Exercices corrigés — Réduction de Jordan

$N=J-2I$ a des $1$ sur la surdiagonale.

Calculer $N^2$ puis $N^3$.

$E_2=\ker N$ ; sa dimension $=3-\operatorname{rg}N$.

$N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ : $N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq0$ et $N^3=0$. Indice de nilpotence $3$ (= taille du bloc).

$\operatorname{rg}N=2$, donc $\dim E_2=\dim\ker N=3-2=1$ : un bloc de Jordan n'a qu'une seule droite propre (engendrée par $e_1$). C'est la marque du défaut de diagonalisabilité.

Si $Nv=\lambda v$ avec $v\neq0$, itérer $N$.

$N^m v=\lambda^m v=0$ force $\lambda=0$.

$\mu_N$ divise $X^m$ et $N^{p-1}\neq0$.

Si $Nv=\lambda v$, $v\neq0$, alors $N^m v=\lambda^m v$. Or $N^m=0$, donc $\lambda^m v=0$, d'où $\lambda^m=0$, i.e. $\lambda=0$. La seule valeur propre est $0$ (et $\chi_N=X^{\dim V}$).

$N^m=0$ donne $\mu_N\mid X^m$, donc $\mu_N=X^p$. Le degré $p$ de $\mu_N$ et l'indice de nilpotence coïncident : tous deux sont le plus petit entier tel que $N^p=0$ ($N^{p-1}\neq0$, sinon $X^{p-1}$ annulerait, contredisant la minimalité). Ex. $J_3(0)$ : $\mu=X^3$.

Calculer $\chi_A=\det(XI-A)$.

$\dim E_2=3-\operatorname{rg}(A-2I)$ (multiplicité géométrique).

$\dim N_2=$ multiplicité algébrique $=3$.

$\chi_A=(X-2)^3$ : $2$ est valeur propre de multiplicité algébrique $3$.

$\operatorname{rg}(A-2I)=2$, donc $\dim E_2=1$ (multiplicité géométrique $1$) : $A$ n'est pas diagonalisable ($1<3$). En revanche $\dim N_2=\dim\ker(A-2I)^3=3$ (tout l'espace) : le sous-espace caractéristique récupère la multiplicité algébrique.

Compléter une base de $E_\lambda$ en une base de $V$.

Dans cette base, $A$ est triangulaire par blocs avec $\lambda I_{g_\lambda}$ en haut.

$\chi_A$ a alors $(X-\lambda)^{g_\lambda}$ en facteur.

Soit $g=g_\lambda=\dim E_\lambda$. On complète une base $(e_1,\dots,e_g)$ de $E_\lambda$ en base de $V$ ; la matrice de $u$ devient $\begin{pmatrix}\lambda I_g&*\\0&B\end{pmatrix}$, donc $\chi_u=(X-\lambda)^g\,\chi_B$ : $(X-\lambda)^g\mid\chi_u$, d'où $g_\lambda\leq m_\lambda$ (multiplicité de $\lambda$ dans $\chi_u$). Et $g_\lambda\geq1$ car $\lambda$ est valeur propre.

$\sum_\lambda g_\lambda\leq\sum_\lambda m_\lambda=\dim V$, avec égalité ssi $g_\lambda=m_\lambda$ pour tout $\lambda$ ; or la somme $\sum_\lambda E_\lambda$ est toujours directe (vecteurs propres de valeurs propres distinctes indépendants, cf. diagonalisation), donc $\bigoplus E_\lambda=V\iff\sum g_\lambda=\dim V$. Donc $u$ diagonalisable $\iff g_\lambda=m_\lambda\ \forall\lambda$ (le défaut $m_\lambda-g_\lambda$ mesure la non-diagonalisabilité).

Calculer $N^2$, $N^3$.

L'indice $=$ plus petit $p$ avec $N^p=0$.

Pour un seul bloc $J_p(0)$, indice $=p$.

$N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq0$, $N^3=0$ : indice de nilpotence $3$.

