Exercices corrigés — Réduction de Jordan

$N=J-2I$ a des $1$ sur la surdiagonale.

Calculer $N^2$ puis $N^3$.

$E_2=\ker N$ ; sa dimension $=3-\operatorname{rg}N$.

Un bloc de Jordan $J_3(2)$ est une matrice diagonale de $2$ à laquelle on a ajouté une diagonale de $1$ juste au-dessus. Ces $1$ changent tout : ils empêchent la matrice d'être diagonalisable, et ce sont eux qui donnent au bloc sa structure.

Deux nombres décrivent cette structure, et il faut bien les distinguer.

• L'indice de nilpotence de $N=J-2I$ : le plus petit $p$ tel que $N^p=0$. Il mesure combien de fois on peut appliquer $N$ avant que tout s'écrase.
• La dimension de $E_2=\ker(J-2I)$, le sous-espace propre : combien de vecteurs propres indépendants la matrice possède réellement pour la valeur propre $2$.

L'intuition à garder : $N$ est une machine à décaler. Elle pousse chaque vecteur de base d'un cran vers la gauche, et le dernier tombe dans le vide.

Lisons-la colonne par colonne, en notant $e_1,e_2,e_3$ la base canonique. La $j$-ième colonne de $N$ donne $N e_j$ :

C'est exactement le décalage annoncé :

Cette chaîne est la clé de tout le chapitre. Sa longueur, ici $3$, est la taille du bloc.

Calculons les puissances successives, en réutilisant le décalage plutôt qu'en multipliant des matrices à l'aveugle. Appliquer $N$ deux fois décale de deux crans :

d'où

Trois crans, et il ne reste plus rien : $N^3 e_3=N e_1=0$, et les deux autres étaient déjà nuls. Donc

L'indice de nilpotence vaut $3$ : c'est la longueur de la chaîne, donc la taille du bloc.

$E_2=\ker N$. Résolvons $N x=0$ avec $x=(x_1,x_2,x_3)$ :

Le noyau est donc $\{(x_1,0,0)\}=\mathrm{Vect}(e_1)$ :

Un seul vecteur propre (à multiple près) pour une valeur propre de multiplicité $3$. C'est précisément ce qui empêche la diagonalisation : il faudrait $3$ vecteurs propres indépendants pour former une base, on n'en a qu'un.

On peut aussi le lire par le rang : les colonnes $2$ et $3$ de $N$ sont $e_1$ et $e_2$, indépendantes, donc $\operatorname{rg}N=2$, et le théorème du rang donne $\dim\ker N=3-2=1$.

Toute l'information est dans la suite des rangs de $N^j$ :

soit, en dimensions de noyaux : $1,2,3$. Le noyau grandit d'exactement $1$ à chaque cran, et met $3$ crans à remplir tout l'espace.

Cette régularité — $+1$ à chaque étape — est la signature d'un bloc unique. On verra à l'exercice E1 que si le noyau grandissait de $2$ d'un coup, il y aurait deux blocs.

Retenir : indice de nilpotence $=$ taille du plus grand bloc, et $\dim E_\lambda=$ nombre de blocs. Ici $3$ et $1$ : un seul bloc, de taille $3$.

Si $Nv=\lambda v$ avec $v\neq0$, itérer $N$.

$N^m v=\lambda^m v=0$ force $\lambda=0$.

$\mu_N$ divise $X^m$ et $N^{p-1}\neq0$.

Deux énoncés sur un endomorphisme nilpotent, c'est-à-dire tel que $N^m=0$ pour un certain $m$ :

1. sa seule valeur propre est $0$ ;
2. son polynôme minimal est $X^p$, où $p$ est l'indice de nilpotence (le plus petit exposant qui annule $N$).

L'idée pour le premier point : une valeur propre survit aux puissances. Si $N x=\lambda x$, alors $N^m x=\lambda^m x$ — le vecteur $x$ ne bouge pas, seul le scalaire est élevé à la puissance. Comme $N^m=0$ écrase tout, $\lambda^m$ doit être nul.

Soit $\lambda$ une valeur propre et $x\neq 0$ un vecteur propre : $N x=\lambda x$.

Appliquons $N$ à répétition. Chaque application fait sortir un facteur $\lambda$ :

En particulier pour $k=m$ :

Or $x\neq 0$ : un produit $\lambda^m x$ ne peut être nul que si le scalaire l'est. Donc $\lambda^m=0$, et dans un corps cela force $\lambda=0$.

