais ($\tfrac1{(n+1)^2}+\tfrac1{(n+2)^2}+\dots<\tfrac1n$), donc $b_n$ est un majorant de la limite — et il descend.

Il reste la troisième condition : $b_n-a_n=\dfrac1n\to0$. Les trois conditions sont réunies :

Théorème des suites adjacentes : $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers une même limite $\ell$, et pour tout $n$,

Pourquoi l'encadrement ? $(a_n)$ croît vers $\ell$ donc $a_n\leq\ell$ ; $(b_n)$ décroît vers $\ell$ donc $b_n\geq\ell$. Et pourquoi la même limite ? Parce que $\ell_b-\ell_a=\lim(b_n-a_n)=0$.

L'amplitude de l'encadrement $[a_n,b_n]$ est $b_n-a_n=\dfrac1n$. Pour une amplitude $10^{-2}$, il suffit de prendre $n=100$ :

Contrôle : la valeur exacte est $\ell=\dfrac{\pi^2}6\approx1{,}6449$ (admis, cf. D4). Elle est bien dans l'intervalle — tout près de la borne haute. Ce n'est pas un hasard : $b_n$ est un bien meilleur approximant que $a_n$, parce que le « surplus » $\tfrac1n$ compense presque exactement le reste de la série (exercice C3 : le reste est entre $\tfrac1{n+1}$ et $\tfrac1n$).

Suites adjacentes. $(a_n)$ croissante, $(b_n)$ décroissante, $b_n-a_n\to0$. Alors elles convergent vers la même limite $\ell$, et $a_n\leq\ell\leq b_n$ pour tout $n$.

Preuve : $b_n-a_n$ est décroissante et tend vers $0$, donc positive : $a_n\leq b_n\leq b_0$. La suite $(a_n)$ est croissante et majorée par $b_0$, donc converge ; de même $(b_n)$ décroît et est minorée par $a_0$. La différence des limites est $\lim(b_n-a_n)=0$.

Usage : encadrer un nombre qu'on ne sait pas calculer ($\pi$, $e$, une somme de série), avec une précision choisie à l'avance.

⚠️ Oublier la troisième condition. $a_n=-\tfrac1n$ et $b_n=1+\tfrac1n$ sont l'une croissante, l'autre décroissante, et ne sont pas adjacentes : leur différence tend vers $1$, elles convergent vers $0$ et $1$. Les deux monotonies ne font pas un étau ; c'est $b_n-a_n\to0$ qui le referme.

⚠️ Croire que $b_n$ décroît « parce qu'on retire $\tfrac1n$ ». On n'a rien retiré : $b_n=a_n+\tfrac1n$, on ajoute une quantité qui diminue. La décroissance est un fait de calcul, le signe de $-\tfrac1{n(n+1)^2}$, pas une évidence.

Adjacentes = encadrement à précision choisie. L'amplitude $b_n-a_n$ dit à quel rang s'arrêter : ici $\tfrac1n\leq10^{-2}$ dès $n=100$.

Le bon $b_n$ s'obtient en ajoutant à $a_n$ un majorant du reste. C'est la recette générale pour encadrer la somme d'une série à termes positifs — le lot C la systématise avec la comparaison série-intégrale.

Vérifier le calcul de $b_{n+1}-b_n$ jusqu'au bout : quand tout se simplifie en $-1$ au numérateur, c'est que le $b_n$ était bien choisi.

Cinq cas pour $q^n$ : $q>1$, $q=1$, $-1<q<1$, $q=-1$, $q<-1$.

Hiérarchie des croissances : $\ln n\ll n^\alpha\ll a^n\ll n!$. Le quotient « petit sur grand » tend vers $0$.

$\ln\left[(1+\tfrac1n)^n\right]=n\ln(1+\tfrac1n)$, et $\ln(1+x)\sim x$ en $0$.