$N=J_3(0)$ est un seul bloc de Jordan de taille $3$ : l'indice de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent est la taille du plus grand bloc $J_k(0)$. C'est aussi le degré de $\mu_N=X^3$.

$N$ a $0$ pour seule valeur propre : tout l'espace est caractéristique.

Construire une base de vecteurs $N^{k-1}x,\dots,Nx,x$ (chaînes de Jordan).

Le nombre de chaînes de longueur $\geq j$ est $\dim\ker N^j-\dim\ker N^{j-1}$.

Comme $N$ est nilpotent, $V=\ker N^p$ ($p$ indice). On construit une base adaptée par chaînes de Jordan : pour un vecteur $x\notin\ker N^{k-1}$ mais $\in\ker N^k$, la famille $(N^{k-1}x,\dots,Nx,x)$ engendre un sous-espace stable où $N$ agit comme $J_k(0)$ (envoie chaque vecteur sur le précédent, et $N^{k-1}x\mapsto0$). En épuisant $V$, on obtient $N=\bigoplus_i J_{k_i}(0)$.

Le nombre de chaînes de longueur $\geq j$ (= blocs de taille $\geq j$) vaut $\dim\ker N^{j}-\dim\ker N^{j-1}$ ; le nombre de blocs de taille exactement $j$ est $r_{j-1}-2r_j+r_{j+1}$ ($r_j=\operatorname{rg}N^j$). Les tailles sont donc déterminées par $N$.

Cayley-Hamilton : $\chi_u(u)=0$, donc $\mu_u\mid\chi_u$.

Toute racine de $\mu_u$ est valeur propre.

Toute valeur propre annule $\mu_u$.

Par Cayley-Hamilton, $\chi_u(u)=0$ ; comme $\mu_u$ est le polynôme minimal (engendre l'idéal annulateur), $\mu_u\mid\chi_u$.

Si $\lambda$ est valeur propre, $u-\lambda\,\mathrm{id}$ non injectif : prenons $v\neq0$ propre, $\mu_u(u)v=\mu_u(\lambda)v=0$ donne $\mu_u(\lambda)=0$. Réciproquement, une racine $\lambda$ de $\mu_u$ est racine de $\chi_u$ (car $\mu_u\mid\chi_u$), donc valeur propre. Ainsi $\mu_u$ et $\chi_u$ ont exactement les valeurs propres pour racines.

$\chi_E=(X-2)^3$ (multiplicité algébrique $3$).

$\mu_E=(X-2)^{c}$, $c=$ taille du plus grand bloc.

Vérifier $(E-2I)^2=0$ mais $E-2I\neq0$.

$\chi_E=(X-2)^3$ : une seule valeur propre $2$, multiplicité $3$.

Le plus grand bloc de $2$ a taille $2$ ($J_2(2)$), donc $\mu_E=(X-2)^2$. On vérifie : $(E-2I)^2=0$ (annule) mais $E-2I\neq0$ (degré $1$ insuffisant). Donc $\mu_E=(X-2)^2\neq\chi_E=(X-2)^3$ : le minimal est strictement plus petit dès qu'il y a plusieurs blocs.

Pour $r=2$ : Bézout $U P_1+V P_2=1$.

Évaluer en $u$ et appliquer à $x$.

Récurrence sur $r$.

$P_1,P_2$ premiers entre eux : $\exists U,V$, $UP_1+VP_2=1$. En $u$ : $U(u)P_1(u)+V(u)P_2(u)=\mathrm{id}$. Pour $x\in V$ : $x=\underbrace{V(u)P_2(u)x}_{\in\ker P_1(u)}+\underbrace{U(u)P_1(u)x}_{\in\ker P_2(u)}$ (car $P_1(u)\cdot V(u)P_2(u)x=V(u)P(u)x=0$). Donc $V=\ker P_1(u)+\ker P_2(u)$. La somme est directe : si $y\in\ker P_1(u)\cap\ker P_2(u)$, $y=U(u)P_1(u)y+V(u)P_2(u)y=0$.

