Exercices corrigés — Dérivation & étude de fonctions

Dérive $f$, puis évalue en $2$.

$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente.

Équation : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=2$.

$f'(x)=2x-3$.

$f'(2)=4-3=1$ (pente de la tangente).

$f(2)=4-6+1=-1$, donc $A(2,-1)$.

$y=1\cdot(x-2)+(-1)=x-3$.

Produit : $(uv)'=u'v+uv'$.

$u=x^2$, $v=e^x$.

Factorise le résultat.

$u=x^2$ ($u'=2x$), $v=e^x$ ($v'=e^x$).

$f'(x)=2x\,e^x+x^2 e^x$.

$f'(x)=x(x+2)e^x$.

Quotient : $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

$u=\ln x$, $v=e^x$.

Simplifie par $e^x$.

$u=\ln x$ ($u'=\tfrac1x$), $v=e^x$ ($v'=e^x$).

$f'(x)=\dfrac{\tfrac1x e^x-\ln x\,e^x}{(e^x)^2}$.

$=\dfrac{\tfrac1x-\ln x}{e^x}$.

$f'(x)=\dfrac{1-x\ln x}{x\,e^x}$.

Composée $\exp\circ u$ avec $u=x^2$.

$(e^u)'=u'e^u$.

$u'=2x$.

Extérieure $\exp$, intérieure $u=x^2$.

$(e^u)'=u'\,e^u$.

$f'(x)=2x\,e^{x^2}$.

Composée $\ln\circ u$ avec $u=x^3+1$.

$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$.

$u'=3x^2$.

Extérieure $\ln$, intérieure $u=x^3+1$ (positive sur l'intervalle).

$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$.

$f'(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}$.

Produit $u\cdot v$ avec $u=x$, $v=\cos(2x)$.

$v$ est une composée : $\left(\cos(2x)\right)'=-2\sin(2x)$.

Assemble avec $(uv)'=u'v+uv'$.

Produit $u=x$ ($u'=1$), $v=\cos(2x)$.

$v'=-2\sin(2x)$.

$f'(x)=\cos(2x)+x(-2\sin(2x))$.

$f'(x)=\cos(2x)-2x\sin(2x)$.

Dérive $f$.

$f'$ est affine : résous $f'(x)=0$ puis détermine le signe.

$f'>0\Rightarrow f$ croît ; $f'<0\Rightarrow f$ décroît.

$f'(x)=2x-4$.

$f'(x)=0\iff x=2$.

$f'<0$ sur $]-\infty;2[$, $f'>0$ sur $]2;+\infty[$.

$f$ décroît puis croît, minimum en $x=2$.

$f'$ sera du second degré.

Factorise $f'$ pour étudier son signe.

Dérivée du 2nd degré à coeff dominant positif : positive à l'extérieur des racines.

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.

$x=-1$ ou $x=1$.

$f'>0$ sur $]-\infty;-1[$, $f'<0$ sur $]-1;1[$, $f'>0$ sur $]1;+\infty[$.

Max local en $-1$ ($f(-1)=2$), min local en $1$ ($f(1)=-2$).

Dérive et factorise $f'$.

Racines de $f'$, signe.

Calcule $f$ aux racines de $f'$.

Précise les limites en $\pm\infty$.

$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$.

$f'>0$ sur $]-\infty;1[$, $f'<0$ sur $]1;2[$, $f'>0$ sur $]2;+\infty[$.

$f(1)=5$ (max local), $f(2)=4$ (min local).

$\lim_{-\infty}f=-\infty$, $\lim_{+\infty}f=+\infty$.

Croît jusqu'à $5$ en $1$, décroît jusqu'à $4$ en $2$, puis croît.

Minimiser $S$ : dérive et cherche $S'=0$.

$S'(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}$.

Résous $S'(x)=0$ pour $x>0$ ; vérifie que c'est un minimum.

$S'(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}$ (sur $x>0$).

$2x^3=128\iff x^3=64\iff x=4$.

$S'<0$ avant 4, $S'>0$ après : minimum en $x=4$.