Réciproquement $0$ est valeur propre : si $p$ est l'indice, $N^{p-1}\neq 0$, donc il existe $y$ avec $N^{p-1}y\neq 0$ ; ce vecteur vérifie $N\,(N^{p-1}y)=N^p y=0$, c'est un vecteur propre pour $0$.

Rappel : $\mu_N$ est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule $N$, et tout polynôme annulateur est un multiple de $\mu_N$.

$X^p$ annule $N$ par définition de l'indice. Donc $\mu_N\mid X^p$, ce qui force $\mu_N=X^k$ pour un $k\leq p$ — les seuls diviseurs unitaires de $X^p$ sont les $X^k$.

Mais $X^k$ annule $N$ signifie $N^k=0$. Par minimalité de $p$ (c'est le plus petit exposant annulateur), on a $k\geq p$. Les deux inégalités donnent $k=p$ :

Prenons $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$.

donc $p=3$ et $\mu_N=X^3$. Le polynôme caractéristique, lui, est $\chi_N=\det(XI-N)=X^3$ (matrice triangulaire à diagonale nulle).

Ici $\mu_N=\chi_N$, mais ce n'est pas toujours le cas. Contre-exemple à retenir :

car $F^2=0$ directement. Deux blocs de taille $2$ : l'indice est la taille du plus grand bloc, pas la dimension de l'espace.

Un nilpotent n'a aucune valeur propre exploitable : son spectre est réduit à $0$. Il est donc diagonalisable si et seulement s'il est nul — car s'il était semblable à une diagonale, cette diagonale ne porterait que des $0$, donc serait la matrice nulle, et une matrice semblable à $0$ est $0$.

C'est pour cela que les nilpotents non nuls sont l'obstruction pure à la diagonalisation, et pourquoi la forme de Jordan les traite à part : on isole la partie diagonalisable (Dunford, exercice C1), et ce qui reste est un nilpotent qu'on réduit en chaînes.

Calculer $\chi_A=\det(XI-A)$.

$\dim E_2=3-\operatorname{rg}(A-2I)$ (multiplicité géométrique).

$\dim N_2=$ multiplicité algébrique $=3$.

Pour $A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&-1\\0&0&2\end{pmatrix}$, on veut confronter deux espaces attachés à la même valeur propre $2$ :

• le sous-espace propre $E_2=\ker(A-2I)$ — les vrais vecteurs propres ;
• le sous-espace caractéristique $N_2=\ker(A-2I)^3$ — les vecteurs qui finissent par être annulés, quitte à appliquer $A-2I$ plusieurs fois.

L'écart entre les deux est le défaut de diagonalisabilité. Si $E_2=N_2$, la matrice est diagonalisable ; sinon, il faut Jordan.

La dernière ligne n'a qu'un terme non nul : développons par cette ligne, ce qui évite tout calcul inutile.

Développons le crochet :

Une seule valeur propre, $2$, de multiplicité algébrique $3$.

Résolvons $(A-2I)x=0$. Les deux premières lignes donnent

Soustrayons : $2x_3=0$, donc $x_3=0$. En reportant : $x_1=x_2$. Le noyau est

Contrôle par le rang : les deux premières lignes de $A-2I$ ne sont pas proportionnelles (l'une a $+1$ en dernière position, l'autre $-1$), donc $\operatorname{rg}=2$ et $\dim\ker=3-2=1$. ✓

Calculons $(A-2I)^2$. Posons $M=A-2I$ :

Détail de la première ligne, pour se convaincre : $1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 0=0$ · $1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+1\cdot 0=0$ · $1\cdot 1+(-1)\cdot(-1)+1\cdot 0=2$.

Puis

car la troisième colonne de $M$ n'intervient que par sa dernière coordonnée, qui est nulle.

Donc $M^3=0$ et

Le sous-espace caractéristique remplit ici tout l'espace : sa dimension égale toujours la multiplicité algébrique, et $m_2=3=n$. Le sous-espace propre, lui, est minuscule.

Suivons la croissance des noyaux :

($\operatorname{rg}M^2=1$, car ses deux lignes non nulles sont identiques.) De nouveau $+1$ à chaque cran : un seul bloc de taille $3$, et $A$ est semblable à $J_3(2)$. La base de Jordan sera construite à l'exercice E2.

Ici $1\neq 3$ : $A$ n'est pas diagonalisable, et l'écart $3-1=2$ mesure le nombre de $1$ sur-diagonaux qu'il faudra.