Pour $r$ facteurs : $P_1$ est premier avec $P_2\cdots P_r$ (lemme de Gauss : premier avec chaque facteur), et $P_2,\dots,P_r$ restent premiers entre eux deux à deux ; d'où $V=\ker P_1(u)\oplus\ker(P_2\cdots P_r)(u)$, puis on applique l'hypothèse de récurrence à $P_2\cdots P_r$. Appliqué à $\mu_u=\prod_\lambda(X-\lambda)^{c_\lambda}$ : $V=\bigoplus_\lambda\ker(u-\lambda)^{c_\lambda}=\bigoplus_\lambda N_\lambda$.

Lemme des noyaux : $V=\bigoplus_\lambda N_\lambda$.

Sur $N_\lambda$, $u-\lambda\,\mathrm{id}$ est nilpotent.

Réduire un nilpotent en blocs $J_k(0)$.

$\chi_u$ scindé : $\mu_u=\prod_\lambda(X-\lambda)^{c_\lambda}$. Le lemme des noyaux donne $V=\bigoplus_\lambda N_\lambda$ avec $N_\lambda=\ker(u-\lambda)^{c_\lambda}$, sous-espaces stables par $u$.

Sur $N_\lambda$, $u-\lambda\,\mathrm{id}$ est nilpotent ; par la structure des nilpotents (chaînes de Jordan, A6) il se décompose en blocs $J_{k}(0)$, donc $u_{\mid N_\lambda}$ en blocs $J_k(\lambda)=\lambda I+J_k(0)$. En recollant sur tous les $\lambda$ : $A=PJP^{-1}$, $J$ bloc-diagonale de blocs de Jordan. Existence acquise (scindage requis).

$\chi_A=(X-2)^2$, une seule valeur propre $2$.

$\dim\ker(A-2I)=1$ → un seul bloc $J_2(2)$.

Trouver $v$ propre puis $w$ avec $(A-2I)w=v$.

$\chi_A=(X-2)^2$ et $A\neq2I$, donc $A$ n'est pas diagonalisable : $J=J_2(2)=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$.

$A-2I=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ : vecteur propre $v=\binom{1}{1}$. Vecteur propre généralisé $w$ avec $(A-2I)w=v$ : $-w_1+w_2=1$ → $w=\binom{1}{0}$ convient ? $(A-2I)\binom10=\binom{-1}{-1}=-v$. On prend plutôt la base $(v\ \text{image},\ \text{antécédent})$ : avec $P=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$ (colonnes : $-v$ et $\binom10$), on a $A=PJP^{-1}$.

$B$ est déjà bloc-diagonale.

Bloc $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}=J_2(2)$ et bloc $[3]=J_1(3)$.

$\mu_B=$ plus grand bloc par valeur propre.

$B=J_2(2)\oplus J_1(3)$ : $J=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ (déjà sous forme de Jordan).

$\chi_B=(X-2)^2(X-3)$. Le plus grand bloc de $2$ a taille $2$, celui de $3$ taille $1$ : $\mu_B=(X-2)^2(X-3)=\chi_B$ (un seul bloc par valeur propre $\Rightarrow\mu=\chi$).

Nb de blocs $=\dim\ker(E-2I)=3-\operatorname{rg}(E-2I)$.

Nb de blocs de taille $\geq2=\dim\ker(E-2I)^2-\dim\ker(E-2I)$.

En déduire les tailles.

$\operatorname{rg}(E-2I)=1$ → $\dim\ker(E-2I)=2$ : 2 blocs. $(E-2I)^2=0$ → $\dim\ker(E-2I)^2=3$.

Nb de blocs de taille $\geq2$ $=3-2=1$ ; donc 1 bloc de taille $2$ et $2-1=1$ bloc de taille $1$. Tailles $[1,2]$ : $E=J_2(2)\oplus J_1(2)$.