Surface minimale en $x=4$ cm : $S(4)=16+32=48\,\text{cm}^2$.

Dérive par la formule du quotient.

Le dénominateur $(x^2+1)^2>0$ : le signe de $f'$ est celui du numérateur.

Le numérateur est du second degré.

$f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.

Signe de $f'$ = signe de $1-x^2=(1-x)(1+x)$.

$f$ décroît sur $]-\infty;-1]$, croît sur $[-1;1]$, décroît sur $[1;+\infty[$.

Min en $-1$ ($f(-1)=-\tfrac12$), max en $1$ ($f(1)=\tfrac12$).

Tangente horizontale $\iff f'(x)=0$.

Dérive $f$ (produit, $e^{-x}$ composée).

$e^{-x}$ ne s'annule jamais : seul un facteur peut annuler $f'$.

$f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$.

$e^{-x}>0$, donc $f'(x)=0\iff x=1$.

Une seule solution : tangente horizontale unique.

$f(1)=\tfrac1e$, point $\left(1;\tfrac1e\right)$ (maximum).

Dérive terme à terme avec $(x^n)'=nx^{n-1}$.

Calcule $f'(1)$ (pente) et $f(1)$ (ordonnée du point de tangence).

Équation : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=1$.

$f'(x)=3x^2-2$.

$f'(1)=3-2=1$.

$f(1)=1-2+1=0$, donc $A(1;0)$.

$y=1\cdot(x-1)+0=x-1$.

Quotient : $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u=3x-1$, $v=x+2$.

Simplifie le numérateur : il devient constant.

Tangente : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

$u=3x-1$ ($u'=3$), $v=x+2$ ($v'=1$).

$f'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{7}{(x+2)^2}$.

$f'(0)=\dfrac{7}{4}$ et $f(0)=-\dfrac12$.

$y=\dfrac74 x-\dfrac12$.

Composée $\sqrt u$ avec $u=x^2+9$.

$\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ avec $u'=2x$.

Pour $f'(4)$ : calcule d'abord $\sqrt{16+9}$.

Extérieure $\sqrt{\ }$, intérieure $u=x^2+9$ (toujours positive).

$f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.

$f'(4)=\dfrac{4}{\sqrt{25}}=\dfrac45$.

Produit $u\cdot v$ avec $u=x+2$ et $v=e^{-x}$ (composée : $v'=-e^{-x}$).

Factorise par $e^{-x}$ : le signe de $f'$ est celui de l'autre facteur.

$e^{-x}>0$ pour tout $x$.

$f'(x)=e^{-x}+(x+2)(-e^{-x})$.

$f'(x)=e^{-x}\big(1-(x+2)\big)=-(x+1)e^{-x}$.

$e^{-x}>0$ : $f'>0$ sur $]-\infty;-1[$, $f'<0$ sur $]-1;+\infty[$.

$f$ croît puis décroît : maximum en $x=-1$.

$f(-1)=(-1+2)e^{1}=e$.

Dérive : $(\ln x)'=\dfrac1x$.

Mets $f'$ au même dénominateur et factorise le numérateur.

Sur $]0;+\infty[$, seul le facteur $x-2$ change de signe.

$f'(x)=2x-\dfrac8x=\dfrac{2x^2-8}{x}$.

$f'(x)=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}$.

Sur $]0;+\infty[$, $x>0$ et $x+2>0$ : signe de $f'$ = signe de $x-2$.

$f$ décroît sur $]0;2]$, croît sur $[2;+\infty[$ : minimum en $x=2$.

$f(2)=4-8\ln2$.

Développe $A(x)$ puis dérive.

Résous $A'(x)=0$ sur $]0;20[$.

Vérifie le changement de signe de $A'$ pour justifier le maximum.

$A(x)=40x-2x^2$, donc $A'(x)=40-4x$.

$A'(x)=0\iff x=10$ (bien dans $]0;20[$).

$A'>0$ sur $]0;10[$, $A'<0$ sur $]10;20[$ : maximum en $x=10$.

$A(10)=10\times20=200\,\text{m}^2$.