Compléter une base de $E_\lambda$ en une base de $V$.

Dans cette base, $A$ est triangulaire par blocs avec $\lambda I_{g_\lambda}$ en haut.

$\chi_A$ a alors $(X-\lambda)^{g_\lambda}$ en facteur.

Pour une valeur propre $\lambda$ de $u$, on note

• $g_\lambda=\dim\ker(u-\lambda\,\mathrm{id})$, la multiplicité géométrique ;
• $m_\lambda$ la multiplicité algébrique, c'est-à-dire l'exposant de $(X-\lambda)$ dans $\chi_u$.

On veut $1\leq g_\lambda\leq m_\lambda$, puis le critère de diagonalisabilité.

L'idée de la seconde inégalité, qui est la seule non triviale : compléter une base du sous-espace propre en une base de l'espace. Dans cette base, la matrice devient triangulaire par blocs et son caractéristique laisse voir un facteur $(X-\lambda)^{g_\lambda}$.

$\lambda$ est valeur propre : par définition il existe $x\neq 0$ avec $u(x)=\lambda x$, donc $\ker(u-\lambda\,\mathrm{id})$ contient un vecteur non nul et

C'est la partie facile, mais elle mérite d'être dite : elle signifie qu'à toute valeur propre correspond au moins une direction stable.

Posons $g=g_\lambda$ et prenons $(e_1,\dots,e_g)$ une base de $\ker(u-\lambda\,\mathrm{id})$. Complétons-la en une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_g,e_{g+1},\dots,e_n)$ de l'espace (toujours possible, théorème de la base incomplète).

Chacun des $e_1,\dots,e_g$ vérifie $u(e_i)=\lambda e_i$ : sa colonne dans la matrice n'a qu'un $\lambda$ sur la $i$-ième ligne. D'où la forme triangulaire par blocs

où $B$ et $C$ sont quelconques. Le déterminant d'une telle matrice est le produit des déterminants diagonaux :

$(X-\lambda)^g$ divise donc $\chi_u$, ce qui signifie exactement que l'exposant de $(X-\lambda)$ dans $\chi_u$ est au moins $g$ :

(Le facteur $\chi_C$ peut d'ailleurs contribuer encore des $(X-\lambda)$ — c'est ce qui arrive quand $g_\lambda<m_\lambda$.)

Sens direct. Si $u$ est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres. Dans cette base, $\lambda$ apparaît sur la diagonale exactement $m_\lambda$ fois (lecture de $\chi_u$), et chacune de ces positions fournit un vecteur de base dans $\ker(u-\lambda\,\mathrm{id})$. Donc $g_\lambda\geq m_\lambda$, et avec l'étape 2, $g_\lambda=m_\lambda$.

Réciproque. Les sous-espaces propres sont toujours en somme directe. Si $g_\lambda=m_\lambda$ pour tout $\lambda$, la somme de leurs dimensions vaut $\sum_\lambda m_\lambda=\deg\chi_u=n$ (car $\chi_u$ est scindé par hypothèse — sans cela la somme des $m_\lambda$ serait $<n$). Une somme directe de dimension $n$ dans un espace de dimension $n$, c'est l'espace entier : on obtient une base de vecteurs propres.

Sur $A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&-1\\0&0&2\end{pmatrix}$ (exercice A3) :

L'inégalité $1\leq 1\leq 3$ est bien vérifiée, mais elle est stricte à droite : pas de diagonalisation.

Trois régimes à connaître, tous avec $m_2=3$ :

• $g_2=3$ : trois blocs $J_1(2)$, la matrice est $2I$, diagonalisable ;
• $g_2=2$ : deux blocs, $J_2(2)\oplus J_1(2)$ ;
• $g_2=1$ : un seul bloc, $J_3(2)$ — le cas de $A$.

Le nombre de blocs est $g_\lambda$, et l'écart $m_\lambda-g_\lambda$ est le nombre de $1$ sur-diagonaux. Retenir cette lecture : elle transforme deux dimensions en une description complète de la forme réduite.

Calculer $N^2$, $N^3$.

L'indice $=$ plus petit $p$ avec $N^p=0$.

Pour un seul bloc $J_p(0)$, indice $=p$.

Pour $N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$, on cherche l'indice de nilpotence, et surtout ce qu'il dit de la taille de bloc.

L'énoncé général visé, qui resservira partout dans le chapitre :

L'intuition : chaque bloc de taille $k$ contient une chaîne de longueur $k$, et il faut $k$ applications de $N$ pour la vider. Le bloc le plus long décide donc du moment où tout est enfin annulé.