$\chi_A=(X-2)^3$, $\dim\ker(A-2I)=1$ → un seul bloc.

Donc $J=J_3(2)$ (un bloc de taille $3$).

Chaîne : $x$ avec $(A-2I)^2x\neq0$, puis $(A-2I)x$, $(A-2I)^2x$.

$\chi_A=(X-2)^3$ et $\dim\ker(A-2I)=1$ (un seul vecteur propre) : un unique bloc de taille $3$, $J=J_3(2)=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}$.

On prend $x$ tel que $(A-2I)^2x\neq0$ et la chaîne $\big((A-2I)^2x,\ (A-2I)x,\ x\big)$. Une base convenable donne $P=\begin{pmatrix}2&1&0\\2&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, et l'on vérifie $A=PJP^{-1}$.

Un bloc $J_k(\lambda)$ contribue à $\operatorname{rg}(A-\lambda I)^j$ par $\max(k-j,0)$.

Sommer sur tous les blocs.

Différences secondes isolent les tailles.

Sur un bloc $J_k(\lambda)$, $(J_k(\lambda)-\lambda I)^j$ a rang $\max(k-j,0)$. Donc $r_j=\operatorname{rg}(A-\lambda I)^j=\sum_{\text{blocs }k}\max(k-j,0)$. La différence $r_{j-1}-r_j=\#\{\text{blocs de taille}\geq j\}$.

Le nombre de blocs de taille exactement $j$ est $(r_{j-1}-r_j)-(r_j-r_{j+1})=r_{j-1}-2r_j+r_{j+1}$ : il ne dépend que de $A$ et $\lambda$ (via les rangs, invariants par conjugaison). Les tailles de blocs sont donc déterminées par $A$ : la forme de Jordan est unique à l'ordre des blocs près.

$\dim V=\deg\chi=3$.

Plus grand bloc $=\deg$ du facteur dans $\mu$.

Sommer les tailles $=$ multiplicité algébrique.

Plus grand bloc de taille $2$, tailles sommant à $3$ : seule possibilité $[2,1]$ → $J=J_2(2)\oplus J_1(2)$.

$\mu=(X-2)^3$ : plus grand bloc taille $3$, somme $3$ → $[3]$, un seul $J_3(2)$. $\mu=(X-2)$ : plus grand bloc taille $1$ → tous de taille $1$, $J=2I_3$ (diagonalisable). Ici $\chi$ et $\mu$ suffisent car $\dim V=3$ (en dimension $\geq7$, $\chi$ et $\mu$ ne suffisent plus).

$F$ nilpotent, seule valeur propre $0$.

$\operatorname{rg}F=2$ → $\dim\ker F=2$ blocs.

$F^2=0$ → $\mu_F=X^2$.

$F$ nilpotent : $\chi_F=X^4$. $F^2=0$ et $F\neq0$ → $\mu_F=X^2$ (plus grand bloc de taille $2$).

$\operatorname{rg}F=2$ → $\dim\ker F=2$ : 2 blocs. $\dim\ker F^2=4$, nb de blocs de taille $\geq2$ $=4-2=2$ : les deux blocs sont de taille $2$. Tailles $[2,2]$ : $F=J_2(0)\oplus J_2(0)$.

Les rangs $\operatorname{rg}(A-\lambda I)^j$ sont invariants par conjugaison.

Ils déterminent les tailles de blocs (E3).

L'ordre des blocs est un choix de base.

Si $A'=QAQ^{-1}$, alors $(A'-\lambda I)^j=Q(A-\lambda I)^jQ^{-1}$ a même rang : les multiset de tailles de blocs (déterminés par les rangs, E3) coïncident. Donc deux matrices semblables ont la même forme de Jordan.

La forme de Jordan est unique comme multiset de blocs : permuter les blocs revient à permuter les vecteurs de base, ce qui donne une matrice semblable. On fixe en général une convention d'ordre (valeurs propres croissantes, tailles décroissantes). C'est un invariant complet de similitude pour $\chi$ scindé.