$N$ est le décalage $e_3\mapsto e_2\mapsto e_1\mapsto 0$. Appliquons-le successivement au vecteur le plus « haut » de la chaîne :

Il faut donc $3$ applications pour annuler $e_3$, et $N^2e_3=e_1\neq 0$ prouve que $2$ ne suffisent pas. En matrices :

$N$ est le bloc $J_3(0)$ : un seul bloc, de taille $3$, et l'indice vaut $3$. La coïncidence n'est pas fortuite.

En général, pour $J_k(0)$ le décalage a une chaîne de longueur $k$, donc $J_k(0)^{k-1}\neq 0$ et $J_k(0)^k=0$ : son indice est $k$.

Si maintenant $N=J_{k_1}(0)\oplus\cdots\oplus J_{k_r}(0)$, les puissances se calculent bloc par bloc (c'est la propriété fondamentale d'une matrice diagonale par blocs) :

Cette matrice est nulle si et seulement si chaque bloc l'est, donc si et seulement si $j\geq k_i$ pour tout $i$. Le plus petit tel $j$ est

Deux chaînes indépendantes de longueur $2$ : $e_2\mapsto e_1\mapsto 0$ et $e_4\mapsto e_3\mapsto 0$. Chacune se vide en deux crans, donc

alors que l'espace est de dimension $4$. L'indice n'est pas la dimension : c'est la longueur de la plus longue chaîne. Ici $\chi_F=X^4$ mais $\mu_F=X^2$.

Contraste avec $N$ ci-dessus : dimension $3$, indice $3$, une seule chaîne. C'est le cas où $\mu=\chi$.

Comparons les deux matrices par leurs dimensions de noyaux successifs :

Le premier saut donne le nombre de blocs ($1$ contre $2$) ; le nombre de crans donne la taille du plus grand ($3$ contre $2$).

Ces deux nombres ne suffisent pas toujours à tout déterminer, mais la suite complète des rangs, elle, détermine la forme de Jordan sans ambiguïté — c'est la formule de l'exercice E3.

L'indice sert de premier tri quand on rencontre une matrice nilpotente inconnue. Marche à suivre :

1. calculer $N,N^2,N^3,\dots$ jusqu'à obtenir $0$ — le rang d'arrêt est l'indice $p$ ;
2. en déduire $\mu_N=X^p$ (exercice A2) et donc la taille du plus grand bloc ;
3. lire $\dim\ker N$ pour le nombre de blocs ;
4. si ces deux nombres ne suffisent pas, dérouler la formule des rangs (exercice E3).

Exemple. $M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$. On a $M^2=0$ et $M\neq 0$, donc $p=2$ : plus grand bloc de taille $2$. Et $\operatorname{rg}M=1$, donc $\dim\ker M=2$ : deux blocs. Somme $=3$, plus grand $=2$, deux blocs : la seule partition est $2+1$, d'où

Noter que $M$ n'est pas $J_2(0)\oplus J_1(0)$ telle quelle — le $1$ est en position $(1,3)$ et non $(1,2)$ — mais elle lui est semblable. La forme de Jordan est une classe de similitude, pas une écriture particulière.

$N$ a $0$ pour seule valeur propre : tout l'espace est caractéristique.

Construire une base de vecteurs $N^{k-1}x,\dots,Nx,x$ (chaînes de Jordan).

Le nombre de chaînes de longueur $\geq j$ est $\dim\ker N^j-\dim\ker N^{j-1}$.

Théorème de structure des nilpotents : si $N$ est nilpotent sur un espace $V$ de dimension finie, il existe une base dans laquelle

et les tailles $k_i$ sont entièrement déterminées par les dimensions des $\ker N^j$.

L'idée : construire des chaînes $x,\ Nx,\ N^2x,\dots$ et montrer qu'on peut en choisir assez pour paver tout l'espace sans redondance. On procède en partant du haut — des vecteurs qui survivent le plus longtemps — et en descendant.

Posons $K_j=\ker N^j$. Ces espaces s'emboîtent :

En effet $N^j x=0$ entraîne $N^{j+1}x=N(N^jx)=N(0)=0$, d'où $K_j\subset K_{j+1}$. Et $K_p=V$ puisque $N^p=0$.

Deux faits utiles, faciles à vérifier :

• $N(K_{j+1})\subset K_j$ : si $N^{j+1}x=0$ alors $N^j(Nx)=0$. Autrement dit $N$ fait descendre d'un étage.
• Les inclusions sont strictes jusqu'à $K_p$ : si $K_j=K_{j+1}$, on montre par récurrence que la suite stationne, donc $K_j=V$ et $j\geq p$.

On construit la base par étages décroissants.

Étage $p$. Choisissons des vecteurs $x_1,\dots,x_{s_p}$ de $K_p$ dont les classes forment une base d'un supplémentaire de $K_{p-1}$ dans $K_p$. Chacun engendre une chaîne complète

de longueur $p$ (elle ne s'arrête pas avant, sinon $x_i$ serait dans $K_{p-1}$).

Étage $p-1$. Les $Nx_i$ sont dans $K_{p-1}$ et y sont indépendants modulo $K_{p-2}$. On les complète par de nouveaux vecteurs $y_j$ pour obtenir une base d'un supplémentaire de $K_{p-2}$ dans $K_{p-1}$ ; chaque $y_j$ ouvre une chaîne de longueur $p-1$.

Et ainsi de suite jusqu'à $K_1$. À chaque étage, on récupère ce qui descend de l'étage supérieur, et on complète.

La réunion de toutes les chaînes est une base de $V$ : la construction garantit l'indépendance (à chaque étage on complète une famille libre modulo l'étage inférieur) et le compte des dimensions donne exactement $\dim V$.

Ordonnons chaque chaîne du bas vers le haut :

Notons $v_1=N^{k-1}x,\ v_2=N^{k-2}x,\dots,v_k=x$. Alors

C'est exactement l'action d'un bloc $J_k(0)$ : chaque vecteur est envoyé sur son voisin de gauche, le premier sur $0$. La matrice de $N$ restreinte à cette chaîne est donc $J_k(0)$, et l'espace se décompose en somme directe de ces chaînes.

Notons $d_j=\dim\ker N^j$ et $r_j=\operatorname{rg}N^j=n-d_j$.

Un bloc $J_k(0)$ contribue $\min(j,k)$ au noyau de $N^j$ : sa chaîne a $\min(j,k)$ vecteurs annulés par $N^j$. En sommant sur les blocs :

Cette formule inverse : le nombre de blocs de taille $\geq j$ vaut $d_j-d_{j-1}$, et le nombre de blocs de taille exactement $j$ vaut

(preuve détaillée à l'exercice E3). Comme les $d_j$ ne dépendent que de $N$, les tailles sont les mêmes pour toute décomposition : la forme est unique à l'ordre des blocs près.

Exemple. $F=J_2(0)\oplus J_2(0)$ : $d_1=2$, $d_2=4$. Blocs de taille $\geq 1$ : $d_1-d_0=2$. Blocs de taille $\geq 2$ : $d_2-d_1=2$. Blocs de taille $\geq 3$ : $0$. Donc $2$ blocs de taille exactement $2$. ✓

Cayley-Hamilton : $\chi_u(u)=0$, donc $\mu_u\mid\chi_u$.

Toute racine de $\mu_u$ est valeur propre.

Toute valeur propre annule $\mu_u$.

On veut montrer :

1. $\mu_u\mid\chi_u$ — c'est le théorème de Cayley-Hamilton, reformulé ;
2. $\mu_u$ et $\chi_u$ ont les mêmes racines, à savoir les valeurs propres.

Attention à la nuance : mêmes racines ne veut pas dire mêmes multiplicités. $\chi$ et $\mu$ peuvent différer beaucoup en degré tout en ayant exactement le même ensemble de racines. C'est justement cet écart de multiplicités qui encode la taille des blocs de Jordan.

Rappel : $\mu_u$ est le polynôme unitaire de plus petit degré tel que $\mu_u(u)=0$, et tout polynôme annulateur est un multiple de $\mu_u$ (division euclidienne).

Cayley-Hamilton affirme $\chi_u(u)=0$ : le caractéristique est annulateur.

Or la propriété fondamentale du minimal est que tout annulateur en est un multiple. Voici l'argument, qui vaut la peine d'être refait : divisons $\chi_u$ par $\mu_u$,

Évaluons en $u$ : $0=\chi_u(u)=Q(u)\underbrace{\mu_u(u)}_{=0}+R(u)$, donc $R(u)=0$. Si $R\neq 0$, on aurait un annulateur de degré strictement plus petit que $\mu_u$ — impossible par minimalité. Donc $R=0$ et